Oppgåve

Rasjonale funksjonar og vertikale asymptotar

Desse oppgåvene med grenseverdiar til rasjonale funksjonar kan løysast med og utan digitale verktøy. Nedst på sida kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.

Oppgåve 1

Funksjonen f er gitt ved

$f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 4}$

a) Kva kallar vi denne typen funksjonar, og kva kjenneteiknar dei?

Løysing

Det er ein rasjonal funksjon, sidan teljaren og nemnaren er polynom. Ein rasjonal funksjon er ikkje definert når nemnaren er lik 0, og funksjonen til f er ikkje definert for dei x-verdiane som gjer at nemnaren blir 0.

b) Fyll ut verditabellen:

Verditabell
x	$f (x)$
0
1
2
3
3,5
3,99
4
4,01
5
6
7

Løysing

Verditabell
x	$f (x)$
0	$- 1$
1	$- 2$
2	$- 4$
3	$- 10$
3,5	$- 22$
3,99	$- 1198$
4
4,01	1 202
5	14
6	8
7	6

c) Sjå på verditabellen og beskriv kva som skjer når x-verdien nærmar seg 4. Kva betydning har det for grafen til f?

Løysing

Når x-verdien nærmar seg 4 frå den negative sida av x-aksen, slik som når x er lik 3,99 i verditabellen, minkar verdien til $f (x)$ mykje. Grafen minkar raskt. Når x-verdien nærmar seg 4 frå den positive sida av x-aksen, slik som når x er lik 4,01 i verditabellen, stig verdien til $f (x)$ mykje. Grafen veks raskt.

d) Sjå på verditabellen og beskriv kva som skjer når $x = 4$ . Kva betydning har det for grafen til f?

Løysing

Det er ikkje mogleg å finne ein $f (x)$ -verdi for x er lik $4$ , sidan nemnaren blir 0. Grafen eksisterer ikkje for $x = 4$ .

e) Finn den vertikale asymptoten utan hjelpemiddel.

Løysing

Vi set nemnaren lik 0 for å finne den vertikale asymptoten:

$\begin{array}{rcl} x - 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{array}$

Vi har funne ein vertikal asymptote for $x = 4 .$

f) Bruk digitale verktøy til å teikne funksjonen $f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 4}$ saman med den vertikale asymptoten.

Løysing

Vi teiknar grafen til $f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 4}$ og linja $x = 4$ :

Grafen til f av x er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 10 til 20 og y-aksen går frå minus 8 til 12. Grafen til f minkar mot minus uendeleg når han nærmar seg x er lik 4 frå venstre side, mens han veks mot uendeleg når han nærmar seg x er lik 4 frå høgre side. Illustrasjon.

Oppgåve 2

Funksjonen f er gitt ved

$f (x) = \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4}$

a) Rekn ut grenseverdiane for f når x går mot 2 og $- 2$ utan hjelpemiddel.

Løysing

$x = - 2$ :

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to - 2} \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4} & = & \frac{3 \cdot (- 2) + 6}{{(- 2)}^{2} - 4} = \frac{- 6 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0} \end{array}$

Vi sjekkar om funksjonsuttrykket kan forkortast:

$\frac{3 x + 6}{x^{2} - 4} = \frac{3 (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{3}{x - 2}$

$\lim_{x \to - 2} f (x) = \lim_{x \to - 2} \frac{3}{x - 2} = \frac{3}{- 2 - 2} = - \frac{3}{4}$

$x = 2$ :

Vi kan bruke det forkorta uttrykket til å rekne ut den andre grenseverdien:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 2} \frac{3}{x - 2} & = & \frac{3}{2 - 2} = \frac{3}{0} = + \infty \end{array}$

Grenseverdien eksisterer ikkje.

b) Finn grenseverdien for f når x går mot 2 og $- 2$ med CAS.

Løysing

Vi bruker CAS i GeoGebra. Vi vel kommandoen "Grenseverdi(<Uttrykk>,<Verdi>) og får:

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 1 er det skrive Grenseverdi parentes 3 x pluss 6 i teljaren og x i andre minus 4 i nemaren komma 2 parentes slutt. Svaret er spørsmålsteikn. På linje 2 er det skrive Grenseverdi parentes 3 x pluss 6 i teljaren og x i andre minus 4 i nemnaren komma minus 2 parentes slutt. Svaret er minus 3 firedelar. Skjermutklipp.

c) Kva kan vi seie om funksjonen ut ifrå grenseverdiane vi fann i a) og b)?

