Task

Kuleflater

Bli bedre kjent med kuleflater gjennom å løse disse oppgavene!

4.2.80

Finn radius og sentrum i disse kuleflatene.

a) $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 2)^{2} = 3^{2}$

Løsning

Her kan vi lese radius og sentrum rett ut fra likningen.

Sentrum i kuleflata er $(4, 3, - 2)$ , og radien er 3.

b) $x^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 4)^{2} = 17$

Løsning

Sentrum i kuleflata er $(0, 1, 4)$ , og radien er $\sqrt{17}$ .

c) $x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y + z^{2} - 2 z + 16 = 0$

Løsning

Her må vi først fullføre kvadratene for å se hva koordinatene til sentrum og radien er.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 8 x + y^{2} + 4 y + z^{2} - 2 z + 16 & = & 0 \\ x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} + 4 y + 4 + z^{2} - 2 z + 1 - 16 - 4 - 1 & = & - 16 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} & = & 5 \end{array}$

Sentrum i kuleflata er $(4, - 2, 1)$ , og radien er $\sqrt{5}$ .

d) $x^{2} + 14 x + y^{2} - 4 y + z^{2} + 6 z + 46 = 0$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 14 x + y^{2} - 4 y + z^{2} + 6 z + 46 & = & 0 \\ x^{2} + 14 x + 49 + y^{2} - 4 y + 4 + z^{2} + 6 z + 9 - 49 - 4 - 9 & = & - 46 \\ {(x + 7)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} & = & 16 \end{array}$

Sentrum i kuleflata er $(- 7, 2, - 3)$ , og radien er $\sqrt{16} = 4$ .

4.2.81

Finn likningsframstillingen til disse kuleflatene.

a) Kula har radius 5 og sentrum i $(2, - \frac{3}{2}, 3)$ .

Løsning

En likningsframstilling for kuleflata er

${(x - 2)}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 5^{2} = 25$

b) Kula har radius $\sqrt{5}$ og sentrum i $(0, - 2, 5)$ .

Løsning

En likningsframstilling for kuleflata er

$x^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = {\sqrt{5}}^{2} = 5$

4.2.82

Undersøk om disse likningene representerer kuleflater, og finn i så tilfelle sentrum og radius i kulene.

a) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 6)^{2} = 36$

Løsning

Vi minner om at for at en likning skal kunne representere ei kuleflate, må likningen kunne skrives på formen

${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} + {(z - z_{0})}^{2} = r^{2}$

der radien i kula er $r$ og sentrum ligger i punktet $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ . Likningen i oppgaven er på formen til den generelle likningen, så kuleflata har sentrum i $(1, - 2, 6)$ og radius $\sqrt{36} = 6$ .

b) $x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} - 8 z + 17 = 0$

Løsning

Vi lager fullstendige kvadrater.

$\begin{array}{rcl} x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y + z^{2} - 8 z + 17 & = & 0 \\ x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 2 y + 1 + z^{2} - 8 z + 16 - 4 - 1 - 16 & = & - 17 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 4)}^{2} & = & 4 \end{array}$

Denne likningen er på formen til den generelle likningen for ei kuleflate. Kuleflata har sentrum i $(- 2, 1, 4)$ og radius $\sqrt{4} = 2$ .

c) $3 x^{2} - 6 x + 3 y^{2} + 18 y + 3 z^{2} - 24 z = - 45$

Løsning

Siden den generelle likningen for ei kuleflate ikke har koeffisienter foran kvadratene, starter vi med å dele likningen på 3 før vi bruker fullstendige kvadraters metode.

$\begin{array}{l} \begin{array}{rcl} 3 x^{2} - 6 x + 3 y^{2} + 18 y + 3 z^{2} - 24 z & = & - 51 \\ x^{2} - 2 x + y^{2} + 6 y + z^{2} - 8 z & = & - 17 \\ x^{2} - 2 x + 1 - 1 \\ + y^{2} + 6 y + 9 - 9 \\ + z^{2} - 8 z + 16 - 16 & = & - 17 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 4)}^{2} - 26 & = & - 17 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 4)}^{2} & = & 9 \end{array} \end{array}$

Denne likningen er på formen til den generelle likningen for ei kuleflate. Kuleflata har sentrum i $(1, - 3, 4)$ og radius $\sqrt{9} = 3$ .

d) $2 x^{2} - 16 x + 2 y^{2} + 4 y + 2 z^{2} - 6 z = - 62$

Løsning

Siden den generelle likningen for ei kuleflate ikke har koeffisienter foran kvadratene, starter vi med å dele likningen på 2 før vi bruker fullstendige kvadraters metode.

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 16 x + 2 y^{2} + 4 y + 2 z^{2} - 6 z & = & - 62 \\ x^{2} - 8 x + y^{2} + 2 y + z^{2} - 3 z & = & - 31 \\ x^{2} - 8 x + 16 - 16 \\ + y^{2} + 2 y + 1 - 1 \\ + z^{2} - 3 z + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} & = & - 31 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} - 17 - \frac{9}{4} & = & - 31 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} & = & - \frac{104}{4} + \frac{68}{4} + \frac{9}{4} \\ = & - \frac{27}{4} \end{array} \end{array}$

Vi behøver ikke regne mer for å se at når vi trekker sammen tallene, vil tallet på høyre side bli negativt. Da kan vi ikke regne ut noen radius, og likningen kan ikke representere ei kuleflate.

Kommentar: Likningen inneholder en sum av tre kvadrater på venstre side. Disse kan aldri bli negative, så likningen har ingen løsninger. Det finnes ingen punkter som tilfredsstiller likningen.

e) $x^{2} - 4 x + y + z^{2} + 10 z = 7$

Løsning

Likningen inneholder ikke noe ledd av typen $y^{2}$ . Da kan ikke dette være likningen for ei kuleflate. (Prøv å skrive inn likningen og se hvordan flata ser ut!)

f) $2 x^{2} - 2 x + 3 y^{2} + 2 y + z^{2} - 6 z = 4$

Løsning

I den generelle likningen for kuleflater har andregradsleddene ingen koeffisienter. Her har vi ulike koeffisienter foran andregradsleddene, noe som betyr at vi ikke kan få forkortet bort disse. Da har vi ingen kuleflate.

g) $\frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2} y^{2} - 7 y + \frac{1}{2} z^{2} - 5 z = - \frac{75}{2}$

Løsning

Vi starter med å multiplisere likningen med 2 før vi bruker fullstendige kvadraters metode.

$\begin{array}{l} \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{2} y^{2} - 7 y + \frac{1}{2} z^{2} - 5 z & = & - \frac{75}{2} \\ x^{2} + 2 x + y^{2} - 14 y + z^{2} - 10 z & = & - 75 \\ x^{2} + 2 x + 1 - 1 \\ + y^{2} - 14 y + 49 - 49 \\ + z^{2} - 10 z + 25 - 25 & = & - 75 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 5)}^{2} - 75 & = & - 75 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 5)}^{2} & = & 0 \end{array} \end{array}$

Dette kan ikke være likningene til ei kuleflate siden vi får 0 på høyre side av likningen når vi samler konstantleddene der. Likningen er bare oppfylt for punktet $(- 1, 7, 5)$ .

4.2.83

Bruk CAS til å undersøke om kuleflata gitt ved likningen $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} = 3^{2}$ og planet gitt ved likningen $2 x + 3 y + 4 z - 20 = 0$ skjærer hverandre.

Løsning

Hvis avstanden fra kulas sentrum til planet er mindre enn eller lik kulas radius, vil planet skjære kula.

Vi finner denne avstanden med CAS.

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er S definert med koordinatene minus 1, 3 og 0. På linje 2 er beta definert som 2 x pluss 3 y pluss 4 z minus 20 er lik 0. På linje 3 er kommandoen Avstand med argumentene S og beta regnet ut med tilnærming til 2,414. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Avstanden mellom sentrum i kula og planet $β$ er 2,41. Kula har radius 3, så planet vil skjære kula.

Alternativ løsning:

I stedet for å skrive inn likningen for kuleflata, kan vi skrive inn koordinatene til sentrum i kuleflata.

Kommentar: Vi kan bruke kommandoen Sentrum(kf) til å finne sentrum i kula, men den fungerer ikke i CAS, bare i algebrafeltet.

4.2.84

Vi har gitt kuleflata $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} = 3^{2}$ .

a) Undersøk uten hjelpemidler om kuleflata skjærer noen av koordinataksene, og finn eventuelle skjæringspunkter.

Løsning

Et eventuelt skjæringspunkt med $x$ -aksen må ha $y$ - og $z$ - koordinater lik null. Dette gir

$\begin{array}{rcl} (x + 1)^{2} + (0 - 3)^{2} + 0^{2} & = & 3^{2} \\ (x + 1)^{2} + 9 & = & 9 \\ (x + 1)^{2} & = & 0 \\ x + 1 & = & 0 \\ x & = & - 1 \end{array}$

Skjæringspunktet med $x$ -aksen har koordinatene $(- 1, 0, 0)$ .

Et eventuelt skjæringspunkt med $y$ -aksen må ha $x$ - og $z$ - koordinater lik null. Dette gir

$\begin{array}{rcl} (0 + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + 0^{2} & = & 3^{2} \\ 1 + (y - 3)^{2} & = & 9 \\ (y - 3)^{2} & = & 8 \\ y - 3 & = & \sqrt{8} \lor y - 3 = - \sqrt{8} \\ y & = & 3 + \sqrt{8} \lor y = 3 - \sqrt{8} \end{array}$

Skjæringspunktene med $x$ -aksen har koordinatene $(0, 3 - 2 \sqrt{2}, 0)$ og $(0, 3 + 2 \sqrt{2}, 0)$ .

Et eventuelt skjæringspunkt med $z$ -aksen må ha $x$ - og $y$ -koordinater lik null. Dette gir

$\begin{array}{rcl} (0 + 1)^{2} + (0 - 3)^{2} + z^{2} & = & 3^{2} \\ 1 + 9 + z^{2} & = & 9 \\ z^{2} & = & - 1 \end{array}$

Vi får ingen løsning, så kula har ingen skjæringspunkter med $z$ -aksen.

b) Finn ut hvor mange punkter med heltallige koordinater som ligger på kuleflata.

Løsning

I oppgave a) fant vi ett slik punkt på kuleflata. Den generelle metoden blir prøving og feiling med punkter med heltallige koordinater til vi finner et punkt som passer i likningen.

Vi kan lage et program som går gjennom alle aktuelle punkter med heltallige koordinater og tester om punktene passer i likningen. Siden kula har sentrum i $S (- 1, 3, 0)$ og radien er 3, kan ikke punkter på kuleflata ha koordinater med absoluttverdi større enn $3 + 3 = 6$ . Vi lar derfor programmet teste med koordinater i intervallet $[- 6, 6]$ og bruker en tellevariabel til å telle antall punkter som ligger på kuleflata.

Forslag til programkode:

python

1n = 0          # setter en tellevariabel lik 0
2
3for x in range(-6,7):
4  for y in range(-6,7):
5    for z in range(-6,7):
6      if (x+1)**2 + (y-3)**2 + z**2 == 9:
7        n = n + 1       # øker tellevariabelen med 1 når
8                        # punktet ligger på kuleflata
9print(f"Det er {n} punkter med heltallige koordinater på kuleflata.")

Det er 30 punkter med heltallige koordinater på kuleflata.

c) Punktet $A (- 1, 0, 0)$ ligger på kuleflata. Hva er koordinatene til punktet $B$ som ligger på motsatt side av kuleflata, det vil si lengst borte fra $A$ ? Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Løsning

Sentrum $S (- 1, 3, 0)$ i kula må ligge midt på linjestykket $A B$ . Dette gir

$\vec{A B} = 2 \cdot \vec{A S} = 2 [- 1 - (- 1), 3 - 0, 0 - 0] = 2 [0, 3, 0] = [0, 6, 0]$

Hvis vi setter $B = (x, y, z)$ , får vi dessuten

$\vec{A B} = [x - (- 1), y - 0, z - 0] = [x + 1, y, z]$

For at vektorene skal være like, må koordinatene være like. Dette gir

$x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$
$\begin{array}{rcl} y & = & 6 \\ z & = & 0 \end{array}$

Punktet $B$ har koordinatene $(- 1, 6, 0)$ .

d) Ligger punktet $C (1, 0, 1)$ inne i kula, på kuleflata eller utenfor kula? Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Løsning

For å undersøke om et gitt punkt ligger inne i kula, på kuleflata eller utenfor kula, regner vi ut avstanden fra sentrum i kula til punktet. Hvis avstanden er mindre enn radius, ligger punktet inne i kula. Hvis avstanden er lik radius, ligger punktet på kuleflata, og hvis avstanden er større enn radius, ligger punktet utenfor kula.

