Avstand og vinkel mellom to linjer i rommet

Husk at med "avstanden mellom to linjer" menes alltid den korteste avstanden. Vi lar $P$ være et punkt på $m$ og $Q$ være et punkt på $n$. Det betyr at

$P=\left(1+2t,t,1-t\right), Q=\left(-s,2+s,1+2s\right)$

Løsning uten hjelpemidler

Vi finner først $\overrightarrow{PQ}$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[-s-\left(1+2t\right), 2+s-t, 1+2s-\left(1-t\right)\right]\\ & =& \left[-s-2t-1, s-t+2, 2s+t\right]\end{array}$

Så krever vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$ til linja $m$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_m=0$. Det gir oss én likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[-s-2t-1, s-t+2, 2s+t\right]·\left[2,1,-1\right]& = & 0\\ -2s-4t-2+s-t+2-2s-t& =& 0\\ -3s-6t& =& 0\\ 3s& =& -6t\\ s& =& -2t\end{array}$

Så krever vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,1,2\right]$ til linja $n$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_n=0$. Det gir oss en ny likning med $s$ og $t$, der vi setter inn $s=-2t$ til slutt:

$\begin{array}{rcl}\left[-s-2t-1, s-t+2, 2s+t\right]·\left[-1,1,2\right]& = & 0\\ s+2t+1+s-t+2+4s+2t& =& 0\\ 6s+3t+3& =& 0\\ 6·\left(-2t\right)+3t& =& -3\\ -9t& =& -3\\ t& =& \frac{1}{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}s & =& -2t=-2·\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\end{array}$

Vi setter disse verdiene inn i utrykket for $\overrightarrow{PQ}$ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[-s-2t-1, s-t+2, 2s+t\right]\\ & =& \left[-\left(-\frac{2}{3}\right)-2·\frac{1}{3}-1, -\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+2, 2·\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]\\ & =& \left[-1,1,-1\right]\end{array}$

Til slutt finner vi lengden av $\overrightarrow{PQ}$.

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

Avstanden mellom de to linjene er $\sqrt{3}$.

Kontroll med CAS

Løsning uten hjelpemidler

Vi bruker skalarproduktet mellom retningsvektorene ${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$ og ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,1,2\right]$ til å finne vinkelen $w$ mellom linjene. Vi kaller vinkelen mellom retningsvektorene for $u$.

$\begin{array}{rcl}\cos u & =& \frac{{\overrightarrow{v}}_m·{\overrightarrow{v}}_n}{\left|{\overrightarrow{v}}_m\right|·\left|{\overrightarrow{v}}_n\right|}\\ & =& \frac{\left[2,1,-1\right]·\left[-1,1,2\right]}{\sqrt{2^2+1^2+{\left(-1\right)}^2}·\sqrt{{\left(-1\right)}^2+1^2+2^2}}\\ & =& \frac{-2+1-2}{\sqrt{6}·\sqrt{6}}\\ & =& \frac{-3}{6}\\ & =& -\frac{1}{2}\\ u & =& \frac{2\pi }{3} \vee \cancel{u=2\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}}\end{array}$

Siden $u>\frac{\pi }{2}$, blir vinkelen $w$ mellom linjene

$w=\pi -u=\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$

Kontroll med CAS

En retningsvektor ${\overrightarrow{v}}_x$ for $x$-aksen er ${\overrightarrow{e}}_x=\left[1,0,0\right]$, og origo er et punkt på aksen. En parameterframstilling for $x$-aksen er derfor

$l_x: \left\{\begin{array}{l}x=s\\ y=0\\ z=0\end{array}\right.$

Vi lar $P$ være et punkt på $m$ og $Q$ være et punkt på $x$-aksen og finner først $\overrightarrow{PQ}$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[s-\left(1+2t\right), 0-t, 0-\left(1-t\right)\right]\\ & =& \left[s-2t-1,-t, t-1\right]\end{array}$

Så krever vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$ til linja $m$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_m=0$. Det gir oss én likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[s-2t-1, -t, t-1\right]·\left[2,1,-1\right]& = & 0\\ 2s-4t-2-t-t+1& =& 0\\ 2s-6t-1& =& 0\end{array}$

Så krever vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_x=\left[1,0,0\right]$ til $x$-aksen, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_x=0$. Det gir oss en ny likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[s-2t-1, -t, t-1\right]·\left[1,0,0\right]& = & 0\\ s-2t-1& =& 0\\ s& =& 2t+1\end{array}$

Vi setter uttrykket for $s$ inn i den første likningen:

$\begin{array}{rcl}2\left(2t+1\right)-6t-1 & =& 0\\ 4t+2-6t-1 & =& 0\\ -2t & =& -1\\ t & =& \frac{1}{2}\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}2s-6·\frac{1}{2}-1 & =& 0\\ 2s-3-1 & =& 0\\ 2s & =& 4\\ s & =& 2\end{array}$

Vi setter disse verdiene inn i utrykket for $\overrightarrow{PQ}$ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[s-2t-1,-t, t-1\right]\\ & =& \left[2-2·\frac{1}{2}-1,-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-1\right]\\ & =& \left[0,-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right]\end{array}$

Til slutt finner vi lengden av $\overrightarrow{PQ}$.

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{0^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Avstanden mellom $m$ og $x$-aksen er $\frac{1}{2}\sqrt{2}$.

En retningsvektor ${\overrightarrow{v}}_y$ for $y$-aksen er ${\overrightarrow{e}}_y=\left[0,1,0\right]$, og origo er et punkt på aksen. En parameterframstilling for $y$-aksen er derfor

$l_y: \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=s\\ z=0\end{array}\right.$

Vi lar $P$ være et punkt på $n$ og $Q$ være et punkt på $y$-aksen og finner først $\overrightarrow{PQ}$. Siden vi har brukt $s$ som parameter på $l_y$, bruker vi $t$ som parameter på $n$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[0-\left(-t\right), s-\left(2+t\right), 0-\left(1+2t\right)\right]\\ & =& \left[t, s-t-2, -2t-1\right]\end{array}$

Så krever vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,1,2\right]$ til linja $n$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_n=0$. Det gir oss én likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[t, s-t-2, -2t-1\right]·\left[-1,1,2\right]& = & 0\\ t·\left(-1\right)+\left(s-t-2\right)·1+\left(-2t-1\right)·2& =& 0\\ -t+s-t-2-4t-2& =& 0\\ s-6t-4& =& 0\end{array}$

Så krever vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_y=\left[0,1,0\right]$ til linja $n$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_x=0$. Det gir oss en ny likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[t, s-t-2, -2t-1\right]·\left[0,1,0\right]& = & 0\\ \left(s-t-2\right)·1& =& 0\\ s-t-2& =& 0\\ s& =& t+2\end{array}$

Vi setter uttrykket for $s$ inn i den første likningen:

$\begin{array}{rcl}t+2-6t-4 & =& 0\\ -5t-2 & =& 0\\ -5t & =& 2\\ t & =& -\frac{2}{5}\end{array}$

Dette gir

$\begin{array}{rcl}s & =& -\frac{2}{5}+2=-\frac{2}{5}+\frac{10}{5}=\frac{8}{5}\end{array}$

Vi setter disse verdiene inn i utrykket for $\overrightarrow{PQ}$ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[t, s-t-2, -2t-1\right]\\ & =& \left[-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}-\left(-\frac{2}{5}\right)-2, -2·\left(-\frac{2}{5}\right)-1\right]\\ & =& \left[-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}+\frac{2}{5}-\frac{10}{5}, \frac{4}{5}-\frac{5}{5}\right]\\ & =& \left[-\frac{2}{5},0,-\frac{1}{5}\right]\end{array}$

Til slutt finner vi lengden av $\overrightarrow{PQ}$.

$\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{{\left(-\frac{2}{5}\right)}^2+0^2+{\left(-\frac{1}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{4}{25}+\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{5}{25}}=\frac{1}{5}\sqrt{5}$

Avstanden mellom $n$ og $y$-aksen er $\frac{1}{5}\sqrt{5}$.

Vi lar som før $P$ være et punkt på $m$ og $Q$ være et punkt på $n$.

Avstanden mellom linjene er 0, så linjene skjærer hverandre. Vinkelen mellom linjene er 0,59.

Vi viser dette ved å vise at retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_m$ for $m$ er parallell med retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_n$ for $n$. Retningsvektorer er

${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$, ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$

Dersom ${\overrightarrow{v}}_m\parallel {\overrightarrow{v}}_n$ må ${\overrightarrow{v}}_m=k·{\overrightarrow{v}}_n$, der $k$ er en konstant. Dette gir

$\begin{array}{rcl}\left[2,1,-1\right] & =& k\left[-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\end{array}$

$\begin{array}{rcl}2 & =& k·\left(-1\right) \wedge 1=k·\left(-\frac{1}{2}\right) \wedge -1=k·\frac{1}{2}\\ k & =& -2 \wedge k=-2 \wedge k=-2\end{array}$

Vi får samme verdi for $k$ for alle de tre koordinatene. Da er vektorene parallelle, og linja $m$ er parallell med linja $n$.

Vi må sjekke om et punkt på den ene linja også ligger på den andre.

Vi leser av parameterframstillingen til $n$ at punktet $\left(-2,3,1\right)$ ligger på $n$. Så sjekker vi om punktet ligger på $m$. Når vi har at $x=1+2t$, og setter $x=-2$, får vi

$\begin{array}{rcl}1+2t & =& -2\\ 2t & =& -3\\ t & =& -\frac{3}{2}\end{array}$

Så setter vi dette resultatet inn i $y$-koordinaten til $m$.

$y=t=-\frac{3}{2}$

Vi får at $t=-\frac{3}{2}$ ikke gir $y=3$. Derfor ligger ikke punktet $\left(-2,3,1\right)$ på $m$, bare på $n$. Da er ikke linjene sammenfallende.

