Ein sirkel i planet

Til høgre ser du ein sirkel med sentrum i punktet$\left(x_0, y_0\right)$. Vi set radius i sirkelen lik $r$. Sirkelen er samlinga av, eller den geometriske staden for, alle punkt $\left(x, y\right)$som har avstanden $r$ frå punktet$\left(x_0, y_0\right)$.

Vi lar $$ \overrightarrow{r}$$ vere vektoren frå sentrum i sirkelen,$\left(x_0, y_0\right)$, til eit vilkårleg punkt på sirkelen,$\left(x, y\right)$.

$$ \overrightarrow{r}=\left[x-x_0, y-y_0\right]$$

Då er $$ \left|\overrightarrow{r}\right|=r$$.

Dette gir

$\begin{array}{rcl} \left|\overrightarrow{r}\right|& = & r\\ & & \\ \left|\left[x-x_0,y-y_0\right]\right|& =& r\\ & & \\ \sqrt{{\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2}& =& r\\ & & \\ {\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2& =& r^2\end{array}$

Døme 1

Vi skal finne likninga for ein sirkel som har sentrum i $\left(4, 3\right)$ og radius lik 2.

Her er$$ x_0 = 4, y_0 = 3 \mathrm{og} r = 2$$.
Setninga ovanfor gir oss likninga for denne sirkelen
$$ \begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \left(x-4\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & \left(y-3\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl} & =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 4\end{array}$$

Døme 2

Vi skal bestemme sentrum og radius i ein sirkel som er gitt ved ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=5^2$.

Om vi samanliknar med likninga ${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2=r^2$, ser vi at$x_0=2$, $y_0=-4$og$r=5$.

Sirkelen har sentrum i $\left(2, -4\right)$ og $r=5$ .

Vi har sett at likninga for ein sirkel med sentrum i $$ (x_0, y_0)$$ og med radius lik r kan skrivast på forma
$$ {\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2=r^2$$

Vi kan rekne ut venstresida slik:

$$ x^2-2x{x}_0+{x_0}^2+y^2-2y{y}_0+{y_0}^2=r^2$$

Vi ser at vi får eit uttrykk der både $$ x$$ og $$ y$$ er opphøgde i andre potens og har like koeffisientar. Dette er eit krav som må vere oppfylt for alle sirkellikningar. Vi ser at kravet er oppfylt for denne likninga:
$x^2+2x+y^2-6y=-1$
Likninga kan derfor vere ei sirkellikning.

For å vere heilt sikre, og finne sentrum og radius i ein eventuell sirkel, må vi skrive om likninga slik at vi får henne på forma${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2=r^2$.

Uttrykka ${\left(x-x_0\right)}^2$ og ${\left(y-y_0\right)}^2$ kallar vi fullstendige kvadrat.

I matematikk 1T lærte du å skrive om uttrykk for å lage fullstendige kvadrat. Nedanfor har vi teke med to døme, men om du er usikker, kan du gå til sida Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrat frå 1T og repetere dette skikkeleg!

Døme 1

Vi skal undersøkje om$x^2-6x+9$er eit fullstendig kvadrat. Her er førstegradsleddet negativt. Vi må derfor prøve med andre kvadratsetning. Hugsar du korleis andre kvadratsetning ser ut?

Vi må då sjekke om førstegradsleddet er «det dobbelte produktet», det vil seie $2ab$.

Her er$2ab=2·x·3=6x$, altså lik førstegradsleddet i uttrykket$x^2-6x+9$.

Då er$x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$, og vi har eit fullstendig kvadrat.

Døme 2

Vi skal leggje til eit konstantledd slik at uttrykket$x^2+10x$blir eit fullstendig kvadrat. Her er førstegradsleddet positivt. Vi må derfor bruke første kvadratsetning. Du kan klikke henne fram under dersom du ikkje hugsar korleis ho ser ut.

Sidan andregradsleddet er $x^2$, må$a=\sqrt{x^2}=x$.

«Det dobbelte produktet»,$2ab=10x$.

Då er

$b=\frac{10x}{2a}=\frac{10x}{2x}=5$

Vi får då at$b^2=25$, og det fullstendige kvadratet blir

$x^2+10x+25={\left(x+5\right)}^2$

Sirkelen vår

No går vi tilbake til sirkelen gitt ved likninga

$x^2+2x+y^2-6y=-1$

Vi sorterer ledda og legg til det vi manglar for å få fullstendige kvadrat.

$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+y^2-6y & = & -1\\ & & \\ x^2+2x+{\left(\frac{2}{2}\right)}^2+y^2-6y+{\left(\frac{6}{2}\right)}^2& =& -1+{\left(\frac{2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{6}{2}\right)}^2\\ & & \\ x^2+2x+1^2+y^2-6y+3^2& = & -1+1^2+3^2\\ & & \\ \underset{{\left(x+1\right)}^2}{\underbrace{x^2+2x+1}} +\underset{{\left(y-3\right)}^2}{\underbrace{ y^2-6y+9}} & =& -1+1+9\\ & & \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2& =& 3^2\end{array}$

Dette er altså likninga for ein sirkel med sentrum i $\left(-1, 3\right)$og radius$r=3$.