Vi regner ut lengden av vektoren fra $C$ til $S$ .

$\vec{C S} = [- 1 - 1, 3 - 0, 0 - 1] = [- 2, 3, - 1]$

$|\vec{C S}| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} > 3$

Punktet $C (1, 0, 1)$ ligger utenfor kula.

e) Finn uten hjelpemidler likningen for planet $α$ som tangerer kula i punktet $P (1, 1, 1)$ .

Løsning

Planet (tangentplanet) vil stå normalt på vektoren fra sentrum til $P$ . Det betyr at en normalvektor ${\vec{n}}_{α}$ til planet er

${\vec{n}}_{α} = \vec{S P} = [1 - (- 1), 1 - 3, 1 - 0] = [2, - 2, 1]$

Punktet $P$ ligger i planet. Den generelle planlikningen gir oss likningen for $α$ :

$\begin{array}{rcl} a \cdot (x - x_{0}) + b \cdot (y - y_{0}) + c \cdot (z - z_{0}) & = & 0 \\ 2 (x - 1) - 2 (y - 1) + (z - 1) & = & 0 \\ 2 x - 2 - 2 y + 2 + z - 1 & = & 0 \\ 2 x - 2 y + z - 1 & = & 0 \end{array}$

f) Løs oppgaven uten hjelpemidler og kontroller svaret med CAS.

Finn koordinatene til punktet $Q (x, y, 2)$ på kuleflata når planet $β$ som tangerer kuleflata i $Q$ , står normalt på planet $α$ .

Løsning

Vektoren $\vec{S Q}$ fra sentrum til $Q$ vil være en normalvektor til $β$ .

$\vec{S Q} = [x - (- 1), y - 3, 2 - 0] = [x + 1, y - 3, 2]$

Normalvektoren til planet må stå normalt på normalvektoren ${\vec{n}}_{α}$ til planet $α$ siden planene skal stå normalt på hverandre. Da må skalarproduktet mellom normalvektorene være 0.

$\begin{array}{rcl} \vec{S Q} \cdot {\vec{n}}_{α} & = & 0 \\ [x + 1, y - 3, 2] \cdot [2, - 2, 1] 0 & = & 0 \\ (x + 1) \cdot 2 + (y - 3) \cdot (- 2) + 2 \cdot 1 & = & 0 \\ 2 x + 2 - 2 y + 6 + 2 & = & 0 \\ 2 x - 2 y & = & - 10 \\ x & = & y - 5 \end{array}$

I tillegg vet vi at

$\begin{array}{rcl} |\vec{S Q}| & = & 3 \\ \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + 2^{2}} & = & 3 \\ {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + 2^{2} & = & 9 \end{array}$

Vi setter inn $x = y - 5$ .

$\begin{array}{rcl} {(y - 5 + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + 2^{2} & = & 9 \\ {(y - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + 4 & = & 9 \\ y^{2} - 8 y + 16 + y^{2} - 6 y + 9 + 4 & = & 9 \\ 2 y^{2} - 14 y + 20 & = & 0 \\ y^{2} - 7 y + 10 & = & 0 \\ (y - 5) (y - 2) & = & 0 \\ y & = & 5 \lor y = 2 \end{array}$

Dette gir

$x = 5 - 5 = 0 \lor x = 2 - 5 = - 3$

Vi får

$Q = (0, 5, 2) \lor Q = (- 3, 2, 2)$

Med CAS kan vi løse det på denne måten:

