Avstand punkt–linje. Vektorfunksjoner

Med avstanden fra et punkt $$ A$$ til ei rett linje $$ l$$ mener vi den korteste avstanden vi kan få fra $$ A$$ til et punkt på linja.

Prøv selv

Du kan dra i punktet $$ P$$ på linja i den interaktive figuren nedenfor eller bruke piltastene med punktet $$ P$$ aktivt. Du kan lese av avstanden $$ AP$$ fra $$ A$$ til $$ P$$ og vinkelen mellom linja og linjestykket $$ AP$$ i figuren.

Hvor stor er vinkelen mellom linja og linjestykket $$ AP$$ når avstanden er kortest?

Korteste avstand

Den korteste avstanden fra punktet $A$ til linja $l$ måler vi langs normalen fra $A$ ned på linja, se figuren nedenfor.

Vi skal her vise to metoder for å finne denne avstanden. Det er viktig at du lærer deg begge metodene fordi dette er generelle metoder som kan brukes på andre problemstillinger.

Vi skal bruke en trekant slik som på figuren til hjelp.

Tenk over

Hvordan kan en slik trekant hjelpe oss med å finne avstanden fra et punkt til ei linje?

Vi setter opp to ulike måter for å finne arealet av en trekant slik at vi får en likning der vi kan bestemme $$ h$$.

1. Vi kan regne ut arealet ved hjelp av den vanlige arealformelen for trekanter:
   $$ A_{△}=\frac{1}{2}g·h=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a}\right|·h$$

2. Vi kan bruke arealformelen som inneholder vektorproduktet mellom $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$:
   $$ A_{△}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|$$

Disse to formlene må gi samme areal. Vi får

$$ \begin{array}{rcl}\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a}\right|·h & =& \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|\\ h & =& \frac{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}\end{array}$$

Eksempel

Vi har gitt punktene $$ A\left(0,7,2\right)$$, $$ B\left(4,0,2\right)$$ og $$ C\left(3,5,1\right)$$. Finn avstanden fra $$ A$$ til linja gjennom $$ B$$ og $$ C$$.

Løsning uten hjelpemidler

Vi begynner med å finne $$ \overrightarrow{a}$$, $$ \overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$$ og lengden av disse.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a} & =& \overrightarrow{BC}=\left[3-4,5-0,1-2\right]=\left[-1,5,-1\right]\\ \left|\overrightarrow{a}\right| & =& \sqrt{{\left(-1\right)}^2+5^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{1+25+1}=\sqrt{27}\\ & & \\ \overrightarrow{b} & =& \overrightarrow{BA}=\left[0-4,7-0,2-2\right]=\left[-4,7,0\right]\\ \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} & =& [5·0-7·\left(-1\right),-1·\left(-4\right)-0·\left(-1\right),-1·7-\left(-4\right)·5]\\ & =& \left[7,4,13\right]\\ \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right| & =& \sqrt{7^2+4^2+{13}^2}\\ & =& \sqrt{49+16+169}\\ & =& \sqrt{234}\end{array}$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}h & =& \frac{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{\sqrt{234}}{\sqrt{27}}=\frac{\sqrt{9·26}}{\sqrt{9·3}}=\sqrt{\frac{26}{3}}\end{array}$$

Avstanden fra $$ A$$ til linja gjennom $$ B$$ og $$ C$$ er $$ \sqrt{\frac{26}{3}}$$.

Løsning med hjelpemidler

Med CAS går dette raskere:

Kontroller at dette er samme svar som vi fikk uten hjelpemidler.

Er det vanskelig å huske formelen for avstanden $$ h$$? Da er det bra at formelen er lett å utlede ut ifra de to formlene for arealet av en trekant – hvis du husker dem.

I den andre metoden bruker vi følgende framgangsmåte:

• Vi finner et uttrykk for vektoren fra punktet $A$ til et vilkårlig punkt $$ P(x,y,z)$$ på linja $l$.
• Vi finner deretter den verdien av parameteren som gjør at denne vektoren står vinkelrett på $l$ siden vi har fra øverst på siden at det er da avstanden er kortest. Vi bruker da at skalarproduktet $$ \overrightarrow{AP}·{\overrightarrow{v}}_l=0$$, der $$ {\overrightarrow{v}}_l$$ er en
  retningsvektor for linja $l$.

• Lengden av den vektoren vi da får, er avstanden fra $A$ til $l$.

Vi velger å vise framgangsmåten med et eksempel.

Eksempel

Gitt ei linje på parameterform

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=4-t\\ y=5t\\ z=2-t\end{array}\right.$$

Finn avstanden fra punktet $$ A(0,7,2)$$ til et vilkårlig punkt $P$ på linja.

