Fagstoff

Grenseverdisetningene

Grenseverdisetningene brukes ofte helt intuitivt. Her er en oversikt og to regneeksempler.

Grenseverdisetningene er regneregler for grenseverdier.

Grenseverdisetningene

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) & = & \lim_{x \to a} f (x) + \lim_{x \to a} g (x) \\ \lim_{x \to a} (f (x) - g (x)) & = & \lim_{x \to a} f (x) - \lim_{x \to a} g (x) \\ \lim_{x \to a} (f (x) \cdot g (x)) & = & \lim_{x \to a} f (x) \cdot \lim_{x \to a} g (x) \\ \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} & = & \frac{\lim_{x \to a} f (x)}{\lim_{x \to a} g (x)} \end{array}$

I den fjerde grenseverdisetningen er det forutsatt at $\lim_{x \to a} g (x) \neq 0$ .

Eksempel 1

Regn ut $\lim_{x \to 2} (x^{2} + \ln x)$ ved å bruke grenseverdisetningene.

Løsning

Vi bruker den første grenseverdisetningen.

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 2} (x^{2} + \ln x) & = & \lim_{x \to 2} x^{2} + \lim_{x \to 2} \ln x \\ = & 4 + \ln 2 \end{array}$

Eksempel 2

Regn ut $\lim_{x \to 1} \frac{3 x + 1}{x + 1}$ ved å bruke grenseverdisetningene.

Løsning

Vi bruker den fjerde grenseverdisetningen.

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 1} \frac{3 x + 1}{x + 1} & = & \frac{\lim_{x \to 1} (3 x + 1)}{\lim_{x \to 1} (x + 1)} \\ = & \frac{3 \cdot 1 + 1}{1 + 1} \\ = & 2 \end{array}$