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er S definert med koordinatene minus 1, 3 og 0. På linje 2 er alfa definert som 2 x minus 2 y pluss z minus 1 er lik 0. På linje 3 er S Q definert som Vektor med argumentene S og punktet med koordinatene x, y og 2. Svaret er S Q kolon er lik koordinatene x pluss 1, y minus 3 og 2. På linje 4 er Normalvektor med argumentet alfa multiplisert med S Q og satt lik 0. Svaret er 2 x minus 2 y pluss 10 er lik 0. På linje 5 er Lengde med argumentet S Q satt lik 3. Svaret er rota av parentes x pluss 1 parentes slutt i andre pluss parentes y minus 3 parentes slutt i andre pluss 4 rottegn slutt er lik 3. På linje 6 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 4 komma, dollartegn 5 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løs er x er lik 0 og y er lik 5 eller x er lik minus 3 og y er lik 2. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

g) Ei linje $l$ gitt ved parameterframstillingen

$l : \{\begin{cases} x = - 4 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = - 2 - 2 t \end{cases}$

Undersøk om linja skjærer kuleflata, og finn eventuelle skjæringspunkter. Løs oppgaven uten hjelpemidler.

Løsning

Hvis linja skjærer kuleflata, må det finnes verdier for $t$ som gjør at koordinatene for linja passer i likningen for kuleflata. Da gjør vi som vi gjør når vi skal finne skjæringspunktet mellom ei linje og et plan: Vi setter parameterframstillingen for linja inn i planlikningen.

$\begin{array}{rcl} (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} & = & 3^{2} \\ (- 4 + 2 t + 1)^{2} + (1 + t - 3)^{2} + {(- 2 - 2 t)}^{2} & = & 9 \\ (2 t - 3)^{2} + (t - 2)^{2} + {(- 2 - 2 t)}^{2} & = & 9 \\ 4 t^{2} - 12 t + 9 + t^{2} - 4 t + 4 + 4 + 8 t + 4 t^{2} & = & 9 \\ 9 t^{2} - 8 t + 17 & = & 9 \\ 9 t^{2} - 8 t + 8 & = & 0 \end{array}$

$t = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 8}}{2 \cdot 9} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 72}}{18}$

Vi får negativt tall under rottegnet. Likningen har ingen reelle løsninger, derfor skjærer ikke linja $l$ kuleflata.

h) Finn en parameterframstilling for linja $m$ som tangerer kuleflata i punktet $(0, 5, 2)$ , og som står normalt på planet $α$ .

Løsning

Normalvektoren ${\vec{n}}_{α}$ til planet vil være en retningsvektor ${\vec{v}}_{m}$ for linja.

${\vec{v}}_{m} = {\vec{n}}_{α} = [2, - 2, 1]$

En parameterframstilling for $m$ blir derfor

$m : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = 5 - 2 t \\ z = 2 + t \end{cases}$

i) Finn likningen for skjæringskurven mellom kuleflata og planet $z = 2$ . Hva slags kurve får vi? Lag også en parameterframstilling for kurven.

Tips til oppgaven

Med skjæringskurve mellom to objekter mener vi mengden av punkter som ligger på begge objektene.

Løsning

En likningsframstilling av skjæringskurven er

$(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + z^{2} = 3^{2} \land z = 2$

Vi setter $z = 2$ inn i kuleflatelikningen.

$\begin{array}{rcl} (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} + 2^{2} & = & 9 \land z = 2 \\ (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} & = & 5 \land z = 2 \end{array}$

Dette er likningsframstillingen for en sirkel med radius $\sqrt{5}$ og sentrum i $(- 1, 3, 2)$ . Legg merke til at vi må ha med oss " $\begin{array}{rcl} \land z & = & 2 \end{array}$ ", ellers vet vi ikke hvor i det tredimensjonale koordinatsystemet sirkelen ligger.

En sirkel i to dimensjoner med radius $\sqrt{5}$ og sentrum i origo har parameterframstillingen

$k : \{\begin{cases} x = \sqrt{5} \cos t \\ y = \sqrt{5} \sin t \end{cases}$

Flytter vi sirkelen, må vi legge til koordinatene til sentrum. Totalt gir dette følgende parameterframstilling for skjæringssirkelen:

$k : \{\begin{cases} x = - 1 + \sqrt{5} \cos t \\ y = 3 + \sqrt{5} \sin t \\ z = 2 \end{cases}$

4.2.85

(Basert på oppgave 8 del 2 eksamen R2 våren 2012)

I et koordinatsystem er det gitt et plan

$α : 2 x - 2 y + z + 2 = 0$

Punktene $A (0, 0, 4), B (2, 0, 0)$ og $C (1, 1, 4)$ ligger i et annet plan $β$ .

a) Bestem likningen til $β$ og forklar at $α ∥ β$ .