Løsning uten hjelpemidler

Et vilkårlig punkt $$ P$$ på linja har samme koordinater som posisjonsvektoren $$ \overrightarrow{OP}$$. Det gir at $$ P=\left(4-t,5t,2-t\right)$$.

Videre får vi at

$$ \overrightarrow{AP}=\left[\left(4-t\right)-0,5t-7,\left(2-t\right)-2\right]=\left[4-t,5t-7,-t\right]$$

For at lengden av $\overrightarrow{AP}$ skal bli så kort som mulig, skal $\overrightarrow{AP}$ stå vinkelrett på retningsvektoren til linja, som er $$ {\overrightarrow{v}}_l=\left[-1,5,-1\right]$$. Da må skalarproduktet mellom vektorene være lik 0. Matematisk skriver vi

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP}\perp {\overrightarrow{v}}_l \iff \overrightarrow{AP}·{\overrightarrow{v}}_l& = & 0\end{array}$$

Dette gir videre

$$ \begin{array}{rcl}\left[4-t,5t-7,-t\right]·\left[-1,5,-1\right] & =& 0\\ \left(4-t\right)·\left(-1\right)+\left(5t-7\right)·5+\left(-t\right)·\left(-1\right) & =& 0\\ -4+t+25t-35+t & =& 0\\ 27t & =& 39\\ t & =& \frac{39}{27}=\frac{13}{9}\end{array}$$

Vi setter denne $t$-verdien inn i uttrykket for $\overrightarrow{AP}$.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{AP}& = & \left[4-\frac{13}{9}, 5·\frac{13}{9}-7, -\frac{13}{9}\right]=\left[\frac{23}{9}, \frac{2}{9}, -\frac{13}{9}\right]\end{array}$$

Avstanden fra $A$ til $l$ blir lengden av denne vektoren.

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{AP}\right| & =& \sqrt{{\left(\frac{23}{9}\right)}^2+{\left(\frac{2}{9}\right)}^2+{\left(-\frac{13}{9}\right)}^2}=\sqrt{\frac{702}{9^2}}=\sqrt{\frac{78·9}{9^2}}=\frac{\sqrt{78}}{3}\end{array}$$

Avstanden fra punktet $A$ til linja $l$ er $\frac{\sqrt{78}}{3}$.

Løsning med hjelpemidler

Legg merke til i framgangsmåten med CAS nedenfor at vi skriver inn linja $$ l$$som en funksjon og kaller den r(t). Vi gjør tilsvarende med $\overrightarrow{AP}$ og kaller den AP(t). Dette er nødvendig for å kunne regne med uttrykkene på en enkel måte.

Vi kan også finne en retningsvektor $$ {\overrightarrow{v}}_l$$ for $$ l$$ med CAS på en enkel måte: Vi deriverer r(t). (Se forklaring lenger ned.)

I linje 4 finner vi en retningsvektor vl for linja ved å derivere r(t). Vi ser at vi får samme retningsvektor som vi brukte da vi løste oppgaven uten hjelpemidler over. I linje 5 løser vi likningen $$ \overrightarrow{AP}·{\overrightarrow{v}}_l=0$$ for å finne $$ t$$-verdien som gjør at skalarproduktet blir 0, og i linje 6 regner vi ut avstanden mellom $$ A$$ og linja som lengden av $$ \overrightarrow{AP}$$ når vi setter denne $$ t$$-verdien inn i AP(t).

Tenk over

Hvorfor får vi en retningsvektor for linja $$ l$$ når vi deriverer r(t)?

Når vi skriver linja $$ l$$ som r(t):=(4-t,5t,2-t) slik vi har gjort det i linje 1 i CAS-bildet over, kaller vi r(t) for en vektorfunksjon. Vi ser på vektoren som en funksjon av variabelen $$ t$$.

Tenk over

Er AP(t) i linje 3 en vektorfunksjon?

Vektorfunksjoner og kurver

Når vi skal regne med linjer og kurver i CAS i GeoGebra som i eksempelet her, bør vi skrive dem inn som vektorfunksjoner slik vi har gjort. Dersom vi bare ønsker å tegne en kurve, eller deler av den, bruker vi kommandoen "Kurve".

I eksempelet i metode 1 (arealmetoden) hadde vi oppgitt tre punkter. Da er det som regel enklest å bruke denne metoden. I eksempelet i metode 2 (skalarproduktmetoden) der vi har oppgitt parameterframstillingen av linja, er det som regel enklest å bruke metode 2.