Fag

Emne

Grenseverdi

Fagstoff

Video

Rasjonale funksjonar og vertikal asymptote

Rasjonale funksjonar vil som regel ha ein vertikal (loddrett) asymptote der nemnaren i funksjonsuttrykket er null. Men dette gjeld ikkje alltid!

Definisjon av en rasjonal funksjon

Ein rasjonal funksjon er ein funksjon som kan skrivast som ein brøk der teljaren og nemnaren er polynom.

Polynoma kan ha grad null, derfor er til dømes også funksjonen $\frac{1}{x}$ ein rasjonal funksjon.

Vertikal asymptote

Vi undersøkjer den rasjonale funksjonen f gitt ved

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 2}$

Ein brøk er ikkje definert når nemnaren er lik null. Vi undersøkjer om $f (x)$ har nokon grenseverdi når x nærmar seg $- 2$ . Vi reknar ut teljaren og nemnaren kvar for seg.

$\begin{array}{rcl} (- 2) - 2 & = & - 4 \\ (- 2) + 2 & = & 0 \end{array}$

Det tyder at $\lim_{x \to - 2} \frac{x - 2}{x + 2}$ ikkje eksisterer.

Når x nærmar seg verdien $- 2$ frå venstre, veks funksjonsverdiane over alle grenser.

Vi skriv

$f (x) \to \infty$ når $x \to - 2^{-}$ eller

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = \infty$

Legg merke til korleis vi markerer at x nærmar seg $- 2$ frå venstre.

Når x nærmar seg verdien $- 2$ frå høgre, avtar funksjonsverdiane utan grenser.

Vi skriv

$f (x) \to - \infty$ når $x \to - 2^{+}$ eller

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = - \infty$

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x minus 2 parentes slutt delt på parentes x pluss 2 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 9 og 7. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik minus 2 teikna. Grafen til f kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg minus 2 frå den negative sida og kryp inntil linja og er synkande når x nærmar seg minus 2 frå den positive sida. Skjermutklipp.

Definisjon av vertikal asymptote

Dersom ein funksjon $f (x) \to \infty$ eller $f (x) \to - \infty$ når $x \to a$ frå den eine eller andre sida, så er linja $x = a$ ein vertikal asymptote for grafen til f.

Når x nærmar seg a, så vil grafen nærme seg linja $x = a$ .

Vi kan derfor seie at $x = a$ er ein vertikal asymptote for ein rasjonal funksjon $f (x)$ dersom nemnaren blir null og teljaren blir eit tal ulikt null for $x = a$ .

Dette tyder at linja $x = - 2$ er ein vertikal asymptote for grafen av $f (x)$ i dømet over.

Eksempel

Vi ønsker å finne ut om grafen til funksjonen f nedanfor har ein vertikal asymptote.

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x}$

Vi finn når nemnaren er lik null.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x & = & 0 \\ x (x - 1) & = & 0 \\ x & = & 0 \lor x - 1 = 0 \\ x & = & 0 \lor x = 1 \end{array}$

Det er her to mogelege vertikale asymptotar, $x = 0$ og $x = 1$ .

Vi undersøkjer først om $x = 1$ er ein vertikal asymptote ved å setje 1 inn i teljaren.

$3 \cdot 1^{2} = 3$

Teljaren er eit tal ulikt null og nemnaren er null for $x = 1$ , så $x = 1$ er ein vertikal asymptote.

Vi undersøkjer så om $x = 0$ er ein vertikal asymptote. Teljaren gir oss

$3 \cdot 0^{2} = 0$

Både teljer og nemnar er null for $x = 0$ . Funksjonen kan då ha ein grenseverdi når x nærmar seg null.

Grenseverdien finn vi slik:

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x \cdot x}{x \cdot (x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x}{(x - 1)} = \frac{3 \cdot 0}{0 - 1} = 0$

Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $x = 0$ .

Film: Vertikal asymptote

I filmen under (lengde 4:59) får du ein gjennomgang av det første dømet på sida.

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Film: Vertikal asymptote – eksempel

I filmen under (lengde 4:12) får du ein gjennomgang av det andre dømet på siden.

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0