Løsning

Vi velger å bruke CAS.

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er alfa definert som 2 x minus 2 y pluss z pluss 2 er lik 0. På linje 2 er A definert med koordinatene 0, 0 og 4. På linje 3 er B definert med koordinatene 2, 0 og 0. På linje 4 er C definert med koordinatene 1, 1 og 4. På linje 5 er beta definert med kommandoen Plan med argumentene A, B og C. Svaret er beta kolon x multiplisert med 4 pluss y multiplisert med minus 4 pluss z multiplisert med 2 er lik 8. På linje 6 er Normalvektor av beta delt på Normalvektor av alfa regnet ut til koordinatene 2, 2 og 2. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Her har vi brukt CAS til "alt". Vi får i linje 5 at likningen til planet $β$ er $4 x - 4 y + 2 z = 8$ .

I linje 6 har vi delt normalvektorene på hverandre. GeoGebra tolker dette som at $x$ -koordinatene skal deles på hverandre, $y$ - og $z$ -koordinatene også. Siden resultatet blir en vektor med like koordinater, vet vi at ${\vec{n}}_{α} = k \cdot {\vec{n}}_{β}$ , som betyr at normalvektorene, og dermed planene $α$ og $β$ , er parallelle. Husk likevel at vi matematisk ikke kan dele to vektorer på hverandre siden divisjon med to vektorer ikke er definert!

Alternativ løsning for linje 6: Vi kan finne vinkelen direkte mellom de to planene med kommandoen Vinkel(α,β).

b) Finn avstanden mellom planene $α$ og $β$ .

Løsning

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 8 er Avstand med argumentene A og alfa regnet ut til 2. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi får at avstanden mellom planene er 2.

Planene $α$ og $β$ er begge tangentplan til ei kule. Sentrum $S$ i kula og de to tangeringspunktene $D$ og $E$ ligger på ei rett linje $l$ gjennom punktet $P (5, - 1, 4)$ , se figuren nedenfor.

Skisse som viser en sirkel med sentrum i punktet S. To linjer alfa og beta er parallelle og tangerer sirkelen på hver sin side i punktene D og E. Ei linje l går gjennom punktene D, S og E i tillegg til punktet P som ligger utenfor sirkelen. Illustrasjon. — Tverrsnitt av kule og plan. Image: Utdanningsdirektoratet / CC BY-SA 4.0

c) Sett opp en parameterframstilling for $l$ .

Løsning

Linja $l$ går gjennom begge tangeringspunktene. Det betyr at linja står vinkelrett på begge planene. Retningsvektoren til $l$ er da lik normalvektoren til planene. I tillegg vet vi koordinatene til punktet $P$ som linja går gjennom.

En parameterframstilling for linja $l$ blir dermed

$l : \{\begin{cases} x = 5 + 2 t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = 4 + t \end{cases}$

d) Bestem koordinatene til $D$ og $E$ .

Løsning

Siden $D$ og $E$ er skjæringspunktene mellom $l$ og $α$ og mellom $l$ og $β$ , er det disse vi må finne.

Med CAS kan vi skrive inn linja som en vektorfunksjon og sette koordinatene til vektorfunksjonen inn i de to planlikningene for å finne de to $t$ -verdiene som gir $D$ og $E$ .

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 8 er r av t definert med koordinatene 5 pluss 2 t, minus 1 minus 2 t og 4 pluss t. På linje 9 er det skrevet 2 x av r av t minus 2 y av r av t pluss z av r av t pluss 2 er lik 0. Svaret med Løs er t er lik minus 2. På linje 10 er det skrevet 2 x av r av t minus 2 y av r av t pluss z av r av t minus 4 er lik 0. Svaret med Løs er t er lik minus 4 tredjedeler. På linje 11 er D definert som r av minus 2. Svaret er D kolon er lik koordinatene 1, 3 og 2. På linje 12 er E definert som r av minus 4 tredjedeler. Svaret er E kolon er lik koordinatene 7 tredjedeler, 5 tredjedeler og 8 tredjedeler. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

e) Bestem likningen til kula.

