Rasjonale funksjoner og asymptoter

Når x-verdien nærmer seg 2 fra venstre, går funksjonsverdien mot minus uendelig.

Når x nærmer seg 2 fra høyre, går funksjonsverdien mot pluss uendelig.

Grafen til funksjonen f:

Se grafbildet i oppgave d). Linja $x=2$ kalles vertikal asymptote.

Funksjonsverdien nærmer seg 1 når $x\to -\infty$.

Funksjonsverdien nærmer seg 1 når $x\to +\infty$.

Grafen til funksjonen f:

Se grafbildet i oppgave d). Linja $y=1$ kalles horisontal (vannrett) asymptote.

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når $x=2$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=2$ er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2}{x-2}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{0}{1-0}=0\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg 0, det vil si x-aksen. Linja $y=0$ er en horisontal asymptote for f.

Vi regner ut $f\left(0\right)=\frac{2}{0-2}=-1$ for å finne ut i hvilke områder grafen ligger.

Grafen til f:

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når $x=2$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=2$ er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x-2}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}-\frac{2}{x}}}=\frac{1-0}{1-0}=1\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=1$.

Linja $y=1$ er en horisontal asymptote for f.

Vi regner ut $f\left(0\right)=\frac{0-1}{0-2}=\frac{1}{2}$ for å finne ut i hvilke områder grafen ligger.

Grafen til f:

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når $x=2$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=2$  er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

Vi ser at telleren er av høyere grad enn nevneren. Da kan vi polynomdividere:

$\begin{array}{cccccccccccccc}& (x^2& +& 0x& +& 4)& :& (& x& ⎯& 2& )& = & x+2+\frac{8}{x+2} \\ -& (x^2& -& 2x)& & & & & & & & & & \\ & & & 2x& +& 4& & & & & & & & \\ & & -& (2x& -& 4)& & & & & & & & \\ & & & & & 8& & & & & & & & \end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil brøken $\frac{8}{x-2}$ gå mot 0. Da er funksjonen tilnærmet lik $x+2$. Linja $y=x+2$ er en asymptote for grafen til f, og grafen har ingen horisontal asymptote.

Vi regner ut $f\left(0\right)=\frac{0^2+4}{0-2}=\frac{4}{-2}=-2$ for å finne ut i hvilke områder grafen ligger.

Grafen til f:

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når $x=0$. Telleren er ikke 0.

Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=0$, det vil si y-aksen, er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x-1}{x}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}=\frac{3-0}{1}=3\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=3$.

Linja $y=3$ er en horisontal asymptote for f.

Vi regner ut $f\left(1\right)=\frac{3·1-1}{1}=2$ for å finne ut i hvilke områder grafen ligger.

Grafen til f:

Totalprisen for å leie bobil er lik pris per kilometer multiplisert med antall kilometer pluss den faste prisen, det vil si $3 \mathrm{kr}/\mathrm{km}· x \mathrm{km}+ 10 000 \mathrm{kr}$. Gjennomsnittsprisen får vi så ved å dele dette på antall kilometer x. Da får vi

$P\left(x\right)=\frac{3x+10 000}{x}$

Funksjonsuttrykket blir en rasjonal funksjon.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }P\left(x\right)& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3x+10 000}{x}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{3x}{x}}+{\displaystyle \frac{10 000}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3+{\displaystyle \frac{10 000}{x}}}{1}\\ & =& 3\end{array}$

Dette betyr at funksjonen P har den horisontale asymptoten $y=3$.

Grenseverdien kan også finnes med kommandoen Grenseverdi.

Den vertikale asymptoten til funksjonen finner vi ved å sette nevneren i $P\left(x\right)$ lik 0. Den vertikale asymptoten er derfor

$x=0$

Vi skriver inn funksjonen P i CAS og bruker kommandoen Asymptote for å finne og få tegnet asymptotene. Så finner vi de tre gjennomsnittsprisene ved å lage punkt på grafen, se linje 3, 4 og 5 i CAS-utklippet.

