Rasjonale funksjonar og asymptotar

Når x-verdien nærmar seg 2 frå venstre, går funksjonsverdien mot minus uendeleg.

Når x nærmar seg 2 frå høgre, går funksjonsverdien mot pluss uendeleg.

Grafen til funksjonenf:

Sjå grafbiletet i oppgåve d). Linja $x=2$ kallar vi vertikal asymptote.

Funksjonsverdien nærmar seg 1 når $x\to -\infty$.

Funksjonsverdien nærmar seg 1 når $x\to +\infty$.

Grafen til funksjonen f:

Sjå grafbiletet i oppgåve d). Linja  $y=1$  kallar vi horisontal (vassrett) asymptote.

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x=2$. Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=2$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{x-2}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{0}{1-0}=0\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg 0, det vil seie x-aksen. Linja $y=0$ er ein horisontal asymptote for f.

Vi reknar ut $f\left(0\right)=\frac{2}{0-2}=-1$ for å finne ut i kva område grafen ligg.

Grafen til f:

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x=2$. Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=2$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x-2}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{2}{x}}}=\frac{1-0}{1-0}=1\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=1$.

Linja $y=1$ er ein horisontal asymptote for f.

Vi reknar ut $f\left(0\right)=\frac{0-1}{0-2}=\frac{1}{2}$ for å finne ut i kva område grafen ligg.

Grafen til f:

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x=2$. Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=2$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

Vi ser at teljaren er av høgare grad enn nemnaren. Da kan vi polynomdividere:

$\begin{array}{cccccccccccccc}& (x^2& +& 0x& +& 4)& :& (& x& ⎯& 2& )& = & x+2+\frac{8}{x+2} \\ -& (x^2& -& 2x)& & & & & & & & & & \\ & & & 2x& +& 4& & & & & & & & \\ & & -& (2x& -& 4)& & & & & & & & \\ & & & & & 8& & & & & & & & \end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil brøken $\frac{8}{x-2}$ gå mot 0. Då er funksjonen tilnærma lik $x+2$. Linja $y=x+2$ er ein asymptote for grafen til f, og grafen har ingen horisontal asymptote.

Vi reknar ut $f\left(0\right)=\frac{0^2+4}{0-2}=\frac{4}{-2}=-2$ for å finne ut i kva område grafen ligg.

Grafen til f:

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x=0$. Teljaren er ikkje 0.

Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=0$, det vil seie y-aksen, er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x-1}{x}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}=\frac{3-0}{1}=3\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=3$.

Linja $y=3$ er ein horisontal asymptote for f.

Vi regner ut $f\left(1\right)=\frac{3·1-1}{1}=2$ for å finne ut i kva område grafen ligg.

Grafen til f:

Totalprisen for å leige bubil er lik pris per kilometer multiplisert med talet på kilometer pluss den faste prisen, det vil seie $3 \mathrm{kr}/\mathrm{km}· x \mathrm{km}+ 10 000 \mathrm{kr}$. Gjennomsnittsprisen får vi så ved å dele dette på talet på kilometer x. Då får vi

$P\left(x\right)=\frac{3x+10 000}{x}$

Funksjonsuttrykket blir ein rasjonal funksjon.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }P\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x+10 000}{x}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}}+{\displaystyle \frac{10 000}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3+{\displaystyle \frac{10 000}{x}}}{1}\\ & =& 3\end{array}$

Dette betyr at funksjonen $P$ har den horisontale asymptoten $y=3$.

Grenseverdien kan òg finnast med kommandoen Grenseverdi.

Den vertikale asymptoten til funksjonen finn vi ved å setje nemnaren i $P\left(x\right)$ lik 0. Den vertikale asymptoten er derfor

$x=0$

Vi skriv inn funksjonen P i CAS og bruker kommandoen Asymptote for å finne og få teikna asymptotane. Så finn vi dei tre gjennomsnittsprisane ved å lage punkt på grafen, sjå linje 3, 4 og 5 i CAS-utklippet.

