En sirkel i planet

Til høyre ser du en sirkel med sentrum i punktet $\left(x_0, y_0\right)$. Vi setter radius i sirkelen lik $r$. Sirkelen er samlingen av, eller det geometriske stedet for, alle punkter $\left(x, y\right)$ som har avstanden $r$ fra punktet $\left(x_0, y_0\right)$.

Vi lar $$ \overrightarrow{r}$$ være vektoren fra sentrum i sirkelen, $\left(x_0, y_0\right)$, til et vilkårlig punkt på sirkelen, $\left(x, y\right)$.

$$ \overrightarrow{r}=\left[x-x_0, y-y_0\right]$$

Da er $$ \left|\overrightarrow{r}\right|=r$$.

Dette gir

$\begin{array}{rcl} \left|\overrightarrow{r}\right|& = & r\\ & & \\ \left|\left[x-x_0,y-y_0\right]\right|& =& r\\ & & \\ \sqrt{{\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2}& =& r\\ & & \\ {\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2& =& r^2\end{array}$

Eksempel 1

Vi skal finne likningen for en sirkel som har sentrum i $\left(4, 3\right)$ og radius lik 2.

Her er $$ x_0 = 4, y_0 = 3 \mathrm{og} r = 2$$.
Setningen ovenfor gir oss likningen for denne sirkelen
$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \left(x-4\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & \left(y-3\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl} & =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 4\end{array}$$

Eksempel 2

Vi skal bestemme sentrum og radius i en sirkel som er gitt ved ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=5^2$.

Hvis vi sammenlikner med likningen ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2=r^2$, ser vi at $x_0=2$, $y_0=-4$ og $r=5$.

Sirkelen har sentrum i $\left(2, -4\right)$ og $r=5$ .

Vi har sett at likningen for en sirkel med sentrum i $$ (x_0, y_0)$$ og med radius lik r kan skrives på formen
$$ {\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2=r^2$$

Vi kan regne ut venstresida slik:

$$ x^2-2x{x}_0+{x_0}^2+y^2-2y{y}_0+{y_0}^2=r^2$$

Vi ser at vi får et uttrykk hvor både $$ x$$ og $$ y$$ er opphøyd i andre potens og har like koeffisienter. Dette er et krav som må være oppfylt for alle sirkellikninger. Vi ser at kravet er oppfylt for følgende likning:
$x^2+2x+y^2-6y=-1$
Likningen kan derfor være en sirkellikning.

For å være helt sikre, og finne sentrum og radius i en eventuell sirkel, må vi skrive om likningen slik at vi får den på formen ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2=r^2$.

Uttrykkene ${\left(x-x_0\right)}^2$ og ${\left(y-y_0\right)}^2$ kalles fullstendige kvadrater.

I matematikk 1T lærte du å skrive om uttrykk for å lage fullstendige kvadrater. Nedenfor har vi tatt med to eksempler, men hvis du er usikker, kan du gå til sida Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater fra 1T og repetere dette skikkelig!

Eksempel 1

Vi skal undersøke om $x^2-6x+9$er et fullstendig kvadrat. Her er førstegradsleddet negativt. Vi må derfor prøve med andre kvadratsetning. Husker du hvordan andre kvadratsetning så ut?

Vi må da sjekke om førstegradsleddet er «det dobbelte produkt», det vil si $2ab$.

Her er $2ab=2·x·3=6x$, altså lik førstegradsleddet i uttrykket $x^2-6x+9$.

Da er $x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$, og vi har et fullstendig kvadrat.

Eksempel 2

Vi skal legge til et konstantledd slik at uttrykket $x^2+10x$ blir et fullstendig kvadrat. Her er førstegradsleddet positivt. Vi må derfor bruke første kvadratsetning. Du kan klikke den fram under dersom du ikke husker hvordan den ser ut.

Siden andregradsleddet er $x^2$, må $a=\sqrt{x^2}=x$.

«Det dobbelte produktet», $2ab=10x$.

Da er

$b=\frac{10x}{2a}=\frac{10x}{2x}=5$

Vi får da at $b^2=25$, og det fullstendige kvadratet blir

$x^2+10x+25={\left(x+5\right)}^2$

Sirkelen vår

Nå går vi tilbake til sirkelen gitt ved likningen

$x^2+2x+y^2-6y=-1$

Vi sorterer leddene og legger til det vi mangler for å få fullstendige kvadrater.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+y^2-6y & = & -1\\ & & \\ x^2+2x+{\left(\frac{2}{2}\right)}^2+y^2-6y+{\left(\frac{6}{2}\right)}^2& =& -1+{\left(\frac{2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{6}{2}\right)}^2\\ & & \\ x^2+2x+1^2+y^2-6y+3^2& = & -1+1^2+3^2\\ & & \\ \underset{{\left(x+1\right)}^2}{\underbrace{x^2+2x+1}} +\underset{{\left(y-3\right)}^2}{\underbrace{ y^2-6y+9}} & =& -1+1+9\\ & & \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2& =& 3^2\end{array}$

Dette er altså likningen for en sirkel med sentrum i $\left(-1, 3\right)$ og radius $r=3$.