Løsning

Fra oppgave b) vet vi at avstanden mellom planene er 2. Det må også være diameteren i kula. Radien er derfor 1. Sentrum $S$ i kula må være midtpunktet på $D E$ .

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 13 er S definert som D halve pluss E halve. Svaret er S kolon er lik koordinatene 5 tredjedeler, 7 tredjedeler og 7 tredjedeler. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Siden radien i andre blir lik 1, blir likningen for kula derfor

$\begin{array}{rcl} {(x - \frac{5}{3})}^{2} + {(y - \frac{7}{3})}^{2} + {(z - \frac{7}{3})}^{2} & = & 1 \end{array}$

Oppgaver med parameterframstilling av kuleflate

4.2.86

Finn radius og sentrum i disse kuleflatene.

a)
${\begin{array}{lcl} x & = & 3 + 2 \cos u \cos v \\ y & = & 2 + 2 \cos u \sin v \\ z & = & - 1 + 2 \sin u \end{array}$

Løsning

Her kan vi lese radius og sentrum rett ut fra parameterframstillingen.

Sentrum i kuleflata er $(3, 2, - 1)$ , og radien er 2.

b)
${\begin{array}{lcl} x & = & \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cos u \cos v \\ y & = & \sqrt{3} \cos u \sin v \\ z & = & - 1 + \sqrt{3} \sin u \end{array}$

Løsning

Sentrum i kuleflata er $(\frac{1}{2}, 0, - 1)$ , og radien er $\sqrt{3}$ .

4.2.87

Finn en parameterframstilling til disse kuleflatene.

a) Kula har radius 5 og sentrum i $(2, - \frac{3}{2}, 3)$ .

Løsning

En parameterframstilling for kuleflata er

${\begin{array}{lcl} x & = & 2 + 5 \cos u \cos v \\ y & = & - \frac{3}{2} + 5 \cos u \sin v \\ z & = & 3 + 5 \sin u \end{array}$

b) Kula har radius $\sqrt{5}$ og sentrum i $(0, - 2, 5)$ .

Løsning

En parameterframstilling for kuleflata er

${\begin{array}{lcl} x & = & \sqrt{5} \cos u \cos v \\ y & = & - 2 + \sqrt{5} \cos u \sin v \\ z & = & 5 + \sqrt{5} \sin u \end{array}$

c) Kuleflata har likningen $\begin{array}{rcl} {(x - \frac{5}{3})}^{2} + {(y - \frac{7}{3})}^{2} + {(z - \frac{7}{3})}^{2} & = & 1 \end{array}$ .

Løsning

Fra likningen får vi at sentrum i kuleflata er punktet $(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{7}{3})$ , og at radien er 1. Da er en parameterframstilling for kuleflata

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = \frac{5}{3} + \cos u \cos v \\ y = \frac{7}{3} + \cos u \sin v \\ z = \frac{7}{3} + \sin u \end{array} \end{cases}$

4.2.88

Illustrasjon som viser jorda i form av ei kule der en sektor er skåret ut inn til sentrum. Ekvator er markert. Loddrette lengdesirkler og vannrette breddesirkler er tegnet inn. Et punkt på kuleflata er markert og angitt med en vannrett vinkel u og en loddrett vinkel v. Illustrasjon. — Image: Geek3 / CC BY 4.0

Jordkloden

Vi kan betrakte jordkloden som ei kule der ekvator ligger i $x y$ -planet og $z$ -aksen går gjennom Nordpolen og Sørpolen, se figuren. Ved hjelp av parameterframstillingen av kuleflater på teorisiden kan vi angi posisjonen på jordoverflata med vinklene $u$ og $v$ som vist på figuren.

a) Skriv opp parameterframstillingen med vinklene $u$ og $v$ for jordoverflata når vi setter jordas radius lik 6 400 km.

Løsning

Siden origo er i sentrum av kula, får vi

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 6 400 \cdot \cos u \cdot \cos v \\ y = 6 400 \cdot \cos u \cdot \sin v \\ z = 6 400 \cdot \sin u \end{array} \end{cases}$

Breddegrad, vinkel u

For alle steder langs ekvator er vinkel $u = 0$ . På den nordlige halvkula er $u$ positiv, og på den sørlige halvkulen er $u$ negativ. Vinkelen har verdier fra minus 90 grader til pluss 90 grader. For Nordpolen er $u$ lik 90 grader, og på Sørpolen er $u$ lik minus 90 grader. Alle steder på kloden som har samme $u$ -verdi, ligger på en sirkel parallelt med ekvator. Vi sier at disse stedene har samme breddegrad.

