Oppgåve

Rasjonale funksjonar og vertikale asymptotar

Desse oppgåvene med grenseverdiar til rasjonale funksjonar kan løysast med og utan digitale verktøy.

2.1.30

$f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 4}$

a) Kva kallar vi denne typen funksjonar, og kva kjenneteiknar dei?

Løysing

Det er ein rasjonal funksjon, sidan teljaren og nemnaren er polynom. Ein rasjonal funksjon er ikkje definert når nemnaren er lik $0$ , og funksjonen til $f$ er ikkje definert for dei $x$ -verdiane som gjer at nemnaren blir $0 .$

b) Fyll ut verditabellen: $\begin{matrix} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 3, 5 & 3, 99 & 4 & 4, 01 & 5 & 6 & 7 \\ f (x) \end{matrix}$

Løysing

$\begin{matrix} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 3, 5 & 3, 99 & 4 & 4, 01 & 5 & 6 & 7 \\ f (x) & - 1 & - 2 & - 4 & - 10 & - 22 & - 1198 & 1202 & 14 & 8 & 6 \end{matrix}$

c) Sjå på verditabellen og beskriv kva som skjer når $x$ -verdien nærmar seg $4$ . Kva betydning har det for grafen til $f$ ?

Løysing

Når $x$ -verdiar nærmar seg 4 frå den negative sida av $x$ -aksen, slik som når $x$ er lik 3,99 i verditabellen, minkar verdien til $f (x)$ mykje. Grafen minkar raskt. Når $x$ -verdiar nærmar seg $4$ frå den positive sida av $x$ -aksen, slik som når $x$ er lik $4, 01$ i verditabellen, stig verdien til $f (x)$ mykje. Grafen veks raskt.

d) Sjå på verditabellen og beskriv kva som skjer når $x = 4$ . Kva betydning har det for grafen til $f$ ?

Løysing

Det er ikkje mogleg å finne ein $f (x)$ -verdi for $x$ er lik $4$ , sidan nemnaren blir $0 .$ Grafen eksisterer ikkje for $x = 4$ .

e) Finn den vertikale asymptoten utan bruk av digitale verktøy.

Løysing

Vi set nemnaren lik $0$ for å finne den vertikale asymptoten:

$\begin{array}{rcl} x - 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{array}$

Vi har funne ein vertikal asymptote for $x = 4 .$

f) Bruk digitale verktøy til å teikne funksjonen $f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 4} .$

Løysing

Vi teiknar grafen til $f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 4}$ :

Grafen til f av x er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 8 til 16 og y-aksen går frå minus 8 til 14. Grafen til f minkar mot minus uendeleg når han nærmar seg x er lik 4 frå venstre side, mens han veks mot uendeleg når han nærmar seg x er lik 4 frå høgre side. Skjermutklipp. — Grafen til f(x)

g) Finn den vertikale asymptoten til $f$ ved hjelp av digitale verktøy.

Løysing

Vi vel kommandoen Asymptote(<Funksjon>) og skriv $f$ for "funksjon". Då finn vi den vertikale asymptoten, ei raud stipla linje, for $x = 4 .$

Grafen til f av x er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 6 til 14 og y-aksen går frå minus 6 til 10. Grafen til f minkar mot minus uendeleg når han nærmar seg x er lik 4 frå venstre side, mens han veks mot uendeleg når han nærmar seg x er lik 4 frå høgre side. Ein vertikal asymptote er teikna inn for x er lik 4, og ein horisontal asymptote er teikna inn for y er lik 2. Skjermutklipp. — Grafen til f(x) med asymptotar

h) Får du fleire asymptotar eller linjer? Kva kan den siste linja vere?

