Fag

Fagstoff

Video

Rasjonale funksjonar, horisontal asymptote og asymptotefunksjon

Ved å finne grenseverdien for ein rasjonal funksjon når x går mot pluss eller minus uendeleg, finn vi samtidig den horisontale (vassrette) asymptoten til grafen til funksjonen. Kva skjer dersom denne grenseverdien ikkje eksisterer?

Horisontale asymptotar kan vi finne ved å la x gå mot eit uendeleg stort positivt eller negativt tal.

Horisontal asymptote

Linja $y = a$ er ein horisontal asymptote for funksjonen f dersom

$\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = a$

Døme 1

For funksjonen $f (x) = \frac{x - 2}{x + 2}$ har vi at

$\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 2}{x + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

Det betyr at den horisontale asymptoten til funksjonen f er $y = 1$ . Nedanfor har vi teikna både den horisontale og den vertikale asymptoten saman med grafen til funksjonen.

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x minus 2 parentes slutt delt på parentes x pluss 2 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 10 og 7. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik minus 2 teikna. Grafen til f kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg minus 2 frå den negative sida og kryp inntil linja og er søkkande når x nærmar seg minus 2 frå den positive sida. Den vassrette eller horisontale linja y er lik 1 er teikna inn. Grafen til f kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg pluss uendeleg og kryp meir og meir inntil linja når x går mot minus uendeleg. Skjermutklipp.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Asymptote parentes f parentes slutt. Svaret er y er lik 1 og x er lik minus 2. Skjermutklipp.

Vi kan finne asymptotane med kommandoen Asymptote(f) i CAS i GeoGebra. Legg merke til at her går vi ut frå at funksjonen f er skriven inn på førehand. Viss ikkje, må vi anten først skrive inn funksjonen før vi bruker kommandoen eller setje inn sjølve funksjonsuttrykket mellom parentesane i kommandoen. Trykk på den kvite sirkelen ved eitt-talet i CAS-vindauget for å få teikna asymptotane i grafikkfeltet.

Tips: Når du skal teikne grafen til ein rasjonal funksjon for hand, er det lurt å finne asymptotane først.

Du kan sjå ein film med dette dømet nedst på sida, og du kan lese meir om vertikal asymptote på fagstoffsida "Rasjonale funksjonar og vertikale asymptotar".

Døme 2

For funksjonen $f (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x}$ har vi at

$\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{x}{x^{2}}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{3}{1 - 0} = 3$

Når x går mot pluss eller minus uendeleg, vil grafen nærme seg linja $y = 3$ .

Linja $y = 3$ er derfor ein horisontal asymptote for funksjonen f. Nedanfor har vi teikna både den horisontale og den vertikale asymptoten saman med grafen til funksjonen med hjelp av kommandoen Asymptote(f). Legg merke til at funksjonen ikkje eksisterer for $x = 0$ . Derfor har vi markert dette på grafen.

Grafen til funksjonen f av x er lik 3x i andre delt på parentes x i andre minus x parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 7 og 11. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik 1 teikna. Grafen til f kryp inntil linja og er søkkande når x nærmar seg 1 frå den negative sida og kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg 1 frå den positive sida. Den vassrette eller horisontale linja y er lik 3 er teikna inn. Grafen til f kryp inntil linja og er søkkande når x nærmar seg pluss uendeleg og kryp meir og meir inntil linja når x går mot minus uendeleg. Skjermutklipp.

Asymptotefunksjon

Ikkje alle rasjonale funksjonar har ein horisontal asymptote. I dømet under skal du utforske det sjølv – med litt hjelp.

Døme 3

Vi ønskjer å finne asymptotane til funksjonen $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

Finne asymptotar med CAS

Den enklaste måten er å bruke CAS og først skrive inn funksjonen og deretter bruke kommandoen Asymptote(f).

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive f av x kolon er lik x i andre delt på parentes x minus 1 parentes slutt. Svaret er det same. På linje 2 er det skrive Asymptote parentes f parentes slutt. Svaret er y er lik x pluss 1 og x er lik 1. Skjermutklipp. — Asymptotane til funksjonen f

Her får vi at $x = 1$ er den vertikale asymptoten til funksjonen f, men $y = x + 1$ er ikkje den horisontale asymptoten. Dette er ei rett linje med stigingstal lik 1. Derfor kallar vi dette ein asymptotefunksjon til funksjonen f.