Lengdegrad, vinkel v

Ekvator var et naturlig nullpunkt for vinkel $u$ , men vi har ikke et tilsvarende naturlig nullpunkt for vinkel $v$ . I 1884 ble det internasjonal enighet om at $x$ -aksen i koordinatsystemet skulle legges slik at Greenwich i London ble liggende i $x z$ -planet.

Alle steder på kloden som ligger på en halvsirkel gjennom Sørpolen, Greenwich og Nordpolen, har da vinkel $v = 0$ . Denne sirkelen kalles for nullmeridianen, og steder på nullmeridianen sier vi har lengdegrad null. Steder øst for nullmeridianen har lengdegrad fra null til 180 grader, og steder vest for nullmeridianen har lengdegrad fra null til minus 180 grader.

Avstanden mellom steder på kloden

En vinkel med radius og buelengde. Illustrasjon. — Buelengde. Image: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Vi kan bruke parameterframstillingen til å finne avstanden i luftlinje mellom for eksempel Kirkenes og Bergen.

b) Hva mener vi egentlig med "avstand i luftlinje" mellom to steder $A$ og $B$ på jordoverflata? Se figuren.

Løsning

Med avstand i luftlinje mener vi den korteste avstanden mellom to steder langs jordoverflata. Den korteste avstanden mellom $A$ og $B$ blir derfor en sirkelbue.

c) Kirkenes ligger på breddegrad 69,73° og lengdegrad 30,05°, og Bergen ligger på breddegrad 60,39° og lengdegrad 5,32°.

Regn ut posisjonene $(x, y, z)$ til Kirkenes og Bergen.

Løsning

Vi bruker parameterframstillingen i a) og regner i CAS.

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er r av u og v definert med koordinatene 6400 cos u multiplisert med cos v, 6400 cos u multiplisert med sin v og 6400 sin u. På linje 2 er Kirkenes definert som r av 69,73 grader og 30,05 grader. Svaret med tilnærming er Kirkenes kolon er lik koordinatene 1919,22, 1110,3 og 6003,65. På linje 3 er Bergen definert som r av 60,39 grader og 5,32 grader. Svaret med tilnærming er Kirkenes kolon er lik koordinatene 3148,58, 293,19 og 5564,22. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

d) Regn ut avstanden i luftlinje mellom Kirkenes og Bergen.

Tips til oppgaven

Bruk definisjonen på en vinkel målt i radianer. Se eventuelt teorisiden "Radianer – absolutt vinkelmål".

Løsning

En vinkel $θ$ målt i radianer er definert som

$θ = \frac{b}{r}$

der $b$ er buelengden som spenner over vinkelen i en sirkel med radius $r$ .

Vi ønsker dermed å finne $b = θ r$ . Det kan vi gjøre ved å bruke GeoGebra til å finne vinkelen mellom Kirkenes og Bergen med origo som toppunkt.

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 4 er Origo definert med koordinatene 0,0 og 0. På linje 5 er Vinkel K B definert som kommandoen Vinkel med argumentene Kirkenes, Origo og Bergen. Svaret med tilnærming er Vinkel K B kolon er lik 0,24. På linje 6 er luftlinje definert som Vinkel K B multiplisert med 6400 kilometer. Svaret med tilnærming er luftlinje kolon er lik 1543,9 kilometer. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Utregningen viser at avstanden i luftlinje mellom Bergen og Kirkenes er 1 543 km.

Nedenfor har vi tegnet jordkloden (parameterframstillingen $r (u, v)$ ) med punktene $B$ (Bergen) og $K$ (Kirkenes) og sirkelbuen mellom dem. (NB: Det er ikke en del av oppgaven.)

4.2.80

4.2.81

4.2.82

4.2.83

4.2.84

4.2.85

Oppgaver med parameterframstilling av kuleflate

4.2.86

4.2.87

4.2.88

Jordkloden

Breddegrad, vinkel u

Lengdegrad, vinkel v

Avstanden mellom steder på kloden

Rules for use of text "Kuleflater"