Andre matematiske bevis

I tidlegare matematikkundervisning har du kanskje lært at i ein rettvinkla trekant der vinklane er $$ 90°, 60°$$ og $$ 30°$$, vil hypotenusen vere dobbelt så lang som den kortaste kateten. Her skal vi bevise denne setninga gjennom eit geometrisk bevis der vi bruker figuren som støtte.

Vi har gitt ein trekant $$ ABC$$ der $$ \angle A=30°, \angle B=90°$$ og $$ \angle C=60°$$. Påstanden vi skal bevise, er at i ein slik trekant er $$ AC=2BC$$.

Frå hjørnet $$ B$$ til motståande side trekker vi ei linje til punktet $$ D$$ slik at $$ \angle CBD=60°$$.

Sidan to av vinklane i $$ △BCD$$ er $$ 60°$$, har vi òg at den siste vinkelen er $$ 60°$$. Ein trekant der alle vinklane er $$ 60°$$, er likesida. Det betyr at $$ CD=BD=BC$$.

Vi har at $$ \angle DBA = \angle CBA-\angle CBD = 90°-60°=30°$$. Dette gir at $$ △ABD$$ er ein likebeint trekant sidan to av vinklane er like store. Det betyr at vi har $$ AD=BD$$, som igjen betyr at vi har $$ AD=BC$$.

Vi har til slutt at $$ AC=AD+DC=BC+BC=2BC$$, som var det vi skulle vise.

I fagartikkelen "Utforsking av grenseverdiar" i R1 er det kort beskrive korleis matematikarar bruker dei to greske bokstavane epsilon ($$ \epsilon $$) og delta ($$ \delta $$) i for å definere grenseverdiar. Her skal vi sjå litt nærare på denne metoden. Slike bevis vil du møte i høgare utdanning dersom du vel å studere matematikk vidare. I R2 er eit av kompetansemåla at du skal kunne "analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis". Eit epsilon-delta-bevis er utanfor det vi ventar at du skal kunne føre sjølv, men å kunne analysere, forstå og forklare dei berande idéane i eit slikt bevis er nyttig.

Vi ser på eit døme først.

Vi skal vise at

$$ \underset{x\to 2}{\lim }\left(3x+4\right)=10$$

Den intuitive definisjonen av denne grenseverdien er at dersom vi kan få verdien av uttrykket $$ 3x+4$$ så nær 10 vi ønsker dersom vi lar $$ x$$ vere nær nok til 2, er grenseverdien til uttrykket 10. (Her er det viktig å ikkje la seg forvirre av at vi kan få uttrykket til å bli nøyaktig 10 dersom vi set inn nøyaktig 2 for $$ x$$. Det er det som skjer med uttrykket når vi lar $$ x$$ nærme seg 2 vi er ute etter her.)

Vi kan formulere dette på følgande måte: Dersom vi gjer avstanden mellom $$ x$$ og 2, det vil seie uttrykket $$ \left|x-2\right|$$, tilstrekkeleg liten, vil forskjellen mellom $$ 3x+4$$ og 10, det vil seie uttrykket $$ \left|3x+4-10\right|$$, bli så liten vi ønsker. Med ein endå meir matematisk notasjon får vi dette:

Dersom det for alle tal $$ \epsilon >0$$ finst eit tal $$ \delta >0$$ slik at $$ $ \left|3x+4-10\right|$<\epsilon $$ og $$ \left|x-2\right|<$ \delta $$$, er $$ $ \underset{x\to 2}{\lim }\left(3x+4\right)=10$$$.

Vi veit ut frå det vi kan frå før om grenseverdiar, at grenseverdien er 10. Så korleis kan vi finne $$ \epsilon $$ og $$ $ \delta $$$ slik at vi kan bevise det?

