Avstanden fra et punkt til et plan

En normalvektor til planet er ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left[1,-2,-2\right]$. Denne vil være retningsvektor for normalen $n$ gjennom origo til planet. Siden normalen skal gå gjennom origo, blir en parameterframstilling for $n$

$n:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2t\\ z=-2t\end{array}$

Skjæringspunktet $P$ mellom normalen og planet finner vi ved å sette parameterframstillingen for $n$ inn i likningen for $\beta$.

$\begin{array}{rcl}1·t-2·\left(-2t\right)-2·\left(-2t\right)-9 & =& 0\\ t+4t+4t-9 & =& 0\\ 9t & =& 9\\ t & =& 1\end{array}$

Koordinatene til $P$ blir

$x=1, y=z=-2·1=-2$

Vi får $P=\left(1,-2,-2\right)$. Vektoren $\overrightarrow{OP}$ fra origo til $P$ får koordinatene

$\overrightarrow{OP}=\left[1,-2,-2\right]$

Avstanden fra origo til planet er

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{OP}\right| & =& \sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}\\ & =& \sqrt{1+4+4}\\ & =& \sqrt{9}\\ & =& 3\end{array}$

Med avstandsformelen blir avstanden

$\begin{array}{rcl}q & =& \frac{\left|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ & =& \frac{\left|1·0-2·0-2·0-9\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}\\ & =& \frac{\left|-9\right|}{\sqrt{1+4+4}}\\ & =& \frac{9}{\sqrt{9}}\\ & =& 3\end{array}$

Bruk kommandoen "Avstand".

En normalvektor til planet er ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left[-2,3,6\right]$. Denne vil være retningsvektor for normalen $n$ til planet gjennom $A$. En parameterframstilling for $n$ blir

$n:\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=3t\\ z=-1+6t\end{array}$

Skjæringspunktet $P$ mellom normalen og planet finner vi ved å sette parameterframstillingen for $n$ inn i likningen for $\alpha$.

$\begin{array}{rcl}-2\left(1-2t\right)+3·3t+6\left(-1+6t\right) & =& 41\\ -2+4t+9t-6+36t & =& 41\\ 49t -8 & =& 41\\ 49t & =& 49\\ t & =& 1\end{array}$

Koordinatene til $P$ blir

$\begin{array}{rcl}x & =& 1-2·1=-1, y = 3·1=3, z = -1+6·1=5\end{array}$

Vi får $P=\left(-1,3,5\right)$. Vektoren $\overrightarrow{AP}$ fra $A$ til $P$ får koordinatene

$\overrightarrow{AP}=\left[-1-1,3-0,5-\left(-1\right)\right]=\left[-2,3,6\right]$

Avstanden fra $A$ til planet er

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{AP}\right| & =& \sqrt{{\left(-2\right)}^2+3^2+6^2}\\ & =& \sqrt{4+9+36}\\ & =& \sqrt{49}\\ & =& 7\end{array}$

Med avstandsformelen blir avstanden

$\begin{array}{rcl}q & =& \frac{\left|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ & =& \frac{\left|-2·1+3·0+6·\left(-1\right)-41\right|}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+3^2+6^2}}\\ & =& \frac{\left|-2-6-41\right|}{\sqrt{4+9+36}}\\ & =& \frac{49}{\sqrt{49}}\\ & =& \frac{49}{7}\\ & =& 7\end{array}$

En normalvektor til planet er ${\overrightarrow{n}}_{\beta }=\left[4,4,-7\right]$. Denne vil være retningsvektor for normalen $n$ til planet gjennom $A$. En parameterframstilling for $n$ blir

$n:\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=4t\\ z=-1-7t\end{array}$

Skjæringspunktet $P$ mellom normalen og planet finner vi ved å sette parameterframstillingen for $n$ inn i likningen for $\beta$.

$\begin{array}{rcl}4\left(1+4t\right)+4·4t-7\left(-1-7t\right) & =& 92\\ 4+16t+16t+7+49t & =& 92\\ 81t +11 & =& 92\\ 81t & =& 81\\ t & =& 1\end{array}$

Koordinatene til $P$ blir

$\begin{array}{rcl}x & =& 1+4·1=5, y = 4·1=4, z = -1-7·1=-8\end{array}$

Vi får $P=\left(5,4,-8\right)$. Vektoren $\overrightarrow{AP}$ fra $A$ til $P$ får koordinatene

$\overrightarrow{AP}=\left[5-1,4-0,-8-\left(-1\right)\right]=\left[4,4,-7\right]$

Avstanden fra $A$ til planet er

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{AP}\right| & =& \sqrt{4^2+4^2+{\left(-7\right)}^2}\\ & =& \sqrt{16+16+49}\\ & =& \sqrt{81}\\ & =& 9\end{array}$

Med avstandsformelen blir avstanden

$\begin{array}{rcl}q & =& \frac{\left|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ & =& \frac{\left|4·1+4·0+\left(-7\right)·\left(-1\right)-92\right|}{\sqrt{4^2+4^2+{\left(-7\right)}^2}}\\ & =& \frac{\left|4+7-92\right|}{\sqrt{16+16+49}}\\ & =& \frac{81}{\sqrt{81}}\\ & =& \frac{81}{9}\\ & =& 9\end{array}$

Vi velger å bruke avstandsformelen. Avstanden blir

$\begin{array}{rcl}q & =& \frac{\left|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ & =& \frac{\left|4·0+3·0+3·0-12\right|}{\sqrt{4^2+3^2+3^2}}\\ & =& \frac{\left|-12\right|}{\sqrt{16+9+9}}\\ & =& \frac{12}{\sqrt{34}}\\ & =& \frac{12·\sqrt{34}}{34}\\ & =& \frac{6}{17}\sqrt{34}\end{array}$

En normalvektor til planet er ${\overrightarrow{n}}_{\delta }=\left[1,-2,2\right]$. Denne vil være retningsvektor for normalen $n$ gjennom origo til planet. En parameterframstilling for normalen $n$ gjennom $A$ blir

$n:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\\ z=1+2t\end{array}$

Skjæringspunktet $P$ mellom normalen og planet finner vi ved å sette parameterframstillingen for $n$ inn i likningen for $\beta$.

$\begin{array}{rcl}2+t-2·\left(1-2t\right)+2·\left(1+2t\right)-20 & =& 0\\ 2+t-2+4t+2+4t-20 & =& 0\\ 9t & =& 18\\ t & =& \frac{18}{9}\\ & =& 2\end{array}$

Koordinatene til $P$ blir

$x=2+2=4, y=1-2·2=-3, z=1+2·2=5$

Vi får $P=\left(4,-3,5\right)$. Vektoren $\overrightarrow{AP}$ får koordinatene

$\overrightarrow{AP}=\left[4-2,-3-1,5-1\right]=\left[2,-4,4\right]$

Avstanden fra $A$ til planet $\delta$ er

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{AP}\right| & =& \sqrt{{\left(2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2+{\left(4\right)}^2}\\ & =& \sqrt{4+16+16}\\ & =& \sqrt{36}\\ & =& 6\end{array}$

Med avstandsformelen blir avstanden

$\begin{array}{rcl}q & =& \frac{\left|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ & =& \frac{\left|1·2-2·1+2·1-20\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+2^2}}\\ & =& \frac{\left|2-2+2-20\right|}{\sqrt{1+4+4}}\\ & =& \frac{18}{\sqrt{9}}\\ & =& 6\end{array}$

Når $a$ varierer, vil $A$ flytte seg langs ei linje $l$ som er parallell med $y$-aksen (siden $x$- og $z$-koordinaten er konstant). Vi har én verdi for $a$ der avstanden er 6. Dersom $l$ er parallell med planet $\delta$, vil avstanden være 6 for alle verdier av $a$. Da vil retningsvektoren for $l$ (${\overrightarrow{e}}_y$) stå normalt på ${\overrightarrow{n}}_{\delta }$, og skalarproduktet mellom vektorene vil være 0.

