Oppgave

Praktiske eksempler på rasjonale funksjoner

Her er noen praktiske eksempler på hvordan vi kan modellere virkeligheten i enkle, rasjonale funksjonsuttrykk.

2.1.50

Tove leier en bobil for én uke. Prisen er 10 000 kroner. I tillegg må hun betale 3 kroner per kjørte kilometer.

Tove er interessert i hva kostnadene blir per kjørte kilometer.

Gjennomsnittsprisen per kjørte kilometer, $P$ , er en funksjon av antall kjørte kilometer, $x$ .

a) Finn et uttrykk for funksjonen $P (x)$ . Husk å forklare hvordan du går fram.

Løsning

Totalprisen for å leie bobil er lik pris per kilometer multiplisert med antall kilometer pluss den faste prisen, det vil si $3 kr / km \cdot x km + 10 000 kr$ . Gjennomsnittsprisen får vi så ved å dele dette på antall kilometer $x$ . Da får vi

$P (x) = \frac{3 x + 10 000}{x}$

Funksjonsuttrykket blir en rasjonal funksjon.

b) Finn $\lim_{x \to \pm \infty} P (x)$ . Hva betyr resultatet?

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to \pm \infty} P (x) & = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 x + 10 000}{x} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{3 x}{x} + \frac{10 000}{x}}{\frac{x}{x}} \\ = & \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 + \frac{10 000}{x}}{1} \\ = & 3 \end{array}$

Dette betyr at funksjonen $P$ har den horisontale asymptoten $y = 3$ .

Grenseverdien kan også finnes med kommandoen Grenseverdi.

c) Finn den vertikale asymptoten til funksjonen $P$ .

Løsning

Den vertikale asymptoten til funksjonen finner vi ved å sette nevneren i $P (x)$ lik 0. Den vertikale asymptoten er derfor

$x = 0$

Definisjonsmengden til funksjonen avhenger av forventet antall kjørte kilometer. La oss anta at det totale antallet kjørte kilometer ikke overstiger 9 000. Da er definisjonsmengden til funksjonen fra og med 0 til og med 9 000.

d) Tegn grafen til funksjonen. Tegn også asymptotene. Bruk grafen til å finne ut hva gjennomsnittsprisen per kjørte kilometer blir når Tove kjører 300 kilometer, 500 kilometer og 2 000 kilometer.

Løsning

Vi skriver inn funksjonen i CAS og bruker kommandoen Asymptote for å finne og få tegnet asymptotene. Så finner vi de tre gjennomsnittsprisene ved å lage punkt på grafen, se linje 3, 4 og 5 i CAS-utklippet.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet P av x kolon er lik parentes 3 x pluss 10000 parentes slutt delt på x. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet l 1 kolon er lik Asymptote parentes P av x parentes slutt. Svaret er l 1 kolon er lik sløyfeparentes y er lik 3 og x er lik 0 sløyfeparentes slutt. På linje 3 er det skrevet A kolon er lik parentes 300 komma, P av 300 parentes slutt. Svaret med tilnærming er A kolon er lik parentes 300 komma 36,33. På linje 4 er det skrevet B kolon er lik parentes 500 komma P av 500 parentes slutt. Svaret er B kolon er lik parentes 500 komma 23. På linje 5 er det skrevet C kolon er lik parentes 2000 komma P av 2000 parentes slutt. Svaret er C kolon er lik parentes 2000 komma 8. Skjermutklipp.

Grafen til funksjonen P av x er lik parentes 3 x pluss 10000 parentes slutt delt på x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 9000. De rette linjene x er lik 0 og y er lik 3 er også tegnet inn. Tre punkt på grafen er markert. Det er punktet med koordinater 300 og 36,33, punktet med koordinater 500 og 23 og punktet med koordinater 2000 og 8. Grafen smyger seg inntil begge de rette linjene. Skjermutklipp. — Graf over prisen per kjørte kilometer

Funksjonen ble lagt inn uten å ta hensyn til definisjonsmengden. Det kan se ut som kommandoen Asymptote ikke virker da. Grafen viser at ved en total kjørelengde på 300 kilometer blir prisen per kilometer 36 kroner. Ved en total kjørelengde på 500 kilometer, blir prisen per kilometer 23 kroner, og ved en total kjørelengde på 2 000 kilometer, blir prisen per kilometer 8 kroner.

Gjennomsnittlig pris per kilometer avtar med økende kjørelengde. Grafen synker veldig fort til å begynne med, for så å flate ut.

e) Hva betyr det i praksis at den horisontale asymptoten er $y = 3$ ?

Løsning

Dette svarer til hva den gjennomsnittlige prisen per kilometer nærmer seg mot når den totale kjørelengden blir veldig stor. Jo lengre Tove kjører, jo nærmere kommer prisen per kilometer 3 kroner.

f) Hva betyr det i praksis at den vertikale asymptoten er $x = 0$ ?

Løsning

Det betyr at når antall kjørte kilometer går mot null, går prisen per kilometer mot uendelig.

2.1.51

Mange bakteriofager angriper en bakterie. Bakterien er avlang og grønn. Bakteriofagene er små og illustrert med rosa hoder og edderkoppbein. Illustrasjon.

Jonas har fått en bakterieinfeksjon som krever medisiner i form av tabletter. Konsentrasjon av medisin i blodet kan beregnes med funksjonsuttrykket $K (x) = \frac{23 x}{x^{2} + 4}$ .

$K (x)$ angir konsentrasjon av medisin i blodet i $mg / mL$ , og $x$ er timer etter at tabletten er inntatt.

a) Hva slags funksjon er $K (x)$ ?

Løsning

$K (x)$ består av et polynom i både telleren og nevneren. $K (x)$ er en rasjonal funksjon.

b) Regn ut konsentrasjonen av medisin i pasientens blod etter 0,5 time, 2, 6 og 12 timer.

Løsning

$\begin{matrix} x & 0, 5 & 2 & 6 & 12 \\ K (x) & 2, 71 & 5, 75 & 3, 45 & 1, 86 \end{matrix}$

c) Etter ei uke får Jonas beskjed om at han skal få en lavere dose medisin, slik at konsentrasjon av medisin i blodet halveres. Sett opp et nytt funksjonsuttrykk $H (x)$ som angir konsentrasjonen av medisin i blodet når han halverer dosen.

Løsning

$\begin{array}{rcl} H (x) & = & \frac{23 x}{x^{2} + 4} : 2 \\ = & \frac{23 x}{x^{2} + 4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{23 x}{2 x^{2} + 8} \end{array}$

d) Tegn $K (x)$ og $H (x)$ i det samme koordinatsystemet.

Løsning

Vi bruker graftegner og legger inn funksjonsuttrykkene $K (x)$ og $H (x)$ :

Grafen til funksjonen K av x er lik parentes 23 x parentes slutt delt på parentes x i andre pluss 4 parentes slutt er tegnet inn i et koordinatsystem for x-verdier fra minus 0,5 til 6. Grafen til funksjonen H av x er lik parentes 23 x parentes slutt delt på parentes 2 x i andre pluss 8 parentes slutt er tegnet inn i det samme koordinatsystemet. Skjermutklipp.

e) Undersøk om $K (x)$ eller $H (x)$ har asymptoter.

Sju rødruss sitter på en kant. Bildet er tatt slik at vi bare ser dem fra halsen og ned. Foto.

2.1.52

Ei gruppe elever på Rundkollen videregående skole planlegger å dele på russebuss. De får tilbud om å kjøpe en buss for 65 000 kroner og regner med å bruke 17 000 kroner til å pusse den opp. I tillegg bestiller de russeklær for 3 500 kroner hver og billetter til landstreff til 2 300 per billett.

a) Sett opp et funksjonsuttrykk som viser de samlede utgiftene $U (x)$ per elev.

Løsning

Felles utgifter (buss og oppussing): $65 000 + 17 000 = 82 000$

Individuelle utgifter (russeklær og billett til Landstreff Stavanger): $3 500 + 2 300 = 5 800$

$x$ er antall elever.

$U (x) = \frac{82000}{x} + 5800 \cdot x = \frac{82000 + 5800 x}{x}$

b) Elevene regner ut at de ikke kan være færre enn 8 eller flere enn 16 på bussen. Sett opp definisjonsmengde og verdimengde for $U (x)$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} D_{U} & = & [8, 16] \\ V_{U} & = & [10 925, 16 050] \end{array}$

c) Finn asymptotene til funksjonen, og forklar hva de betyr i praksis.

Løsning

Den vertikale asymptoten, $x = 0$ , viser at det må være flere enn 0 russ. Vi kan ikke ha $0$ i nevneren. Den horisontale asymptoten er $y = 5 800$ . Den viser at uansett hvor mange elever som blir med på russebussen, vil de samlede utgiftene aldri bli mindre enn 5 800 kroner.

2.1.53

a) Marco har kjøpt sin første bil. Han betaler 5 800 kroner i måneden i billån. Bensinkostnader beregnes til 9,8 kroner per mil. Sett opp et funksjonsuttrykk $B (x)$ som viser Marcos månedlige utgifter til bil per kilometer.

Løsning

$B (x) = \frac{5 800 + 0, 98 x}{x}$

b) Stedet der Marco bor, innfører bomring. Marco regner ut at kostnader til bompenger i gjennomsnitt blir 0,19 kroner per kilometer bilkjøring. Gjør om på $B (x)$ slik at bompengene kommer med i uttrykket.

Løsning

$\begin{array}{rcl} B (x) & = & \frac{5 800 + (0, 98 + 0, 19) x}{x} \\ = & \frac{5 800 + 1, 17 x}{x} \end{array}$

c) Bestefaren til Marco får av og til skyss til butikken av Marco. Det setter han stor pris på, og han tilbyr å hjelpe Marco litt med utgiftene til bilen. "Jeg betaler de månedlige utgiftene dine for de første 50 kilometerne", sier han. Gjør om på $B (x)$ slik at det viser hva Marco må betale i månedlige utgifter til bil per kilometer.

Løsning

$B (x) = \frac{5 800 + 1, 17 x}{x - 50}$

d) Tegn grafen til $B (x)$ , og ta med eventuelle asymptoter.

Løsning

Vi tegner inn grafen til $B (x)$ og asymptotene:

Grafen til funksjonen B av x er lik parentes 5800 pluss 1,17 x parentes slutt delt på parentes x minus 50 parentes slutt er tegnet inn i koordinatsystem for x-verdier fra minus 80 til 260. Ei loddrett linje er tegnet for x er lik 50. Grafen til B vokser når man nærmer seg denne linja fra høyre side, mens grafen til B minker når man nærmer seg linja fra venstre side. Ei vannrett linje y er lik 1,17 er tegnet inn. Grafen til B nærmer seg denne verdien når x vokser mot pluss eller mot minus uendelig. Skjermutklipp.

d) Hva skjer hvis Marco kjører 50 kilometer eller mindre i løpet av en måned? Hva viser grafen til $B (x)$ , og hvordan tror du dette løses i praksis?

2.1.54

En elevbedrift vil lage mobildeksler med skolens logo på. Mobildeksler skal selges til elever og ansatte. De må leie en 3D-printer, og det koster 5 250 kroner. I tillegg går det med materiell for 0,67 kroner per deksel.

a) Sett opp et funksjonsuttrykk som viser utgifter per deksel $D (x)$ , der $x$ er antall mobildeksler.

Løsning

$D (x) = \frac{5 250 + 0, 67 x}{x}$

b) Hvert mobildeksel skal ha skolens logo i gullbokstaver, og det koster 0,23 kroner ekstra per deksel. Gjør om $D (x)$ slik at kostnader til skolens logo blir tatt med.

Løsning

$\begin{array}{rcl} D (x) & = & \frac{5 250 + (0, 67 + 0, 23) x}{x} \\ = & \frac{5 250 + 0, 9 x}{x} \end{array}$

c) Skolen bestemmer at alle ansatte skal få et gratis mobildeksel. Det er 82 ansatte ved skolen. Dette medfører at utgiftene til produksjon av deksler bare deles på dekslene som selges. Gjør om på $D (x)$ for å beregne den nye prisen per mobildeksel.

Løsning

$\begin{array}{rcl} D \end{array} \begin{array}{rcl} (x) \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} \frac{5 250 + 0, 9 x}{x - 82} \end{array}$