Vi startar med å sjå på kva som skal til for at $$ $ \left|3x+4-10\right|$<\epsilon $$:

$$ $ \begin{array}{rcl}\left|3x+4-10\right| & <& \epsilon \\ \left|3x-6\right|& < & \epsilon \\ 3\left|x-2\right|& <& \epsilon \\ \left|x-2\right|& <& \frac{\epsilon }{3}\\ & & \end{array}$$$

Vi ser no at dersom $$ $ \left|3x+4-10\right|$<\epsilon $$, er $$ $ \left|x-2\right|<$ \frac{\epsilon }{3}$$$$. Kravet var at vi skulle kunne finne ein $$ $ $ \delta $$$$ slik at $$ $ \left|x-2\right|<$ \delta $$$$ for alle $$ $ \epsilon $$$. Det betyr at vi kan setje $$ $ $ \delta $$=\frac{$ \epsilon $}{3}$$, og så har vi det vi treng. Legg merke til at vi her kan gjere $$ \epsilon $$ så liten vi berre vil, for sidan $$ $ $ \delta $$$$ er avhengig av $$ $ \epsilon $$$, kan vi alltid finne ein $$ $ \delta $$$ slik at vilkåret er oppfylt.

Vi skal bruke eit epsilon-delta-bevis for å bevise den første grenseverdisetninga:

$$ \begin{array}{rcl}\underset{x\to a}{\lim } \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)& =& \underset{x\to a}{\lim } f\left(x\right)+\underset{x\to a}{\lim } g\left(x\right)\end{array}$$

Vi set

$$ $ \begin{array}{l}\underset{x\to a}{\lim } f\left(x\right)=b\end{array}$$$ og $$ $ \begin{array}{l}\underset{x\to a}{\lim } g\left(x\right)\end{array}=c$$$

Vi skal vise at dette inneber at

$$ $ \begin{array}{rcl}\underset{x\to a}{\lim } \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)& =& b+c\end{array}$$$

Dette kan vi gjere ved å vise at det alltid finst ein $$ \epsilon >0$$ og ein $$ \delta >0$$ slik at $$ $ \left|f\left(x\right)+g\left(x\right)-(b+c)\right|$<\epsilon $$ og $$ \left|x-a\right|<$ \delta $$$.

Sidan grenseverdiane til $$ f\left(x\right)$$ og $$ g\left(x\right)$$ er oppgitt til $$ b$$ og $$ c$$, veit vi at det finst ein $$ {\epsilon }_1>0$$ og ein $$ {\delta }_1>0$$ slik at $$ $ \left|f\left(x\right)-b\right|$<{\epsilon }_1$$ og $$ \left|x-a\right|<{$ \delta $}_1$$, og at det finst ein $$ {\epsilon }_2>0$$ og ein $$ {\delta }_2>0$$ slik at $$ $ \left|g\left(x\right)-c\right|$<{\epsilon }_2$$ og $$ \left|x-a\right|<{$ \delta $}_2$$.

Dette medfører at

$$ \begin{array}{ccc}2·\left|x-a\right|& <& {$ {$ \delta $}_1+\delta $}_2\\ \left|x-a\right|& <& \frac{{$ {$ \delta $}_1+\delta $}_2}{2}\end{array}$$

og at

$$\begin{gathered} \begin{array}{ccc}\left|f\left(x\right)-b\right|+$ $ \left|g\left(x\right)-c\right|$$& <& {\epsilon }_1+{\epsilon }_2\\ \left|f\left(x\right)-b+g\left(x\right)-c\right|& <& {\epsilon }_1+{\epsilon }_2\\ \begin{array}{c}\left|f\left(x\right)+g\left(x\right)-\left(c+b\right)\right|\end{array}& <& {\epsilon }_1+{\epsilon }_2\end{array}\begin{array}{}\\ \end{array} \\ \end{gathered}$$

(Overgangen mellom linje 2 og 3 skal du vise i ei oppgåve.)

Dersom vi no set $$ \delta =\frac{{\delta }_1+{\delta }_2}{2}$$ og $$ $ $ $ \epsilon ={\epsilon }_1$+{\epsilon }_2$$$$, er beviset fullført.