Legg merke til at dersom vi hadde fått $y=3$, måtte vi ha sjekket $z$-koordinaten for å se om den blir 1 når $t=-\frac{3}{2}$.

Vi lar $P$ være et punkt på $m$ og $Q$ være et punkt på $n$.

Løsning uten hjelpemidler

Vi finner først $\overrightarrow{PQ}$.

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{PQ}& = & \left[-2-s-\left(1+2t\right), 3-\frac{s}{2}-t, 1+\frac{s}{2}-\left(-t\right)\right]\\ & =& \left[-s-2t-3, -\frac{s}{2}-t+3, \frac{s}{2}+t+1\right]\end{array}$

Så krever vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_m=\left[2,1,-1\right]$ til linja $m$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_m=0$. Det gir oss én likning med $s$ og $t$:

$\begin{array}{rcl}\left[-s-2t-3, -\frac{s}{2}-t+3, \frac{s}{2}+t+1\right]·\left[2,1,-1\right]& = & 0\\ -2s-4t-6-\frac{s}{2}-t+3-\frac{s}{2}-t-1& =& 0\\ -3s-6t-4& =& 0\\ -3s& =& 6t+4\\ s& =& -2t-\frac{4}{3}\end{array}$

Så krever vi at $\overrightarrow{PQ}$ står normalt på retningsvektoren ${\overrightarrow{v}}_n=\left[-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ til linja $n$, som betyr at $\overrightarrow{PQ}·{\overrightarrow{v}}_n=0$. Det gir oss en ny likning med $s$ og $t$, der vi setter inn $s=-2t-\frac{4}{3}$ til slutt:

$\begin{array}{rcl}\left[-s-2t-3, -\frac{s}{2}-t+3, \frac{s}{2}+t+1\right]·\left[-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]& = & 0\\ s+2t+3+\frac{s}{4}+\frac{t}{2}-\frac{3}{2}+\frac{s}{4}+\frac{t}{2}+\frac{1}{2}& =& 0\\ \frac{3s}{2}+3t+2& =& 0\\ \frac{3}{2}·\left(-2t-\frac{4}{3}\right)+3t+2& =& 0\\ -3t-2+3t+2& =& 0\\ 0t& =& 0\end{array}$

Likningssettet har uendelig mange løsninger. Årsaken til dette er at de to retningsvektorene er parallelle. Da blir den ene likningen lik en konstant multiplisert med den andre, og vi har i prinsippet bare én likning med to ukjente. Dermed kan ikke denne framgangsmåten brukes for å finne avstanden mellom to parallelle linjer.

Velg et punkt på éi av linjene.

Vi velger ett punkt på éi av linjene og finner avstanden fra punktet til den andre linja. Vi velger

$A=n\left(0\right)=\left(-2,3,1\right)$

Avstanden mellom linjene er $\frac{7}{3}\sqrt{3}$.

Først velger vi oss et vilkårlig punkt B på m (linje 7). Så lager vi oss en vektor fra B til et ukjent punkt C. Deretter krever vi at skalarproduktet mellom $\overrightarrow{BC}$ og retningsvektoren til m er 0 (linje 10), og at lengden av $\overrightarrow{BC}$ er 3 (linje 11). Da har vi to likninger og tre ukjente.

Det er uendelig mange punkter som tilfredsstiller de to likningene. Siden vi bare skal finne ei eller annen linje som oppfyller kravene i oppgaven, kan vi velge for eksempel $x=0$. Vi velger den første løsningen i linje 13 og får at punktet med koordinatene $\left(0,\sqrt{3}+1,\sqrt{3}-1\right)$ ligger i avstand 3 fra linja m. Siden linja o har samme retningsvektor som m, blir en parameterframstilling for o

$o: \left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=\sqrt{3}+1+t\\ z=\sqrt{3}-1-t\end{array}\right.$

Vi starter med å sjekke om linjene står vinkelrett på hverandre ved å sjekke om skalarproduktet mellom retningsvektorene er 0. Så sjekker vi om linjene er parallelle og i tilfelle om de er sammenfallende.

Linje 3 gir at linjene ikke står normalt på hverandre siden skalarproduktet mellom retningsvektorene ikke er 0. Linje 4 gir at linjene er parallelle siden det finnes en $k$ som er slik at ${\overrightarrow{v}}_m=k·{\overrightarrow{v}}_n$. Vi velger et punkt $A$ på $n$ ved å sette $s=0$. I linje 6 sjekker vi om $A$ også ligger på $m$ ved å se om det finnes en $t$ som gir oss $A$. Det er det, dermed er de to linjene sammenfallende.

Det er lurt å først kjøre disse enkle testene på om linjene står vinkelrett på hverandre, er parallelle eller sammenfallende, for da kan vi kanskje slippe å bruke disse mer kompliserte metodene for å finne avstanden og vinkelen mellom to linjer. I dette tilfellet slipper vi det.