Funksjonen vart lagd inn utan å ta omsyn til definisjonsmengda. Det kan sjå ut som kommandoen Asymptote ikkje verkar då. Grafen viser at ved ei total køyrelengde på 300 kilometer blir prisen per kilometer 36 kroner. Ved total ei køyrelengde på 500 kilometer, blir prisen per kilometer 23 kroner, og ved ei total køyrelengde på 2 000 kilometer, blir prisen per kilometer 8 kroner.

Gjennomsnittleg pris per kilometer minkar når køyrelengda aukar. Grafen søkk veldig fort til å byrje med, for så å flate ut.

Dette svarer til kva den gjennomsnittlege prisen per kilometer nærmar seg mot når den totale køyrelengda blir veldig stor. Jo lengre Tove køyrer, jo nærare kjem prisen per kilometer 3 kroner.

Det betyr at når talet på køyrde kilometer går mot null, går prisen per kilometer mot uendeleg.

$K\left(x\right)$ består av eit polynom i både teljaren og nemnaren. $K\left(x\right)$ er ein rasjonal funksjon.

Vi løyser oppgåva med CAS:

Konsentrasjonen er 2,71 $\mathrm{mg/mL}$ etter ein halv time, 5,75 $\mathrm{mg/mL}$ etter 2 timar, 3,45 $\mathrm{mg/mL}$ etter 6 timar og 1,86 $\mathrm{mg/mL}$ etter 12 timar.

$\begin{array}{rcl}H\left(x\right) & =& \frac{23x}{x^2+4}:2 \\ & =& \frac{23x}{x^2+4}·\frac{1}{2} = \frac{23x}{2x^2+8}\end{array}$

Vi bruker grafteiknar og legg inn funksjonsuttrykka $K\left(x\right)$ og $H\left(x\right)$:

Verken nemnaren i K eller nemnaren i H kan bli lik 0. Da har funksjonane ingen vertikal asymptote.

Teljaren er av lågare grad enn nemnaren i begge funksjonane. Derfor vil funksjonane gå mot 0 når $x\to \pm \infty$. Linja $y=0$ er horisontal asymptote for begge funksjonane. Dette tyder på at spora etter medisinen blir borte når det har gått lang tid.

Felles utgifter (buss og oppussing): $65 000+17 000=82 000$

Individuelle utgifter (russeklede og billett til Landstreff Stavanger): $3 500+2 300=5 800$

x er talet på elevar.

$U\left(x\right)=\frac{82 000}{x}+\frac{5 800·x}{x}=\frac{82 000+5 800x}{x}$

Definisjonsmengda blir $\begin{array}{rcl}{D}_U& = & [8,16]\end{array}$.

Vi bruker CAS til å rekne ut $U\left(8\right)$ og $U\left(16\right)$. Vi veit at $U\left(8\right)$ er den største verdien i definisjonsmengda og $U\left(16\right)$ er den minste fordi utgiftene per elev må bli mindre jo fleire som er med.

Verdimengda blir $V_U=[16 050,10 925]$.

Den vertikale asymptoten, $x=0$, viser at det må vere fleire enn 0 russ.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }U\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5 800x+82 000}{x}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{5 800x}{x}}+{\displaystyle \frac{82 000}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5 800+\frac{82 000}{x}}{1}\\ & =& 5 800\end{array}$

Den horisontale asymptoten er $y=5 800$. Han viser at uansett kor mange elevar som blir med på russebussen, vil dei samla utgiftene aldri bli mindre enn 5 800 kroner.

Vertikal asymptote:

Vi finn nullpunkta til nemnaren.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2 & =& 0\\ x^2 & =& 2\\ x & =& \pm \sqrt{2}\end{array}$

Det er her to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først $x=\sqrt{2}$. Når $x=\sqrt{2}$, blir teljaren $2·(\sqrt{2}{)}^2=4$. Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\underset{x\to \sqrt{2}}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=\sqrt{2}$ er ein vertikal asymptote for f.

