Rasjonale funksjoner og asymptoter

$\begin{array}{|cccccccccccc|}\hline x& 0& 1& 1,5& 1,9& 1,99& 2,01& 2,1& 2,5& 3& 4& 5\\ f\left(x\right)& \frac{1}{2}& 0& -1& -9& -99& 101& 11& 3& 2& \frac{3}{2}& \frac{4}{3}\\ \hline\end{array}$

Når $x$-verdien nærmer seg $2$ fra venstre, går funksjonsverdien mot minus uendelig.

Når $x$ nærmer seg $2$ fra høyre, går funksjonsverdien mot pluss uendelig.

Grafen til funksjonen $f$:

Linja  $x=2$  kalles vertikal asymptote.

$\begin{array}{|cccccccccc|}\hline x& -1000& -100& -10& -1& 0,5& 1& 10& 100& 1000\\ f\left(x\right)& 1& 1,01& 1,1& 2& -1& 0& 0,9& 0,99& 1\\ \hline\end{array}$

Funksjonsverdien nærmer seg 1 når $x$-verdien nærmer seg $-\infty$.

Funksjonsverdien nærmer seg 1 når $x$-verdien nærmer seg $\infty$.

Grafen til funksjonen $f$:

Linja  $y=1$  kalles horisontal asymptote.

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $x=2$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$

Linja  $x=2$  er en vertikal asymptote for $f$.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{x-2}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{0}{1-0}=0\end{array}$

Når $x$ går mot $\pm \infty$, vil grafen til $f$ nærme seg $x$-aksen. Linja  $y=0$  er en horisontal asymptote for $f$.

Grafen til $f$:

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $x=2$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$

Linja  $x=2$  er en vertikal asymptote for $f$.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x-2}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{2}{x}}}=\frac{1-0}{1-0}=1\end{array}$

Når $x$ går mot $\pm \infty$, vil grafen til $f$ nærme seg linja  $y=1$.

Linja  $y=1$  er en horisontal asymptote for $f$.

Grafen til $f$:

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $x=2$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$

Linja  $x=2$  er en vertikal asymptote for $f$.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}& & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{x^2+4}{x-2}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}+\frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x}{x^2}-\frac{2}{x^2}}}\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{1+0}{{\displaystyle \frac{1}{x}}-0}\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{1}{0}\end{array}$

Når $x$ går mot $\pm \infty$, vil nevneren gå mot 0. Telleren blir et tall forskjellig fra 0. Grenseverdien eksisterer ikke. Det er dermed ingen horisontal asymptote.

Grafen til $f$:

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $x=0$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$

Linja  $x=0$  er en vertikal asymptote for $f$.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x-1}{x}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}=\frac{3-0}{1}=3\end{array}$

Når $x$ går mot $\pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja  $y=3$.

Linja  $y=3$  er en horisontal asymptote for $f$.

Grafen til $f$:

$f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2-2}$

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2 & =& 0\\ x^2 & =& 2\\ x & =& \pm \sqrt{2}\end{array}$

Det er her to mulige asymptoter. Vi undersøker først  $x=\sqrt{2}$. Når  $x=\sqrt{2}$, blir telleren  $2·(\sqrt{2}{)}^2=4$. Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$f\left(x\right)=\pm \infty$  når  $x\to \sqrt{2}$. Linja  $x=\sqrt{2}$  er en vertikal asymptote for $f$.

Vi undersøker så for  $x=-\sqrt{2}$. Når  $\mathrm{x}=-\sqrt{2}$, blir telleren  $2·{\left(-\sqrt{2}\right)}^2=4.$ Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$f\left(x\right)\to \pm \infty$ når $x\to -\sqrt{2}$. Linja  $x=-\sqrt{2}$  er en vertikal asymptote for $f.$

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2-2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}\\ & =& \frac{2}{1-0}=\frac{3}{1}=2\end{array}$

Når $x$ går mot $\pm$ uendelig, vil grafen til $f$ nærme seg linja  $y = 2.$

Linja  $y = 2$  er en horisontal asymptote for $f$.

Grafen til $f$:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-2x+4}{x^2-2x}$

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x(x-2) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 2\end{array}$

Det er to mulige asymptoter. Vi undersøker først  $x=0$. Når  $x=0$, blir telleren  $0^2-2·0+4=4$.

Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$

Linja  $x=0$  er en vertikal asymptote for $f$.

Vi undersøker så for  $x=2$.

Når  $x=2$, blir telleren  $2^2-2·2+4=4.$

Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$

Linja  $x=2$  er en vertikal asymptote for $f$.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-2x+4}{x^2-2x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{1-0+0}{1-0}=1\end{array}$

Når $x$ går mot $\pm$ uendelig, vil grafen til $f$ nærme seg linja  $y=1.$

Linja  $y=1$  er en horisontal asymptote for $f$.

Grafen til $f$:

$f\left(x\right)=\frac{x^3-9}{x^3}$

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når  $x=0.$ Telleren blir ikke 0.

Grenseverdien eksisterer ikke.

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$

Linja  $x=0$  er en vertikal asymptote for $f$.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim f\left(x\right)}& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^3-9}{x^3}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^3}{x^3}}-{\displaystyle \frac{9}{x^3}}}{{\displaystyle \frac{x^3}{x^3}}}=\frac{1-0}{1}=1\end{array}$

Når $x$ går mot $\pm$ uendelig, vil grafen til $f$ nærme seg linja  $y=1$.

Linja  $y=1$  er en horisontal asymptote for $f$.

Grafen til $f$:

fx=x-2x2-2x

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x(x-2) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 2\end{array}$

Her er det to mulige asymptoter. Vi undersøker først  $x=0$. Når  $x=0$, blir telleren  $0-2=-2.$ Telleren blir ikke 0. Grenseverdien eksisterer ikke.

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$

Linja  $x=0$  er en vertikal asymptote for $f.$

Vi undersøker så for  $x=2.$ Siden nevneren er 0, er ikke brøken definert.

Vi kan finne grenseverdien ved å forkorte.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2}{\lim f\left(x\right)}& =& \underset{x\to 2}{\lim f\left(x\right)}\frac{x-2}{x^2-2x}\\ & =& \underset{x\to 2}{\lim f\left(x\right)}\frac{\cancel{x-2}}{x\left(\cancel{x-2}\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\end{array}$

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2-2x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{0-0}{1-0}=0\end{array}$

Når $x$ går mot $\pm$ uendelig, vil grafen til $f$ nærme seg linja til  $y=0.$ Linja  $y=0$  er en horisontal asymptote for $f.$

Grafen til $f$: