Article

Avstand og vinkel mellom to linjer i rommet

Vi kan beskrive hvordan to linjer i rommet går i forhold til hverandre ved hjelp av størrelsene avstand og vinkel. Hvordan finner vi disse størrelsene?

Avstanden mellom to linjer i rommet

Definisjon

Med avstanden mellom to linjer i rommet mener vi alltid den korteste avstanden vi kan finne mellom linjene.

Tenk over

Vil to ikke-parallelle linjer i rommet automatisk skjære hverandre slik som ikke-parallelle linjer i planet?

Ikke-parallelle linjer i rommet

Ikke-parallelle linjer i rommet kan skjære hverandre, men må ikke.

På den interaktive figuren nedenfor har vi tegnet to ikke-parallelle linjer $m$ og $n$ som ikke skjærer hverandre. Vi har også tegnet et punkt $P$ på $m$ og et punkt $Q$ på $n$ som er slik at den rette linja mellom punktene står normalt både på $m$ og $n$ . Du kan dra i figuren for å rotere koordinatsystemet.

Files

Last ned simuleringen her dersom den ikke vises.(GGB)

Tenk over

Kan du forklare hvorfor linjestykket $P Q$ er den korteste avstanden mellom de to linjene?

Forklaring

Vi har at den korteste avstanden fra et punkt til ei linje måler vi langs normalen fra punktet ned på linja. Det betyr her at vi må finne et punkt $P$ på $m$ der vi kan trekke en normal til $n$ . Dette får vi til med alle punkter på $m$ (hvorfor?). Vi kaller skjæringspunktet mellom normalen fra $P$ og $n$ for $Q$ . Samtidig må vi kreve at vi kan trekke en normal fra $Q$ til $m$ for få den korteste avstanden mellom $Q$ og $m$ . Vi måler derfor den korteste avstanden mellom de to linjene langs ei linje som står vinkelrett på både $m$ og $n$ .

Framgangsmåte

Vi bruker vektorregning til å finne denne avstanden. Framgangsmåten for å finne den korteste avstanden mellom to linjer i rommet er slik:

Vi lar $P$ være et vilkårlig punkt på $m$ og $Q$ et vilkårlig punkt på $n$ .
Vi setter opp et generelt uttrykk for $\vec{P Q}$ .
Vi bruker at $\vec{P Q}$ står vinkelrett på retningsvektorene
for både $m$ og $n$ .
Vi finner $|\vec{P Q}|$ .

Eksempel

Vi skal finne avstanden mellom to linjer i rommet gitt ved

$m : {\begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}, n : {\begin{cases} x = 3 + s \\ y = s \\ z = - 2 s \end{cases}$

Vi viser framgangsmåten med og uten bruk av CAS.

Linja $m$ har retningsvektor ${\vec{v}}_{m} = [1, 1, 2]$ , og linja $n$ har retningsvektoren ${\vec{v}}_{n} = [1, 1, - 2]$ .

Vi får at $P (t, 1 + t, 2 + 2 t)$ er et vilkårlig punkt på $m$ , og $Q (3 + s, s, - 2 s)$ er et vilkårlig punkt på $n$ .

Framgangsmåte uten hjelpemidler

Vi finner først $\vec{P Q}$ .

$\begin{array}{rcl} \vec{P Q} & = & [(3 + s) - t, s - (1 + t), - 2 s - (2 + 2 t)] \\ = & [s - t + 3, s - t - 1, - 2 s - 2 t - 2] \end{array}$

Så krever vi at $\vec{P Q}$ står normalt på ${\vec{v}}_{m}$ , som betyr at $\vec{P Q} \cdot {\vec{v}}_{m} = 0$ . Det gir oss én likning med $s$ og $t$ :

$\begin{array}{rcl} [s - t + 3, s - t - 1, - 2 s - 2 t - 2] \cdot [1, 1, 2] & = & 0 \\ s - t + 3 + s - t - 1 - 4 s - 4 t - 4 & = & 0 \\ - 2 s - 6 t - 2 & = & 0 \\ - s - 3 t - 1 & = & 0 \end{array}$

Så krever vi at $\vec{P Q}$ står normalt på ${\vec{v}}_{n}$ , som betyr at $\vec{P Q} \cdot {\vec{v}}_{n} = 0$ . Det gir oss en ny likning med $s$ og $t$ :

$\begin{array}{l} \begin{array}{rcc} [s - t + 3, s - t - 1, - 2 s - 2 t - 2] \cdot [1, 1, - 2] & = & 0 \\ s - t + 3 + s - t - 1 + 4 s + 4 t + 4 & = & 0 \\ 6 s + 2 t + 6 & = & 0 \\ 3 s + t + 3 & = & 0 \end{array} \end{array}$

Vi får to likninger med to ukjente. Vi løser likningssettet og finner de verdiene for $s$ og $t$ som er slik at $\vec{P Q} ⊥ {\vec{v}}_{m}$ og $\vec{P Q} ⊥ {\vec{v}}_{n}$ . Vi velger å ta utgangspunkt i den første likningen.

