Fag

Emne

Grenseverdi

Fagstoff

Video

Grenseverdi for ein brøk når variabelen går mot uendeleg

Vi er ofte også interesserte i å finne ut korleis det går med funksjonar når den variable veks eller avtar utan grenser. Det vil seie at den ukjende variabelen går mot pluss uendeleg eller minus uendeleg.

Definisjon av grenseverdi når x går mot uendeleg

For nokre funksjonar vil funksjonsverdiane nærme seg ein bestemt grenseverdi dersom x blir veldig stor. For rasjonale funksjonar vil dette ofte vere tilfelle.

Vi seier at $f (x)$ nærmar seg A som grenseverdi når x blir uendeleg stor, dersom det er slik at vi kan få avstanden mellom $f (x)$ og A så liten vi berre måtte ønskje, dersom vi berre vel x stor nok.

Vi skriv

$\lim_{x \to \infty} f (x) = A$

Det tilsvarande gjeld når den variable går mot minus uendeleg.

Døme

Vi ønsker å finne

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$

I det rasjonale uttrykket $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ vil talet 4 i nemnaren få svært lite å seie når x blir veldig stor. Brøken vil då oppføre seg som brøken $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2}}$ som igjen er lik $\frac{6}{2} = 3$ . Dette tyder på at $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ har talet 3 som grenseverdi når x anten blir uendeleg stor eller uendeleg liten.

Ein annen måte å grunngi dette på er å dividere teljar og nemnar med den høgaste potensen av x som førekjem i uttrykket. I dette tilfellet er det $x^{2}$ . Vi får at

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4} = \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} = \frac{6}{2 + \frac{4}{x^{2}}}$

Når x veks over alle grenser, vil $\frac{4}{x^{2}}$ gå mot null. Då vil brøken $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ nærme seg $\frac{6}{2} = 3 .$ Det same resonnementet gjeld om x går mot minus uendeleg. Vi har derfor at

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4} = 3$

Denne skrivemåten tyder at grenseverdien er lik 3 både når x går mot pluss uendeleg og mot minus uendeleg.

Vi kan føre rekninga på følgjande måte:

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{2 + \frac{4}{x^{2}}} = \frac{6}{2 + 0} = 3$

Vi seier at den horisontale (vassrette) linja $y = 3$ er ein horisontal asymptote til grafen av uttrykket når x går mot $\infty$ eller $- \infty$ . Nedanfor har vi teikna grafen til $f (x) = \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ saman med asymptotelinja $y = 3$ .

Grafen til funksjonen f av x er lik 6 x i andre delt på parentes 2 x i andre pluss 4 parentes slutt er tegna i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 8 og 9. I tillegg er den rette linja y er lik 3 tegnet. Grafen til f kryper tett opp til linja når x blir veldig stor eller veldig liten. Skjermutklipp.

CAS-utrekning med GeoGebra. På linje 1 er det skrive Grenseverdi parentes 6 x i andre delt på parentes 2 x i andre pluss 4 parentes slutt komma, uendeleg parentes slutt. Svaret er 3. Skjermutklipp.

Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra. Når du skal skrive inn uendeleg, kan du skrive inf ("infinity", uendeleg).

Film: Grenseverdier for en brøk når x går mot pluss/minus uendelig

I filmen under (lengde 3:27) får du ein gjennomgang av dømet over.

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0