Løysing

Linja $y = 2$ , den raude stipla linja, er ein horisontal asymptote for $f$ . Ho viser kva verdi grafen nærmar seg når $x$ veks mot $\pm \infty .$

2.1.31

$f (x) = \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4}$

a) Rekn ut grenseverdiane for $f$ når $x$ går mot $\pm 2 .$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \pm 2} f (x) & = & \lim_{x \to \pm 2} \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to \pm 2} \frac{3 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} \\ = & \lim_{x \to \pm 2} \frac{3}{(x - 2)} \end{array}$

$\lim_{x \to + 2} \frac{3}{(x - 2)} = \frac{3}{(2 - 2)} = \frac{3}{0} = + \infty$

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to - 2} \frac{3}{(x - 2)} & = & \frac{3}{- 2 - 2} = = - \frac{3}{4} \end{array}$

b) Rekn ut grenseverdien for $f$ når $x$ går mot $\pm 2$ ved hjelp av digitale verktøy.

Løysing

Vi bruker CAS i GeoGebra. Vi vel kommandoen Grenseverdi ( <Uttrykk> , <Verdi> ) og får:

CAS-utrekning i GeoGebra. På linje 1 er det skrive Grenseverdi parentes 3 x pluss 6 i teljaren og x i andre minus 4 i nemaren komma 2 parentes slutt. Svaret er spørsmålsteikn. På linje 2 er det skrive Grenseverdi parentes 3 x pluss 6 i teljaren og x i andre minus 4 i nemnaren komma minus 2 parentes slutt. Svaret er minus 3 firedelar. Skjermutklipp. — Grenseverdiar når x går mot 2 og −2

c) Kva kan vi seie om funksjonen ut ifrå grenseverdiane vi fann i a) og b)?

Løysing

Funksjonen eksisterer ikkje for når $x = 2$ , mens han får verdien $f (x) = - \frac{3}{4}$ når $x = - 2 .$ Funksjonen har ingen asymptote i $x = - 2$ , sidan vi kan forkorte uttrykket og få $\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4} \\ = & \frac{3 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} \\ = & \frac{3}{x - 2} \end{array}$

d) Finn den vertikale asymptoten til $f$ ved hjelp av rekning.

Løysing

Vi set nemnaren lik $0 .$

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 4 & = & 0 \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & 2 \lor x = - 2 \end{array}$

Vi undersøkjer om $x = 2$ er ein vertikal asymptote.

Så set vi $x = 2$ inn i teljaren: $3 \cdot 2 + 6 = 12 .$

Teljaren er eit tal ulikt frå null, og nemnaren er null for $x = 2$ , så $x = 2$ er ein vertikal asymptote.

Vi set $x = - 2$ inn i teljaren: $3 \cdot (- 2) + 6 = 0 .$

Både teljaren og nemnaren er null for $x = - 2$ . Det gir eit $\frac{0}{0}$ -uttrykk. Funksjonen kan då ha ein grenseverdi når $x$ nærmar seg $- 2$ . Grenseverdien fann vi i a). Grenseverdien for $x = - 2$ er $- \frac{3}{4} .$ Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $x = - 2$ .

e) Kva samanheng er det mellom grafen til $f$ og den vertikale asymptoten til $f$ ?

Løysing

Den vertikale asymptoten til $f$ lagar ei rett linje som grafen til $f$ berre kan nærme seg, men ikkje krysse.

f) Bruk digitale verktøy til å teikne $f$ saman med asymptotane til $f .$

Løysing

Grafen til $f (x) = \frac{3 x + 6}{x^{2} - 4}$ :

Grafen til f av x er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå minus 8 til 8 og y-aksen går frå minus 8 til 8. Grafen til f minkar mot minus uendeleg når han nærmar seg x er lik 2 frå venstre side, mens han veks mot pluss uendeleg når han nærmar seg x er lik 2 frå høgre side. Ein vertikal asymptote er teikna inn for x er lik 2, og ein horisontal asymptote er teikna inn for y er lik 0. Skjermutklipp.

2.1.32

Finn definisjonsområdet og eventuelle vertikale asymptotar for kvar av funksjonane under.

a) $f (x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 4}$

Løysing

Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for $x$ -verdiar som gir $0$ i nemnaren. Vi set nemnaren lik $0$ :

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 & = & 0 \\ x^{2} & = & - 4 \end{array}$

Det er ingen $x$ -verdiar som gir $0$ i nemnaren.

