Grenseverdi for ein brøk når variabelen går mot uendeleg

For nokre funksjonar vil funksjonsverdiane nærme seg ein bestemt grenseverdi dersom $x$ blir veldig stor. For rasjonale funksjonar vil dette ofte vere tilfelle.

I det rasjonale uttrykket $\frac{6x^2}{2x^2+4}$ vil talet 4 i nemnaren få svært lite å seie når absoluttverdien til $x$ blir veldig stor. Brøken vil då oppføre seg som brøken $\frac{6x^2}{2x^2}$ som igjen er lik $\frac{6}{2}=3$. Dette indikerer at $\frac{6x^2}{2x^2+4}$ har talet 3 som grenseverdi når $x$ anten blir uendeleg stor eller uendeleg liten.

Ein annen måte å grunngi dette på er å dividere teljar og nemnar med den høgaste potens av $x$ som førekjem i uttrykket. I dette tilfellet er det $x^2$ . Vi får at

$\frac{6x^2}{2x^2+4}=\frac{{\displaystyle \frac{6x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}+\frac{4}{x^2}}}=\frac{6}{2+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}$

Når $x$ veks over alle grenser, vil $\frac{4}{x^2}$ gå mot null. Då vil brøken $\frac{6x^2}{2x^2+4}$ nærme seg $\frac{6}{2}=3.$ Det same resonnementet gjeld om $x$ går mot minus uendeleg. Vi har derfor at

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{6x^2}{2x^2+4}=3$

Denne skrivemåten tyder at grenseverdien er lik 3 både når $x$ går mot pluss uendeleg og mot minus uendeleg.

Vi kan føre rekninga på følgjande måte:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6x^2}{2x^2+4}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{6x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}+\frac{4}{x^2}}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6}{2+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}=\frac{6}{2+0}=3$

Vi seier at den horisontale linja $$ y=3 $$ er ein horisontal asymptote til grafen av uttrykket når $x$ går mot $\infty$ eller $-\infty$. Nedanfor har vi teikna grafen til  $$ f\left(x\right)=\frac{6x^2}{2x^2+4} $$  saman med asymptotelinja $$ \mathrm{ } y=3$$.

Ved CAS i GeoGebra får vi same svar. Når du skal skrive inn uendeleg, kan du skrive inf ("infinity", uendeleg).