Grenseverdiar til polynom og rasjonale uttrykk

Grenseverdiar til polynomfunksjonar

Døme

$\underset{x\to 4}{\lim } \left(x^2-3x+3\right)=4^2-3·4+3=7$

Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen «Grenseverdi()», som vist på biletet.

Grenseverdien til ein rasjonal funksjon

Rasjonale funksjonar består av polynomfunksjonar i teljar og nemnar. Vi kan òg her finne grenseverdiar ved innsetjing. Føresetnaden er at vi ikkje får null i nemnar.

Vi skil mellom tre ulike situasjonar.

1. Grenseverdi for ein brøk der nemnaren ikkje går mot null

Døme

Vi ser på brøkane $\frac{x+5}{x-1}$ og $\frac{x-3}{x-1}$ når x går mot 3. Her kan vi finne grenseverdiane direkte ved å setje inn 3 i staden for x og rekne ut.

$\begin{array}{l}\underset{x\to 3}{\lim } \frac{x+5}{x-1}=\frac{3+5}{3-1}=\frac{8}{2}=4\\ \\ \underset{x\to 3}{\lim } \frac{x-3}{x-1}=\frac{3-3}{3-1}=\frac{0}{2}=0\end{array}$

2. Grenseverdi for ein brøk der nemnaren går mot null, men teljaren ikkje går mot null

Vi ser på brøken $\frac{2x-1}{x^2-4}$. Kva skjer med brøken når x går mot 2?

Oppgåve

Prøv å setje inn tal som er nære 2. Kva får du?

Nedanfor viser vi korleis vi kan rekne ei slik oppgåve.

Døme

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-6}{x-2}\\ \\ 2^2-6=-2\\ \\ 2-2=0\end{array}$

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-6}{x-2}$ eksisterer ikkje.

Med CAS i GeoGebra får vi eit spørsmålsteikn til svar. Tilsvarande som når det ikkje eksisterer ei løysing på ei likning, betyr dette at grenseverdien ikkje eksisterer.

3. Grenseverdi for ein brøk der både teljaren og nemnaren går mot null

Vi ser på brøken $\frac{x^2-16}{2x-8}$. Når $x=4$, får vi null både i teljaren og nemnaren.

I slike tilfelle kan vi sjekke om vi kan faktorisere og forkorte. Vi prøver:

$\underset{x\to 4}{\lim } \frac{x^2-16}{2x-8}=\underset{x\to 4}{\lim } \frac{\left(\cancel{x-4}\right)\left(x+4\right)}{2\left(\cancel{x-4}\right)}=\underset{x\to 4}{\lim } \frac{\left(x+4\right)}{2}=\frac{4+4}{2}=4$

Kanskje du lurer på kvifor det er greitt å setje inn $x=4$ i uttrykket når det opphavlege uttrykket ikkje gjeld for denne x-verdien? Svaret er at dersom to funksjonar f og g er like for alle verdiar i nærleiken av a, men ikkje nødvendigvis for $x=a$, så er

$\underset{x\to a}{\lim } f\left(x\right)=\underset{x\to a}{\lim } g\left(x\right)$

Vi viser ikkje denne påstanden her. I dømet vårt er $f\left(x\right)=\frac{x^2-16}{2x-8}$ og $g\left(x\right)=\frac{\left(x+4\right)}{2}$, og funksjonane oppfyller kravet i påstanden.

Nedanfor viser vi korleis ei slik oppgåve kan reknast for hand.

Døme

Vi skal finne

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2+x-6}{x-2}\end{array}$

Utrekning:

$\begin{array}{rcl}{2}^2+2-6& = & 0\\ 2-2& =& 0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x-2} & =& \underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(\cancel{x-2}\right)\left(x+3\right)}{\cancel{x-2}}\\ & =& \underset{x\to 2}{\lim }\left(x+3\right)\\ & =& 2+3=5\end{array}$

Døme

Vi skal finne

$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3x-12}$

Utrekning:

$\begin{array}{rcl}6\left(\sqrt{4}-2\right) & =& 6·0=0\\ 3·4-12 & =& 12-12=0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 4}{\lim }\frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3x-12} & =& \underset{x\to 4}{\lim }\frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3\left(x-4\right)}\\ & =& \underset{x\to 4}{\lim }\frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ & =& \underset{x\to 4}{\lim }\frac{2}{3\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ & =& \frac{2}{\sqrt{4}+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\end{array}$

Film: Grenseverdien for ulike funksjoner

I filmen under (lengde 4:33) får du ein gjennomgang av dei tre døma om grenseverdiar til rasjonale funksjonar.