Løysing

Funksjonen eksisterer ikkje for $x = - 2$ eller for $x = 2$ fordi det blir 0 i nemnaren på funksjonsuttrykket. Men sidan $\lim_{x \to - 2} f (x)$ eksisterer, har grafen til funksjonen ingen vertikal asymptote i $x = - 2$ . Grafen til funksjonen har ein vertikal asymptote i $x = 2$ .

d) Kva samanheng er det mellom grafen til f og den vertikale asymptoten til f?

Løysing

Den vertikale asymptoten til f lagar ei rett linje som grafen til f berre kan nærme seg, men ikkje krysse.

e) Teikn grafen til f saman med den vertikale asymptoten.

Løysing

Vi skriv inn funksjonen $f (x) = \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4}$ og asymptoten $x = 2$ i GeoGebra:

Grafen til f av x er lik parentes 3 x pluss 6 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 4 parentes slutt er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 3 til 8 og y-aksen går frå minus 3 til 3. Grafen til f minkar mot minus uendeleg når han nærmar seg x er lik 2 frå venstre side, mens han veks mot pluss uendeleg når han nærmar seg x er lik 2 frå høgre side. Ein vertikal asymptote er teikna inn for x er lik 2. Illustrasjon.

Vi har sett eit kryss på det punktet der grafen kryssar linja $x = - 2$ for å markere at funksjonen og grafen ikkje eksisterer der.

Oppgåve 3

Finn definisjonsområdet og eventuelle vertikale asymptotar for kvar av funksjonane under utan hjelpemiddel.

a) $f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 4}$

Løysing

Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for x-verdiar som gir 0 i nemnaren. Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 & = & 0 \\ x^{2} & = & - 4 \end{array}$

Det er ingen x-verdiar som gir $0$ i nemnaren. Definisjonsområdet for f er derfor $D_{f} = ℝ$ . Funksjonen har ingen vertikale asymptotar, sidan han er definert for alle verdiar av x.

b) $g (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 4}$

Løysing

Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for x-verdiar som gir 0 i nemnaren. Vi set nemnaren lik 0:

$x^{2} - 4 = 0 x^{2} = 4 x = 2 \lor x = - 2$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 2$ : $2 + 1 = 3 .$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = - 2$ : $- 2 + 1 = - 1 .$

Både $x = 2$ og $x = - 2$ er asymptotar for $f (x) .$ Definisjonsområdet for g er $D_{g} = ℝ \ \{- 2, 2\}$ .

c) $h (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{2} - x}$

Løysing

Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for x-verdier som gir 0 i nemnaren. Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x & = & 0 \\ x (x - 1) & = & 0 \\ x & = & 0 \lor x = 1 \end{array}$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 0$ : $4 \cdot 0^{2} = 0$ . Det gir eit $\frac{0}{0}$ -uttrykk. Funksjonen kan då ha ein grenseverdi når x nærmar seg null.

Grenseverdien finn vi slik:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{x^{2} - x} & = & \lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{x (x - 1)} \\ = & \frac{4 \cdot 0}{0 - 1} = \frac{0}{- 1} = 0 \end{array}$

Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $x = 0$ .

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 1$ : $4 \cdot 1^{2} = 4$ . Teljaren er eit tal ulikt frå null, og nemnaren er null for $x = 1$ , så $x = 1$ er ein vertikal asymptote. Definisjonsområdet for h er $D_{h} = ℝ \ \{1\}$ .

d) $i (x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 5 x + 6}$

Løysing

Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for x-verdiar som gir 0 i nemnaren. Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \\ (x + 2) \cdot (x + 3) & = & 0 \\ x & = & - 2 \lor x = - 3 \end{array}$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = - 2$ : $(- 2)^{2} - (- 2) = 4 + 2 = 6$ .

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = - 3$ : $(- 3)^{2} - 2 = 9 - 2 = 7$ .

Både $x = - 2$ og $x = - 3$ er asymptotar for $i (x)$ . Definisjonsområdet for i er $D_{i} = ℝ \ \{- 2, - 3\}$ .

Oppgåve 4

Finn eventuelle vertikale asymptotar til funksjonane utan bruk av hjelpemiddel. Prøv å beskrive kva dei vertikale asymptotane fortel om funksjonen i kvart enkelt tilfelle. Til slutt bruker du digitale verktøy til å teikne funksjonen og asymptotane.

a) $f (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$

Løysing

Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x - 1 & = & 0 \\ x & = & 1 \end{array}$

Det betyr at funksjonen ikkje eksisterer for $x = 1$ .