Definisjonsområdet for $f$ er $D_{f} = ℝ$ . Funksjonen har ingen vertikale asymptotar, sidan han er definert for alle verdiar av $x .$

b) $g (x) = \frac{x + 1}{x^{2} - 4}$

Løysing

Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for $x$ -verdiar som gir $0$ i nemnaren. Vi set nemnaren lik $0$ :

$x^{2} - 4 = 0 x^{2} = 4 x = 2 \lor x = - 2$

VI sjekkar om teljaren blir $0$ for $x = 2$ : $2 + 1 = 3 .$

Vi sjekkar om teljaren blir $0$ for $x = - 2$ : $- 2 + 1 = - 1 .$

Både $x = 2$ og $x = - 2$ er asymptotar for $f (x) .$ Definisjonsområdet for $g$ er $D_{g} = ℝ \ \{- 2, 2\}$ .

c) $h (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{2} - x}$

Løysing

Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for x-verdier som gir 0 i nemnaren. Vi set nemnaren lik 0:
$\begin{array}{rcl} x^{2} - x & = & 0 \\ x (x - 1) & = & 0 \\ x & = & 0 \lor x = 1 \end{array}$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 0$ : $4 \cdot 0^{2} = 0$ . Det gir eit $\frac{0}{0}$ -uttrykk. Funksjonen kan då ha ein grenseverdi når $x$ nærmar seg null.

Grenseverdien finn vi slik:

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{x^{2} - x} & = & \lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{x (x - 1)} \\ = & \frac{4 \cdot 0}{0 - 1} = \frac{0}{- 1} = 0 \end{array}$

Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $x = 0$ .

Vi sjekkar om teljaren blir $0$ for $x = 1$ : $4 \cdot 1^{2} = 4$ . Teljaren er eit tal ulikt frå null, og nemnaren er null for $x = 1$ , så $x = 1$ er ein vertikal asymptote. Definisjonsområdet for $h$ er $D_{h} = ℝ \ \{1\}$ .

d) $i (x) = \frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 5 x + 6}$

Løysing

Funksjonen er ein rasjonal funksjon, og han er ikkje definert for $x$ -verdiar som gir $0$ i nemnaren. Vi set nemnaren lik $0$ : $\begin{array}{rcl} x^{2} + 5 x + 6 & = & 0 \\ (x + 2) \cdot (x + 3) & = & 0 \\ x & = & - 2 \lor x = - 3 \end{array}$ .

Vi sjekkar om teljaren blir $0$ for $x = - 2$ : $(- 2)^{2} - (- 2) = 4 + 2 = 6$ .

Vi sjekkar om teljaren blir $0$ for $x = - 3$ : $(- 3)^{2} - 2 = 9 - 2 = 7$ .

Både $x = - 2$ og $x = - 3$ er asymptotar for $i (x)$ . Definisjonsområdet for $i$ er $D_{i} = ℝ \ \{- 2, - 3\} .$

2.1.33

Rekn ut eventuelle vertikale asymptotar til funksjonane utan bruk av hjelpemiddel. Prøv å beskrive kva den vertikale asymptoten fortel om funksjonen i kvart enkelt tilfelle. Til slutt bruker du digitale verktøy til å teikne funksjonen, og for å sjå om du fann dei riktige asymptotane.

a) $f (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$

Løysing

Vi set nemnaren lik $0$ :

$\begin{array}{rcl} x - 1 & = & 0 \\ x & = & 1 \end{array}$

Vi sjekkar om teljaren blir $0$ for $x = 1 :$ $1 + 3 = 4$ . $x = 1$ er ein vertikal asymptote for $f .$ Det betyr at funksjonen ikkje eksisterer for $x = 1$ , og at grafen ikkje kan krysse linja $x = 1 .$ Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = 1$ frå

venstre side: $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$

høgre side: $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \infty$

Vi teiknar grafen med GeoGebra og finn asymptotane:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x pluss 3 parentes slutt delt på parentes x minus 1 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 4 og 8. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik 1 teikna. Grafen til f kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg 1 frå den positive sida. Grafen kryp inntil linja og søkk når x nærmar seg 1 frå den negative sida. Skjermutklipp.

b) $g (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 9}$

Løysing

Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 9 & = & 0 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 3$ : $3^{2} - 4 = 5$ .

