Fagstoff

Utforsking av grenseverdiar

Grenseverdiomgrepet er særs sentralt i matematikken, og matematikarar strevde lenge med å lage ein presis definisjon.

Utforsking av grenseverdiar

Gitt funksjonen

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Funksjonen er ikkje definert for $x = 2$ , for då blir nemnaren lik null. Det er likevel aktuelt å spørje seg kva som skjer med verdiane til funksjonen når x-verdiane nærmar seg 2.

Oppgåve

Bruk rekneark eller CAS i GeoGebra og rekn ut nokre funksjonsverdiar for $x$ nær 2. Pass på å få med verdiar som er større enn 2 og mindre enn 2.

Døme på resultat

Nedanfor har vi laga eit døme på kva resultatet kan bli.

Når x nærmar seg 2
x	1,99000	1,99990	1,99999	2	2,00001	2,00010	2,01000
f(x)	3,99000	3,99900	3,99999	Ikkje definert	4,00001	4,00010	4,01000

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 4 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 3 og 6,5. Grafen er ei rett linje, men for x er lik 2 er det eit brot i linja. Skjermutklipp. — Funksjonen f eksisterer ikkje for x = 2, og då markerer vi det ved å teikne grafen som to piler der pilspissen peiker mot denne x-verdien.

Ut frå tabellen over kan det verke som om jo nærare x-verdiane kjem talet 2, jo nærare kjem funksjonsverdiane talet 4. Vi kan òg seie det på denne måten: Det kan verke som om $f (x)$ har 4 som grenseverdi når x nærmar seg 2.

I så tilfelle skriv vi dette som

$\lim_{x \to 2} f (x) = 4$

eller

$f (x) \to 4 når x \to 2$

Lim er ei forkorting for det latinske ordet limes, som betyr "grense".

Litt upresist kan vi seie følgjande:

Dersom vi kan få $f (x)$ så nær b vi måtte ønskje, berre vi vel x tilstrekkeleg nær a, så har $f (x)$ b som grenseverdi når x nærmar seg a. Vi skriv

$\lim_{x \to a} f (x) = b$ eller $f (x) \to b når x \to a$

Vi les dette som "grenseverdien for $f (x)$ når x går mot a er lik b" eller " $f (x)$ går mot b når x går mot a".

Vi går ut frå at x er med i definisjonsmengda til f, men det er ikkje naudsynt at a er med i definisjonsmengda.

Definisjonen seier at b er grenseverdi dersom vi kan få skilnaden mellom $f (x)$ og b så liten vi berre måtte ønskje, dersom vi vel x tilstrekkeleg nær a, men ikkje lik a.

Metoden vi brukte med å rekne ut nokre funksjonsverdiar ovanfor, er ikkje ein påliteleg metode for å finne grenseverdiar. Pålitelege metodar får du lære i dei følgande artiklane. Foreløpig skal vi utforske omgrepet grenseverdiar og prøve å forstå det.

Presis definisjon av grenseverdi – for dei spesielt interesserte

Matematikarar har kome fram til ein presis definisjon av grenseverdi som gjer det mogleg å lage reknereglar og dermed rekne ut grenseverdiar. Denne definisjonen ligg eigentleg utanfor dette kurset, men vi tek han med for spesielt interesserte. Denne definisjonen blir ofte omtalt som epsilon-delta-definisjonen, sidan vi bruker dei greske bokstavane $ε$ (epsilon) og $δ$ (delta) i definisjonen.

Vi seier at funksjonen $f (x)$ har talet b som grenseverdi når x nærmar seg verdien a, dersom det til alle tal $ε > 0$ finst eit tal $δ > 0$ slik at

$|f (x) - b| < ε$ når $|x - a| < δ$

Ein graf som beskriv detaljar i epsiolon-delta-beviset. Illustrasjon. — Figur til epsilon-delta-beviset

Berre vi vel x nær nok a, så hamnar altså $f (x)$ så nær b vi måtte ønskje.

Med utgangspunkt i definisjonen ovanfor kan vi bevise eit sett med setningar for grenseverdiar. Desse setningane kan vi bruke når vi skal finne grenseverdiar. Dette finn du meir om på sida "Grenseverdisetningene". Bevisa for desse setningane ligg utanfor rammene for R1-kurset, men i artikkelen "Andre matematiske bevis" (frå R2) finn du ein grundig gjennomgang av denne definisjonen.