Vi teiknar grafen til funksjonen f saman med asymptotane og ser kva vi får. Når vi har funne asymptotane på måten som er beskriven over, er grafen til funksjonen allereie teikna i grafikkfeltet i GeoGebra. Vi trykkjer på den kvite sirkelen rett under to-talet i linje 2 i CAS-feltet for å få teikna asymptotane.

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre delt på parentes x minus 1 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 4 og 7. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik 1 teikna. Grafen til f kryp inntil linja og er søkkande når x nærmar seg 1 frå den negative sida og kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg 1 frå den positive sida. Den rette linja y er lik x pluss 1 er teikna inn. Grafen til f kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg pluss uendeleg og kryp meir og meir inntil linja og er søkkande når x går mot minus uendeleg. Skjermutklipp. — Grafen til funksjonen f inkludert vertikal asymptote og asymptotefunksjon

Vi ser at grafen til funksjonen f kryp inntil grafen til asymptotefunksjonen $y = x + 1$ når $x \to \pm \infty$ .

Finne asymptotefunksjonen utan hjelpemiddel

Ved å skrive om funksjonsuttrykket med polynomdivisjon kan vi finne asymptotefunksjonen til f.

Prøv sjølv: Vis ved å gjennomføre polynomdivisjon at funksjonen $f (x)$ kan skrivast som $f (x) = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ .

Løysing

$\begin{matrix} x^{2} & : & ( & x & ⎯ & 1 & ) & = & x + 1 + \frac{1}{x - 1} \\ ⎯ & ( & x^{2} & ⎯ & x & ) \\ x \\ - & ( & x & ⎯ & 1 & ) \\ 1 \end{matrix}$

Polynomdivisjonen går ikkje opp. Vi får ein rest lik 1. Denne resten skal òg delast på $x - 1$ . Derfor må vi leggje til brøken $\frac{1}{x - 1}$ .

Vi kan òg polynomdividere med GeoGebra ved hjelp av kommandoen "Divisjon()". Dersom du får problem med å skrive inn kommandoen, bruk stor D i "Divisjon".

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Divisjon parentes x i andre komma, x minus 1 parentes slutt. Svaret er x pluss 1 komma, 1. Skjermutklipp.

Legg merke til at divisjonsresten kjem etter kommaet i svaret.

🤔 Tenk over: Bruk resultatet over til å forklare kvifor $f (x) \to x + 1$ når $x \to \pm \infty$ .

Forklaring

Vi har at $\begin{array}{rcl} f (x) & = & x + 1 + \frac{1}{x - 1} \end{array}$ . Brøken i det siste leddet går mot 0 når $x \to \pm \infty$ fordi nemnaren går tilsvarande anten mot pluss eller minus uendeleg. Derfor får vi at $f (x) \to x + 1$ når $x \to \pm \infty$ .

🤔 Tenk over: I dei to første døma på sida finn vi den horisontale asymptoten ved å finne grenseverdien $\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ .

Eksisterer denne grenseverdien for funksjonen i døme 3?

Forklaring

Vi har at $f (x) \to x + 1$ når $x \to \pm \infty$ , men uttrykket $x + 1$ går mot uendeleg når $x \to \pm \infty$ . Grenseverdien kan derfor ikkje eksistere.

Diskuter påstanden: "Dersom grenseverdien $\lim_{x \to \pm \infty} f (x)$ hadde eksistert, ville funksjonen ha hatt ein horisontal asymptote."

Kommentar

Dersom grenseverdien hadde eksistert, ville det betydd at funksjonen gjekk mot ein fast verdi når $x \to \pm \infty$ . Ein fast verdi betyr at grafen til funksjonen kryp inntil ei vassrett linje når x blir veldig stor – og vi har ein horisontal asymptote.

Film: Horisontal asymptote

I filmen under (lengde 3:11) får du ein gjennomgang av det første dømet på sida.

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0