Fagartikkel

Rasjonale funksjonar og vertikal asymptote

Rasjonale funksjonar vil som regel ha ein vertikal asymptote der nemnaren i funksjonsuttrykket er null. Men dette gjeld ikkje alltid!

Ein rasjonal funksjon er ein funksjon som kan skrivast som ein brøk der teljaren og nemnaren er polynom.

Polynoma kan ha grad null, derfor er til dømes også funksjonen $\frac{1}{x}$ ein rasjonal funksjon.

Vertikal asymptote

Vi undersøkjer funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = \frac{x - 2}{x + 2}$

Ein brøk er ikkje definert når nemnaren er lik null. Vi undersøkjer om $f (x)$ har nokon grenseverdi når $x$ nærmar seg $- 2$ . Vi reknar ut teljaren og nemnaren kvar for seg.

$\begin{array}{rcl} (- 2) - 2 & = & - 4 \\ (- 2) + 2 & = & 0 \end{array}$

Det tyder at $\lim_{x \to - 2} \frac{x - 2}{x + 2}$ ikkje eksisterer.

Når $x$ nærmar seg verdien $- 2$ frå venstre, veks funksjonsverdiane over alle grenser.

Vi skriv

$f (x) \to \infty når x \to - 2^{-} eller \lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = \infty$

(Legg merke til korleis vi markerer at $x$ nærmar seg $- 2$ frå venstre.)

Når $x$ nærmar seg verdien $- 2$ frå høgre, avtar funksjonsverdiane utan grenser.

Vi skriv $f (x) \to - \infty når x \to - 2^{+} eller \lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = - \infty$

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x minus 2 parentes slutt delt på parentes x pluss 2 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 9 og 7. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik minus 2 teikna. Grafen til f kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg minus 2 frå den negative sida og kryp inntil linja og er synkande når x nærmar seg minus 2 frå den positive sida. Skjermutklipp. — Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Dersom ein funksjon $f (x) \to \infty eller - \infty når x \to a$ frå den eine eller andre sida, så er linja $x = a$ ein vertikal asymptote for grafen av $f$ .

Når $x$ nærmar seg $a$ , så vil grafen nærme seg linja $x = a$ .

Dette tyder at linja $x = - 2$ er ein vertikal asymptote for grafen av $f (x)$ i dømet over.

Ut frå det ovenståande kan vi seie at $x = a$ er ein vertikal asymptote for ein rasjonal funksjon $f (x)$ dersom nemnaren blir null og teljaren blir eit tal ulikt null for $x = a$ .

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Eksempel

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x}$

Vi finn når nemnaren er lik null.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x & = & 0 \\ x (x - 1) & = & 0 \\ x & = & 0 \lor x - 1 = 0 \\ x & = & 0 \lor x = 1 \end{array}$

Det er her to mogelege vertikale asymptotar, $x = 0 og x = 1$ .

Vi undersøkjer først om $x = 1$ er ein vertikal asymptote ved å setje 1 inn i teljaren.

$3 \cdot 1^{2} = 3$

Teljaren er eit tal ulikt null og nemnaren er null for $x = 1$ , så $x = 1$ er ein vertikal asymptote.

Vi undersøkjer så om $x = 0$ er ein vertikal asymptote.

$3 \cdot 0^{2} = 0$

Både teljer og nemnar er null for $x = 0$ .

Funksjonen kan då ha ein grenseverdi når $x$ nærmar seg null.

Grenseverdien finn vi slik

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x \cdot x}{x \cdot (x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x}{(x - 1)} = \frac{3 \cdot 0}{0 - 1} = 0$

Grenseverdien eksisterer og vi får ingen asymptote for $x = 0$ .

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Vertikal asymptote

Eksempel

Reglar for bruk av teksten "Rasjonale funksjonar og vertikal asymptote"