Funksjonen ble lagt inn uten å ta hensyn til definisjonsmengden. Det kan se ut som kommandoen Asymptote ikke virker da. Grafen viser at ved en total kjørelengde på 300 kilometer blir prisen per kilometer 36 kroner. Ved en total kjørelengde på 500 kilometer, blir prisen per kilometer 23 kroner, og ved en total kjørelengde på 2 000 kilometer, blir prisen per kilometer 8 kroner.

Gjennomsnittlig pris per kilometer avtar med økende kjørelengde. Grafen synker veldig fort til å begynne med, for så å flate ut.

Dette svarer til hva den gjennomsnittlige prisen per kilometer nærmer seg mot når den totale kjørelengden blir veldig stor. Jo lengre Tove kjører, jo nærmere kommer prisen per kilometer 3 kroner.

Det betyr at når antall kjørte kilometer går mot null, går prisen per kilometer mot uendelig.

$K\left(x\right)$ består av et polynom i både telleren og nevneren. $K\left(x\right)$ er en rasjonal funksjon.

Vi løser oppgaven med CAS:

Konsentrasjonen er 2,71 $\mathrm{mg/mL}$ etter en halv time, 5,75 $\mathrm{mg/mL}$ etter 2 timer, 3,45 $\mathrm{mg/mL}$ etter 6 timer og 1,86 $\mathrm{mg/mL}$ etter 12 timer.

$\begin{array}{rcl}H\left(x\right) & =& \frac{K\left(x\right)}{2}= \frac{23x}{x^2+4}·\frac{1}{2} = \frac{23x}{2x^2+8}\end{array}$

Vi bruker graftegner og legger inn funksjonsuttrykkene $K\left(x\right)$ og $H\left(x\right)$:

Verken nevneren i K eller nevneren i H kan bli lik 0. Da har funksjonene ingen vertikal asymptote.

Telleren er av lavere grad enn nevneren i begge funksjonene. Derfor vil funksjonene gå mot 0 når $x\to \pm \infty$. Linja $y=0$ er horisontal asymptote for begge funksjonene. Dette tyder på at sporene etter medisinen blir borte når det har gått lang tid.

Felles utgifter (buss og oppussing): $65 000+17 000=82 000$

Individuelle utgifter (russeklær og billett til Landstreff Stavanger): $3 500+2 300=5 800$

x er antall elever.

$U\left(x\right)=\frac{82 000}{x}+\frac{5 800·x}{x}=\frac{82 000+5 800x}{x}$

Definisjonsmengden blir $\begin{array}{rcl}{D}_U& = & [8,16]\end{array}$.

Vi bruker CAS til å regne ut $U\left(8\right)$ og $U\left(16\right)$. Vi vet at $U\left(8\right)$ er den største verdien i definisjonsmengden og $U\left(16\right)$ er den minste fordi utgiftene per elev må bli mindre jo flere som er med.

Verdimengden blir $V_U=[16 050,10 925]$.

Den vertikale asymptoten, $x=0$, viser at det må være flere enn 0 russ.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }U\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5 800x+82 000}{x}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{5 800x}{x}}+{\displaystyle \frac{82 000}{x}}}{{\displaystyle \frac{x}{x}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5 800+\frac{82 000}{x}}{1}\\ & =& 5 800\end{array}$

Den horisontale asymptoten er $y=5 800$. Den viser at uansett hvor mange elever som blir med på russebussen, vil de samlede utgiftene aldri bli mindre enn 5 800 kroner.

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2 & =& 0\\ x^2 & =& 2\\ x & =& \pm \sqrt{2}\end{array}$

Det er her to mulige asymptoter. Vi undersøker først $x=\sqrt{2}$. Når $x=\sqrt{2}$, blir telleren $2·(\sqrt{2}{)}^2=4$. Telleren blir ikke 0. Grenseverdien $\underset{x\to \sqrt{2}}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=\sqrt{2}$  er en vertikal asymptote for f.