Vi undersøkjer så for $x=-\sqrt{2}$. Når $x=-\sqrt{2}$, blir teljaren $2·{\left(-\sqrt{2}\right)}^2=4.$ Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\underset{x\to -\sqrt{2}}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=-\sqrt{2}$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2-2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}-\frac{2}{x^2}}}\\ & =& \frac{2}{1-0}=\frac{2}{1}=2\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=2$. Linja $y=2$ er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotane:

Vertikal asymptote:

Vi finn nullpunkta til nemnaren.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x(x-2) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 2\end{array}$

Det er to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først $x=0$. Når $x=0$, blir teljaren $0^2-2·0+4=4$.

Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=0$ er ein vertikal asymptote for f.

Vi undersøkjer så for $x=2$. Når $x=2$, blir teljaren $2^2-2·2+4=4.$

Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$ eksisterer ikkje og linja $x=2$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-2x+4}{x^2-2x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{1-0+0}{1-0}=1\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=1.$ Linja $y=1$ er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotane:

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik 0 når $x=0.$ Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=0$ er ein vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim f\left(x\right)} & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^3-9}{x^3}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^3}{x^3}}-{\displaystyle \frac{9}{x^3}}}{{\displaystyle \frac{x^3}{x^3}}}=\frac{1-0}{1}=1\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=1.$ Linja $y=1$ er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotane:

Vertikal asymptote:

Vi finn nullpunkta til nemnaren.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x(x-2) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 2\end{array}$

Her er det to moglege asymptotar. Vi undersøkjer først $x=0$. Når $x=0$, blir teljaren $0-2=-2.$ Teljaren blir ikkje 0. Grenseverdien $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=0$, det vil seie y-aksen, er ein vertikal asymptote for f.

Vi undersøkjer så for $x=2.$ Teljaren er $2-2=0$, så både teljaren og nemnaren er null. Da prøver vi å finne grenseverdien ved å faktorisere og forkorte.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2}{\lim f\left(x\right)} & =& \underset{x\to 2}{\lim f\left(x\right)}\frac{x-2}{x^2-2x}\\ & =& \underset{x\to 2}{\lim f\left(x\right)}\frac{\cancel{x-2}}{x\left(\cancel{x-2}\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\end{array}$

Funksjonen f har dermed ingen asymptote for $x=2$ sidan grenseverdien eksisterer.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2-2x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{0-0}{1-0}=0\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=0$, det vil seie x-aksen. x-aksen er ein horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotane:

Vertikal asymptote:

Nemnaren er lik null når $x=-2$. Teljaren er ${(-2)}^2-(-2)-2=4+2-2=4$. Grenseverdien $\underset{x\to -2}{\lim }h\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=-2$ er vertikal asymptote for h.

Horisontal asymptote:

Vi ser at teljaren er av høgare grad enn nemnaren. Da kan vi polynomdividere:

$\begin{array}{ccccccccccc}& (x^2& -x& -2)& :& (x& +& 2)& =x& -& 3+\frac{4}{x+2}\\ -& (x^2& +2x)& & & & & & & & \\ & & -3x& -2& & & & & & & \\ -& & -(3x& -6)& & & & & & & \\ & & & 4& & & & & & & \end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil brøken $\frac{4}{x+2}$ gå mot 0. Då er funksjonen tilnærma lik $x-3$. Linja $y=x-3$ er ein asymptote for grafen til h, og grafen har ingen horisontal asymptote.

Grafen til h med asymptotane:

Utgiftene er 5 800 kroner pluss 0,98 kroner ganga med talet på kilometer. Dei månadlege utgiftene per km blir

$B\left(x\right) = \frac{5 800+0,98x}{x}$

$\begin{array}{rcl}B\left(x\right) & =& \frac{5 800+(0,98+0,19)x}{x} \\ & =& \frac{5 800+1,17x}{x}\end{array}$

Utgiftene ved å produsere x deksel kan skrivast som $5 250+0,67·x$. Utgiftene per deksel blir då

$D\left(x\right)=\frac{5 250+0,67x}{x}$

$\begin{array}{rcl}D\left(x\right) & =& \frac{5 250+(0,67+0,23)x}{x}\\ & & \\ & =& \frac{5 250+0,9x}{x}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}& & D\end{array}\begin{array}{rcl}& & \left(x\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{5 250+0,9x}{x-82}\end{array}$