Fagstoff

Ein sirkel i planet

Ein sirkel kan uttrykkjast ved ei likning. For å finne denne likninga bruker vi vektorar.

Likninga for ein sirkel

Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i punktet $(x_{0}, y_{0})$ . Vi set radius i sirkelen lik $r$ . Sirkelen er samlinga av, eller den geometriske staden for, alle punkt $(x, y)$ som har avstanden $r$ frå punktet $(x_{0}, y_{0})$ .

Vi lar $\vec{r}$ vere vektoren frå sentrum i sirkelen, $(x_{0}, y_{0})$ , til eit vilkårleg punkt på sirkelen, $(x, y)$ .

$\vec{r} = [x - x_{0}, y - y_{0}]$

Då er $|\vec{r}| = r$ .

Dette gir

$\begin{array}{rcl} |\vec{r}| & = & r \\ |[x - x_{0}, y - y_{0}]| & = & r \\ \sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}} & = & r \\ {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} & = & r^{2} \end{array}$

Setning

Likninga for ein sirkel med sentrum i $(x_{0}, y_{0})$ og med radius lik r kan skrivast på forma

$\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{clc} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} (x - x_{0}) \end{array} \begin{array}{rcl} ^{2} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} (y - y_{0}) \end{array} \begin{array}{rcl} ^{2} \end{array} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} r \end{array} \begin{array}{rcl} ^{2} \end{array} \end{array} \end{matrix} \end{matrix}$

Legg merke til at ein sirkel per definisjon berre er samlinga av punkt som har avstanden r frå sentrum.

Nokre gonger blir likevel omgrepet «sirkel» nytta om heile området som er avgrensa av denne samlinga av punkt. Vi snakkar til dømes om «arealet av ein sirkel». Punkta som har avstanden r frå sentrum, blir då kalla «sirkelperiferien».

Døme 1

Vi skal finne likninga for ein sirkel som har sentrum i $(4, 3)$ og radius lik 2.

Her er $x_{0} = 4, y_{0} = 3 og r = 2$ .
Setninga ovanfor gir oss likninga for denne sirkelen
$\begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} (x - 4) \end{array} \begin{array}{rcl} ^{2} \end{array} \begin{array}{rcl} + \end{array} \begin{array}{rcl} (y - 3) \end{array} \begin{array}{rcl} ^{2} \end{array} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} 4 \end{array}$

Døme 2

Vi skal bestemme sentrum og radius i ein sirkel som er gitt ved ${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 5^{2}$ .

Om vi samanliknar med likninga ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}$ , ser vi at $x_{0} = 2$ , $y_{0} = - 4$ og $r = 5$ .

Sirkelen har sentrum i $(2, - 4)$ og $r = 5$ .

Ein sirkel har likninga $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . Kvar ligg sentrum i denne sirkelen?

Omforming av sirkellikning – metoden med fullstendige kvadrat

Vi har sett at likninga for ein sirkel med sentrum i $(x_{0}, y_{0})$ og med radius lik r kan skrivast på forma
${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}$

Vi kan rekne ut venstresida slik:

$x^{2} - 2 x x_{0} + {x_{0}}^{2} + y^{2} - 2 y y_{0} + {y_{0}}^{2} = r^{2}$

Vi ser at vi får eit uttrykk der både $x$ og $y$ er opphøgde i andre potens og har like koeffisientar. Dette er eit krav som må vere oppfylt for alle sirkellikningar. Vi ser at kravet er oppfylt for denne likninga:
$x^{2} + 2 x + y^{2} - 6 y = - 1$
Likninga kan derfor vere ei sirkellikning.

For å vere heilt sikre, og finne sentrum og radius i ein eventuell sirkel, må vi skrive om likninga slik at vi får henne på forma ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}$ .

Uttrykka ${(x - x_{0})}^{2}$ og ${(y - y_{0})}^{2}$ kallar vi fullstendige kvadrat.

I matematikk 1T lærte du å skrive om uttrykk for å lage fullstendige kvadrat. Nedanfor har vi teke med to døme, men om du er usikker, kan du gå til sida Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrat frå 1T og repetere dette skikkeleg!

Hugs at eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som kan faktoriserast ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Døme 1

Vi skal undersøkje om $x^{2} - 6 x + 9$ er eit fullstendig kvadrat. Her er førstegradsleddet negativt. Vi må derfor prøve med andre kvadratsetning. Hugsar du korleis andre kvadratsetning ser ut?

Vis andre kvadratsetning

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Vi må då sjekke om førstegradsleddet er «det dobbelte produktet», det vil seie $2 a b$ .

Her er $2 a b = 2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ , altså lik førstegradsleddet i uttrykket $x^{2} - 6 x + 9$ .

Då er $x^{2} - 6 x + 9 = {(x - 3)}^{2}$ , og vi har eit fullstendig kvadrat.

Døme 2

Vi skal leggje til eit konstantledd slik at uttrykket $x^{2} + 10 x$ blir eit fullstendig kvadrat. Her er førstegradsleddet positivt. Vi må derfor bruke første kvadratsetning. Du kan klikke henne fram under dersom du ikkje hugsar korleis ho ser ut.

Vis første kvadratsetning

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Sidan andregradsleddet er $x^{2}$ , må $a = \sqrt{x^{2}} = x$ .

«Det dobbelte produktet», $2 a b = 10 x$ .

Då er

$b = \frac{10 x}{2 a} = \frac{10 x}{2 x} = 5$

Vi får då at $b^{2} = 25$ , og det fullstendige kvadratet blir

$x^{2} + 10 x + 25 = {(x + 5)}^{2}$

For å lage fullstendig kvadrat seier vi ofte at vi må «halvere, kvadrere og addere». Ser du kva vi meiner med det? Legg merke til at

$x^{2} + 10 x + 25 = x^{2} + 10 x + {(\frac{10}{2})}^{2}$

Sirkelen vår

No går vi tilbake til sirkelen gitt ved likninga

$x^{2} + 2 x + y^{2} - 6 y = - 1$

Vi sorterer ledda og legg til det vi manglar for å få fullstendige kvadrat.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 2 x + y^{2} - 6 y & = & - 1 \\ x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} + y^{2} - 6 y + {(\frac{6}{2})}^{2} & = & - 1 + {(\frac{2}{2})}^{2} + {(\frac{6}{2})}^{2} \\ x^{2} + 2 x + 1^{2} + y^{2} - 6 y + 3^{2} & = & - 1 + 1^{2} + 3^{2} \\ \underset{{(x + 1)}^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} + 2 x + 1}} + \underset{{(y - 3)}^{2}}{\underset{⏟}{y^{2} - 6 y + 9}} & = & - 1 + 1 + 9 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} & = & 3^{2} \end{array}$

Legg merke til at vi legg til dei same ledda på begge sidene av likskapsteiknet!

Kvifor må vi gjere det?

Grafisk framstilling av sirkellikninga parentes x pluss 1 parentes slutt i andre minus parentes y minus 3 parentes slutt i andre er lik 9. Illustrasjon.

Dette er altså likninga for ein sirkel med sentrum i $(- 1, 3)$ og radius $r = 3$ .

Vektorar brukte til å berekne ulike storleikar i planet

Likninga for ein sirkel

Setning

Døme 1

Døme 2

Omforming av sirkellikning – metoden med fullstendige kvadrat

Døme 1

Døme 2

Sirkelen vår