Vi undersøker så for $x=-\sqrt{2}$. Når $x=-\sqrt{2}$, blir telleren $2·{\left(-\sqrt{2}\right)}^2=4.$ Telleren blir ikke 0. Grenseverdien $\underset{x\to -\sqrt{2}}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=-\sqrt{2}$ er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2-2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}\\ & =& \frac{2}{1-0}=\frac{2}{1}=2\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=2$. Linja $y=2$ er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotene:

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x(x-2) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x=2\end{array}$

Det er to mulige asymptoter. Vi undersøker først $x=0$. Når $x=0$, blir telleren $0^2-2·0+4=4$.

Telleren blir ikke 0. Grenseverdien $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=0$ er en vertikal asymptote for f.

Vi undersøker så for $x=2$. Når $x=2$, blir telleren $2^2-2·2+4=4.$

Telleren blir ikke 0. Grenseverdien $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=2$ er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-2x+4}{x^2-2x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{1-0+0}{1-0}=1\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=1.$ Linja $y=1$ er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotene:

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik 0 når $x=0.$ Telleren blir ikke 0. Grenseverdien $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=0$ er en vertikal asymptote for f.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim f\left(x\right) }& =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^3-9}{x^3}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^3}{x^3}}-{\displaystyle \frac{9}{x^3}}}{{\displaystyle \frac{x^3}{x^3}}}=\frac{1-0}{1}=1\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=1.$ Linja $y=1$ er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotene:

Vertikal asymptote:

Vi finner nullpunktene til nevneren.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 0\\ x(x-2) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 2\end{array}$

Her er det to mulige asymptoter. Vi undersøker først $x=0$. Når $x=0$, blir telleren $0-2=-2.$ Telleren blir ikke 0. Grenseverdien $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=0$, det vil si y-aksen, er en vertikal asymptote for f.

Vi undersøker så for $x=2.$ Telleren er $2-2=0$, så både telleren og nevneren er null. Da prøver vi å finne grenseverdien ved å faktorisere og forkorte.

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x(x-2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\end{array}$

Funksjonen f har dermed ingen asymptote for $x=2$ siden grenseverdien eksisterer.

Horisontal asymptote:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2-2x}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2x}{x^2}}}\\ & =& \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{x}}}=\frac{0-0}{1-0}=0\end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil grafen til f nærme seg linja $y=0$, det vil si x-aksen. x-aksen er en horisontal asymptote for f.

Grafen til f og asymptotene:

Vertikal asymptote:

Nevneren er lik null når $x=-2$. Telleren er ${(-2)}^2-(-2)-2=4+2-2=4$. Grenseverdien $\underset{x\to -2}{\lim }h\left(x\right)=\pm \infty$, og linja $x=-2$ er vertikal asymptote for h.

Horisontal asymptote:

Vi ser at telleren er av høyere grad enn nevneren. Da kan vi polynomdividere:

$\begin{array}{ccccccccccc}& (x^2& -x& -2)& :& (x& +& 2)& =x& -& 3+\frac{4}{x+2}\\ -& (x^2& +2x)& & & & & & & & \\ & & -3x& -2& & & & & & & \\ -& & -(3x& -6)& & & & & & & \\ & & & 4& & & & & & & \end{array}$

Når $x\to \pm \infty$, vil brøken $\frac{4}{x+2}$ gå mot 0. Da er funksjonen tilnærma lik $x-3$. Linja $y=x-3$ er en asymptote for grafen til h, og grafen har ingen horisontal asymptote.

Grafen til h med asymptotene:

Utgiftene er 5 800 kroner pluss 0,98 kroner ganget med antall kilometer. De månedlige utgiftene per km blir

$B\left(x\right) = \frac{5 800+0,98x}{x}$

$\begin{array}{rcl}B\left(x\right) & =& \frac{5 800+(0,98+0,19)x}{x} \\ & =& \frac{5 800+1,17x}{x}\end{array}$

Utgiftene ved å produsere x deksler kan skrives som $5 250+0,67·x$. Utgiften per deksel blir da

$D\left(x\right)=\frac{5 250+0,67x}{x}$

$\begin{array}{rcl}D\left(x\right) & =& \frac{5 250+(0,67+0,23)x}{x}\\ & & \\ & =& \frac{5 250+0,9x}{x}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}& & D\end{array}\begin{array}{rcl}& & \left(x\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \frac{5 250+0,9x}{x-82}\end{array}$