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = - 3$ : $(- 3)^{2} - 4 = 5$ .

Både $x = - 3$ og $x = 3$ er vertikale asymptotar for $g$ . Det betyr at funksjonen ikkje eksisterer for $x = - 3$ og $x = 3$ , og at grafen ikkje kan krysse linjene som er asymptotar.

Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = - 3$ frå

venstre side: $\lim_{x \to - 3^{-}} g (x) = + \infty$

høgre side: $\lim_{x \to - 3^{+}} g (x) = - \infty$

Så ser vi på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = 3$ frå

venstre side: $\lim_{x \to 3^{-}} g (x) = - \infty$

høgre side: $\lim_{x \to 3^{+}} g (x) = + \infty$

Vi teiknar grafen med GeoGebra og finn asymptotane:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 4 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 9 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 7 og 8. I tillegg er 2 loddrette eller vertikale linjer teikna for x er lik minus 3 og x er lik 3. Grafen til f kryp inntil linja og er stigande når x nærmar seg minus 3 frå den negative sida. Grafen kryp inntil linja og søkk når x nærmar seg 3 frå den negative sida. Grafen er synkande og kryp inntil linja x er lik minus 3 når han nærmar seg denne linja frå den positive sida. Grafen er veksande når x nærmar seg 3 frå den positive sida. Skjermutklipp.

c) $h (x) = \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 5 x - 6}$

Løysing

Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 5 x - 6 & = & 0 \\ (x - 6) (x + 1) & = & 0 \\ x & = & 6 \lor x = - 1 \end{array}$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 6$ : $6^{2} - 3 = 36 - 3 = 33$ $x = 6$ er ein vertikal asymptote for $h (x) .$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = - 1$ : ${(- 1)}^{2} - 3 = 1 - 3 = - 2$ $x = - 1$ er ein vertikal asymptote for $h (x)$ .

Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = 6$ frå

venstre side: $\lim_{x \to 6^{-}} h (x) = - \infty$

høgre side: $\lim_{x \to 6^{+}} h (x) = + \infty$

Så ser vi på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = - 1$ frå

venstre side: $\lim_{x \to - 1^{-}} h (x) = - \infty$

høgre side: $\lim_{x \to - 1^{+}} h (x) = + \infty$

Vi teiknar grafen med GeoGebra og finn asymptotane:

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 3 parentes slutt delt på parentes x i andre minus 5 x minus 5 parentes slutt er teikna for x-verdiar mellom minus 6 og 10. I tillegg er dei loddrette eller vertikale linjene x er lik minus 1 og x er lik 6 teikna. Den vassrette linja y er lik 1 er teikna. Grafen til f kryp inntil linja x er lik minus 1 frå den negative sida og er minkande. Grafen til f er veksende når ein nærmar seg x er lik minus 1 frå den positive sida. Grafen til f søkk og kryp inntil linja x er lik 6 når ein nærmar seg linja frå den negative sida. Grafen til f er veksende når ein nærmar seg linja x er lik 6 frå den positive sida. Skjermutklipp.

d) $i (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 4}$

Løysing

Vi set nemnaren lik 0:

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = 2$ : $2 + 2 = 4$ $x = 2$ er ein vertikal asymptote for $i (x)$ .

Vi sjekkar om teljaren blir 0 for $x = - 2$ : $- 2 + 2 = 0$ $x = - 2$ er ikkje ein vertikal asymptote for $i (x)$ .

Vi ser på kva som skjer når grafen nærmar seg asymptoten $x = 2$ frå

venstre side: $\lim_{x \to 2^{-}} i (x) = - \infty$

høgre side: $\lim_{x \to 2^{+}} i (x) = \infty$

Så teiknar vi grafen med GeoGebra og finn asymptotane: