Fag

Emne

Kurver og flater i rommet

Fagstoff

Video

Kuleflater

Det finnes mange typer flater i rommet. Her skal vi se på kuleflater. Ei kuleflate er overflata av ei kule, og vi skal utforske hvordan vi kan beskrive den matematisk.

Ei kuleflate i tre dimensjoner kan beskrives matematisk på flere måter, ikke ulikt slik vi kan beskrive en sirkel i planet på flere måter. Her skal vi jobbe mest med likningsframstilling for kuleflater, men hvis du ønsker ekstra fordypning, kan du også jobbe med parameterframstilling av kuleflater lenger ned i artikkelen.

Likningsframstilling for kuleflate

Ei kuleflate er tegnet i et tredimensjonalt koordinatsystem. Kuleflata har sentrum i punktet S med koordinatene x 0, y 0 og z 0. Et punkt P ligger på kuleflata og har koordinatene x, y og z. Vektoren fra S til P er også tegnet inn. Avstanden mellom S og P er r. Illustrasjon.

På figuren har vi tegnet ei kule med sentrum i $S$ og radius $r$ . Kuleflata er samlingen av alle punkter $P$ som har avstanden $r$ fra $S$ .

Vi lar $P (x, y, z)$ være et punkt på kuleflata.
Da vet vi at $\vec{S P} = r$ .

Dette gir

$\begin{array}{rcl} \vec{S P} & = & r \\ [x - x_{0}, y - y_{0}, z - z_{0}] & = & r \\ \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2}} & = & r \\ {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} & = & r^{2} \end{array}$

Vi har nå en likning for kuleflata.

Hvis origo er sentrum i kula, blir likningen for kuleflata

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$

Når likningen for ei kuleflate er gitt på formen ovenfor, er det lett å finne sentrum og radius i kula.

Eksempel

Finn sentrum og radius til ei kule når likningen for kuleflata er gitt ved

$(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 5^{2}$

Forklaring

Her finner vi koordinatene til sentrum og radien direkte ved å se på likningen.

Sentrum i kuleflata er $(2, - 4, 6)$ , og radien er $5$ .

Eksempel

Ofte er ikke likningen til kuleflata ordnet slik at vi kan lese ut sentrum og radius direkte. Likningen nedenfor beskriver også ei kuleflate:

$x^{2} + 2 x + y^{2} - 6 y + z^{2} = - 1$

For å finne sentrum og radius i denne kula må vi bearbeide uttrykket litt.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi omforme likningen slik at vi kan lese ut koordinatene til sentrum i kula og radien til kula?

Forklaring

Vi kan lage fullstendige kvadrater av alle leddene som inneholder $x$ , leddene som inneholder $y$ , og leddene som inneholder $z$ , hver for seg ved å fullføre kvadratene slik vi gjør når vi jobber med sirkler i R1. Da skal vi ende opp med en likning på formen

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$

Vi lager fullstendige kvadrater av leddene med $x$ , leddene med $y$ og leddene med $z$ hver for seg. Da gjelder det å huske hvordan vi gjør det! Se teorisiden "En sirkel i planet" hvis du vil ha en repetisjon.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 x + y^{2} - 6 y + z^{2} & = & - 1 \\ x^{2} + 2 x + 1^{2} - 1^{2} + y^{2} - 6 y + 3^{2} - 3^{2} + z^{2} & = & - 1 \\ \underset{{(x + 1)}^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} + 2 x + 1} +} \underset{{(y - 3)}^{2}}{\underset{⏟}{y^{2} - 6 y + 9}} + z^{2} & = & - 1 + 1 + 9 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} & = & 3^{2} \end{array}$

Dette er altså likningen for ei kuleflate med sentrum i $(- 1, 3, 0)$ og med radius $3$ .

Dersom likningen ikke kan skrives på formen ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$ , er det ikke likningen for ei kuleflate.

Parameterframstilling for kuleflate

I et tredimensjonalt koordinatsystem er det tegnet ei kule med sentrum i origo kalt O og radius r. Et punkt P med koordinatene x, y og z ligger på kuleflata. I tillegg er punktene A med koordinatene x, 0 og 0 og B med koordinatene x, y og 0 tegnet inn. Vinkel B O P er kalt u, og vinkel A O B er kalt v. Vinklene O B P og O A B er 90 grader. Illustrasjon.

Det er flere måter å lage en parameterframstilling av ei kuleflate på. Akkurat som for et plan trenger vi to parametre for å lage en parameterframstilling for ei kuleflate. Vi velger her å bruke en parameterframstilling der de to parametrene er vinkler. Disse har vi kalt $u$ og $v$ på figuren.

Vi ser på ei kule med radius $r$ plassert med sentrum i origo. Vi lar $P (x, y, z)$ være et vilkårlig punkt på kuleflata slik at $|\vec{O P}| = r$ .

Normalen fra $P$ ned til $x y$ -planet treffer $x y$ -planet i punktet $B (x, y, 0)$ . Punktet $B$ får samme $x$ - og $y$ -koordinat som punktet $B$ .

$u$ er vinkelen mellom $\vec{O P}$ og $\vec{O B}$ på figuren, og $v$ er vinkelen mellom $\vec{O B}$ og $x$ -aksen ( $\vec{O A}$ ).

Nå må vi finne vinklene $u$ og $v$ uttrykt ved de andre størrelsene i figuren. Det får vi ved å ta sinus og cosinus til vinklene. Siden punktene på figuren danner to rettvinklede trekanter, får vi

$\begin{array}{lcl} \sin u = \frac{|\vec{B P}|}{|\vec{O P}|} = \frac{z}{r} & \Rightarrow & z = r \cdot \sin u \\ \cos u = \frac{|\vec{O B}|}{|\vec{O P}|} = \frac{|\vec{O B}|}{r} & \Rightarrow & O B = r \cdot \cos u \\ \cos v = \frac{|\vec{O A}|}{|\vec{O B}|} = \frac{x}{r \cdot \cos u} & \Rightarrow & x = r \cdot \cos u \cdot \cos v \\ \sin v = \frac{|\vec{A B}|}{|\vec{O B}|} = \frac{y}{r \cdot \cos u} & \Rightarrow & y = r \cdot \cos u \cdot \sin v \end{array}$

Det vilkårlige punktet $P$ er da beskrevet ved parametrene $u$ og $v$ . Ei kuleflate $k$ med sentrum origo og med radius $r$ har derfor parameterframstillingen

$k : \{\begin{cases} \begin{array}{l} x = r \cdot \cos u \cdot \cos v \\ y = r \cdot \cos u \cdot \sin v \\ z = r \cdot \sin u \end{array} \end{cases}$

Den tilsvarende vektorfunksjonen for kuleflata blir

$\vec{O P} = [r \cdot \cos u \cdot \cos v, r \cdot \cos u \cdot \sin v, r \cdot \sin u]$

🤔 Tenk over: Hva er definisjonsområdet til $u$ og $v$ ?

Forklaring

$v$ må gå en hel runde for å dekke hele kula, som betyr at

$v \in [0, 2 π 〉$

Grensene for $u$ får vi når $P$ er i punktet $(0, 0, r)$ (øverst på kuleflata) og i punktet $(0, 0, - r)$ (nederst på kuleflata). Vi har definert $u$ som vinkelen mellom $\vec{O P}$ og $\vec{O B}$ , som er parallell med $x y$ -planet. Det betyr at i det første tilfellet har vi $u = \frac{π}{2}$ , og i det andre tilfellet er $u = - \frac{π}{2}$ . Vi får

$u \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

🤔 Tenk over: Hva skjer med parameterframstillingen dersom vi flytter sentrum av kula til punktet $S (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ?

Forklaring

Punktet $P$ blir forskjøvet fra $(x, y, z)$ til $(x_{0} + x, y_{0} + y, z_{0} + z)$ . $x$ -koordinaten får med andre ord et tillegg $x_{0}$ , og det blir tilsvarende tillegg til $y$ - og $z$ -koordinatene. Parameterframstillingen for ei kuleflate $k$ med sentrum i $S (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ blir derfor

$k : \{\begin{cases} \begin{array}{l} x = x_{0} + r \cdot \cos u \cdot \cos v \\ y = y_{0} + r \cdot \cos u \cdot \sin v \\ z = z_{0} + r \cdot \sin u \end{array} \end{cases}$

Intervallene for $u$ og $v$ er uforandret.

Eksempel

Ei kuleflate med radius lik $5$ og sentrum i origo har vektorfunksjonen

$\vec{O P} = [5 \cos u \cdot \cos v, 5 \cos u \cdot \sin v, 5 \sin u]$

Vi kan flytte sentrum i kula til punktet $(0, 0, 20)$ ved å øke $z$ -koordinaten til vektorfunksjonen med 20:

$\vec{O P} = [5 \cos u \cdot \cos v, 5 \cos u \cdot \sin v, 20 + 5 \sin u]$

Tegne kule med GeoGebra

Vi får tegnet kula i 3D-grafikkfeltet til GeoGebra ved å skrive inn likningen eller vektorfunksjonen for kuleflata i algebrafeltet eller i CAS-feltet. Vektorfunksjonen i det siste eksempelet over kan vi skrive inn i CAS-feltet som

r(u,v):=(5·cos(u)·cos(v),5·cos(u)·sin(v),20+5·sin(u))

Vi kan også bruke kommandoen "Kule(Punkt, Radius)" dersom vi kjenner sentrum og radien i kula. En annen variant av kommandoen er "Kule(Punkt, Punkt)" der det første punktet er sentrum i kula og det andre punktet ligger på kuleflata.

Oppsummering

Generelt er ei kuleflate med radius $r$ og sentrum i $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ gitt ved likningen

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$

En parameterframstilling for kuleflata er

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = x_{0} + r \cos u \cos v \\ y = y_{0} + r \cos u \sin v \\ z = z_{0} + r \sin u \end{array} \end{cases}$

der $u \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ og $v \in [0, 2 π ⟩$

Den tilsvarende vektorfunksjonen er $\vec{O P} = [x_{0} + r \cos u \cos v, y_{0} + r \cos u \sin v, z_{0} + r \sin u]$

Video om likningsframstilling av ei kuleflate

Likningsframstilling av ei kuleflate. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0