${\overrightarrow{e}}_y·{\overrightarrow{n}}_{\delta }=\left[0,1,0\right]·\left[1,-2,2\right]=0·1+1·\left(-2\right)+0·2=-2$

Linja $l$ er ikke parallell med planet $\delta$. Det betyr at $l$ skjærer planet i et punkt, og det må være et punkt til på $l$ som ligger i avstand 6 til planet, et punkt som ligger på den andre siden av planet i forhold til $$punktet $\left(2,1,1\right)$.

Vi bruker avstandsformelen og får

$\begin{array}{rcl} \frac{\left|1·2-2·a+2·1-20\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+2^2}} & =& 6\\ \frac{\left|2-2a+2-20\right|}{\sqrt{1+4+4}} & =& 6\\ \frac{\left|-2a-16\right|}{3} & =& 6\\ \frac{-2a-16}{3} & =& 6 \vee \frac{-2a-16}{3}=-6\\ -2a-16 & =& 18 \vee - 2a-16=-18\\ -2a & =& 34 \vee -2a=-2\\ a & =& -17 \vee a=1\end{array}$

Når $a=-17$, vil $A$ ligge i avstanden 6 til planet $\delta$ (i tillegg til når $a=1$), det vil si når $A=\left(2,-17,1\right)$.

Vi bruker avstandsformelen

$\begin{array}{rcl}q & =& \frac{\left|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{array}$

der vi lar punktet $\left(x_1,y_1,z_1\right)$ være et punkt på $l$ og setter avstanden lik 4. Vi får da en likning for parameteren $t$ der løsningene gir de punktene vi er på jakt etter.

$\begin{array}{rcl}\frac{\left|4\left(5+t\right)+0\left(6+2t\right)+3\left(2-4t\right)-2\right|}{\sqrt{4^2+0^2+3^2}} & =& 4\\ \frac{\left|20+4t+6-12t-2\right|}{\sqrt{16+9}} & =& 4\\ \frac{\left|-8t+24\right|}{5} & =& 4\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\frac{-8t+24}{5} & =& 4\\ -8t+24 & =& 20\\ -8t & =& -4\\ t & =& \frac{1}{2}\\ & & \end{array}$ $\vee$$\begin{array}{rcl}\frac{-8t+24}{5} & =& -4\\ -8t+24 & =& -20\\ -8t & =& -44\\ t & =& \frac{44}{8}\\ & =& \frac{11}{2}\end{array}$

Den første løsningen gir punktet

$\left(5+\frac{1}{2},6+2·\frac{1}{2},2-4·\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{11}{2},7,0\right)$

Den andre løsningen gir punktet

$\left(5+\frac{11}{2},6+2·\frac{11}{2},2-4·\frac{11}{2}\right)=\left(\frac{21}{2},17,-20\right)$

Vi velger å løse oppgaven med CAS.

Vi starter med å sjekke om planene er parallelle (linje 3). Det er de ikke siden vektorproduktet i linje 3 ikke er $\overrightarrow{0}$. Vi lager et generelt punkt $P\left(r,s,t\right)$. Punktet skal ligge i planet $\beta$ (linje 5). Det gir oss én likning med tre ukjente. Så vet vi at avstanden mellom punktet og planet $\alpha$ skal være to. I linjene 6 og 7 har vi delt avstandsformelen i to. Det gir oss totalt to sett med likninger med tre ukjente. Vi har løst likningssettene med hensyn på $r$ og $s$ slik at de blir funksjoner av $t$. Vi får ikke bestemt den tredje ukjente, $t$. Det betyr at punktet $P$ er gitt ved vektorfunksjonene

$\left[6t-\frac{61}{10},4t-\frac{29}{5},t\right] \vee \left[6t+\frac{107}{10},4t+\frac{43}{5},t\right]$

som videre betyr at punktet $P$ ligger på to rette linjer der parameterframstillingene er gitt av vektorfunksjonene over. Disse linjene ligger i avstand 2 fra $\alpha$, og siden de ligger i $\beta$, må de være parallelle med skjæringslinja gjennom planene.

Kommentar: I linje 8 og 9 kunne vi ha valgt å løse likningene med hensyn på $r$ og $t$ eller $s$ og $t$. Da ville vi ha fått andre parameterframstillinger for de samme to linjene.