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 1$ : $1 + 3 = 4$

$x = 1$ er derfor ein vertikal asymptote for f, og grafen til f kan ikkje krysse linja $x = 1 .$ Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = 1$ frå

venstre side: $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$
høgre side: $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \infty$

Vi teiknar grafen og den vertikale asymptoten med GeoGebra:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x pluss 3 parentes slutt delt på parentes x minus 1 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 8 og 12. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik 1 teikna. Grafen til f kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg 1 frå den positive sida. Grafen kryp inntil linja og søkk når x nærmar seg 1 frå den negative sida. Illustrasjon.

b) $g (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9}$

Løysing

Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 9 & = & 0 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

Det betyr at funksjonen ikkje eksisterer for $x = - 3$ eller for $x = 3$ .

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 3$ : $3^{2} - 4 = 5$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = - 3$ : $(- 3)^{2} - 4 = 5$

Både $x = - 3$ og $x = 3$ er vertikale asymptotar for g, og grafen kan ikkje krysse desse linjene.

Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = - 3$ frå

venstre side: $\lim_{x \to - 3^{-}} g (x) = + \infty$
høgre side: $\lim_{x \to - 3^{+}} g (x) = - \infty$

Så ser vi på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = 3$ frå

venstre side: $\lim_{x \to 3^{-}} g (x) = - \infty$
høgre side: $\lim_{x \to 3^{+}} g (x) = + \infty$

Vi teiknar grafen og dei vertikale asymptotane med GeoGebra:

Grafen til funksjonen g av x er lik parentes x i andre minus 4 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 9 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 6 og 7. I tillegg er 2 loddrette eller vertikale linjer teikna for x er lik minus 3 og x er lik 3. Grafen til g kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg minus 3 frå den negative sida. Grafen kryp inntil linja og søkk når x nærmar seg 3 frå den negative sida. Grafen er synkande og kryp inntil linja x er lik minus 3 når han nærmar seg denne linja frå den positive sida. Grafen er veksande når x nærmar seg 3 frå den positive sida. Illustrasjon.

c) $h (x) = \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Løysing

Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 5 x - 6 & = & 0 \\ (x - 6) (x + 1) & = & 0 \\ x & = & 6 \lor x = - 1 \end{array}$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 6$ : $6^{2} - 3 = 36 - 3 = 33$

$x = 6$ er ein vertikal asymptote for $h (x) .$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = - 1$ : ${(- 1)}^{2} - 3 = 1 - 3 = - 2$

$x = - 1$ er ein vertikal asymptote for $h (x)$ .

Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = 6$ frå

venstre side: $\lim_{x \to 6^{-}} h (x) = - \infty$
høgre side: $\lim_{x \to 6^{+}} h (x) = + \infty$

Så ser vi på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = - 1$ frå

venstre side: $\lim_{x \to - 1^{-}} h (x) = - \infty$
høgre side: $\lim_{x \to - 1^{+}} h (x) = + \infty$

Vi teiknar grafen og dei vertikale asymptotane med GeoGebra:

Grafen til funksjonen h av x er lik parentes x i andre minus 3 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 5 x minus 5 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 6 og 10. I tillegg er dei loddrette eller vertikale linjene x er lik minus 1 og x er lik 6 teikna. Grafen til h kryp inntil linja x er lik minus 1 frå den negative sida og er minkande. Grafen til h er veksande når ein nærmar seg x er lik minus 1 frå den positive sida. Grafen til h søkk og kryp inntil linja x er lik 6 når ein nærmar seg linja frå den negative sida. Grafen til h er veksande når ein nærmar seg linja x er lik 6 frå den positive sida. Illustrasjon.

d) $i (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

Løysing

Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

Funksjonen eksisterer ikkje for $x = - 2$ eller for $x = 2$ .

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 2$ : $2 + 2 = 4$

$x = 2$ er ein vertikal asymptote for $i (x)$ .

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = - 2$ : $- 2 + 2 = 0$

$x = - 2$ er ikkje ein vertikal asymptote for $i (x)$ .

Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = 2$ frå

venstre side: $\lim_{x \to 2^{-}} i (x) = - \infty$
høgre side: $\lim_{x \to 2^{+}} i (x) = \infty$

Så teiknar vi grafen til i og asymptoten med GeoGebra:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x pluss 2 parentes slutt parentes x i andre minus 4 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 3 og 8. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik 2 teikna. Grafen til f søkk når han nærmar seg linja x er lik 2 frå den negative sida. Grafen til f er veksande når han nærmar seg x er lik 2 frå den positive sida. Illustrasjon.

Vi har sett eit kryss på det punktet der grafen kryssar linja $x = - 2$ for å markere at funksjonen og grafen ikkje eksisterer der.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgåvene som Word- og pdf-dokument.