$\begin{array}{rcl} - s - 3 t - 1 & = & 0 \\ s & = & - 3 t - 1 \end{array}$

Så setter vi dette inn i den andre likningen.

$\begin{array}{rcl} 3 s + t + 3 & = & 0 \\ 3 (- 3 t - 1) + t + 3 & = & 0 \\ - 9 t - 3 + t + 3 & = & 0 \\ - 8 t & = & 0 \\ t & = & 0 \\ s & = & - 3 t - 1 \\ = & - 3 \cdot 0 - 1 \\ = & - 1 \end{array}$

Vi setter disse verdiene inn i utrykket for $\vec{P Q}$ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene.

$\begin{array}{rcl} \vec{P Q} & = & [s - t + 3, s - t - 1, - 2 s - 2 t - 2] \\ = & [- 1 - 0 + 3, - 1 - 0 - 1, - 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 0 - 2] \\ = & [2, - 2, 0] \end{array}$

Til slutt finner vi lengden av $\vec{P Q}$ .

$|\vec{P Q}| = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

Avstanden mellom de to linjene er $2 \sqrt{2}$ .

Framgangsmåte med CAS i GeoGebra

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er m av t definert med koordinatene t, 1 pluss t og 2 pluss 2 t. På linje 2 er n av s definert med koordinatene 3 pluss s, s og minus 2 s. På linje 3 er P Q av s og t definert som Vektor parentes m komma, n parentes slutt. På linje 4 er det skrevet P Q multiplisert med m derivert av t er lik 0. Svaret er minus 2 s minus 6 t minus 2 er lik 0. På linje 5 er det skrevet P Q multiplisert med n derivert av s er lik 0. Svaret er 6 s pluss 2 t pluss 6 er lik 0. På linje 6 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 4 komma, dollartegn 5 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løs er s er lik minus 1 og t er lik 0. På linje 7 er det skrevet absoluttverdien av P Q av minus 1 og 0. Svaret er 2 rota av 2. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Legg merke til at i linje 7 gjør vi to operasjoner i én kommando: Vi setter både inn parameterverdiene i vektorfunksjonen PQ og finner lengden av vektoren som blir resultatet av innsettingen. Vi får samme svar som vi fikk uten hjelpemidler.

Tenk over

Linjene $m$ og $n$ har ulik parameter, $t$ og $s$ . Hva innebærer det om linjene har den samme parameteren?

Forklaring

Vi tenker oss nå at $P$ er i det punktet på $m$ der avstanden er kortest, og at parameterverdien der er $t_{1}$ . Vi vet ikke om denne parameterverdien gjør at $Q$ er i det tilsvarende punktet på $n$ der avstanden er kortest. Vi må derfor kunne velge parameteren for linja $n$ uavhengig av parameteren for $m$ , og da må vi ha to ulike parametre. Vi har også sett i dette eksempelet at parameterverdiene som gir den korteste avstanden mellom $P$ og $Q$ , er ulike.

I praktiske eksempler står parameteren $t$ ofte for tida. For eksempel kan det være to fly som følger hver sin bane gitt ved hver sin parameterframstilling. Når vi skal undersøke hvor nær hverandre flyene kommer, holder det ikke å finne ut hvor nær banene er på det nærmeste siden det skal noe til at flyene er i disse punktene samtidig. Dette ser vi nærmere på under "Fart og akselerasjon".

Vinkelen mellom to linjer i rommet

Siden alle retningsvektorer til ei linje er parallelle med linja, kan vi bruke vinkelen mellom retningsvektorene til de to linjene for å finne vinkelen mellom linjene. Vi bruker derfor skalarproduktet mellom retningsvektorene til å finne vinkelen mellom linjene.

Eksempel

Vi skal finne vinkelen mellom to linjer i rommet gitt ved

$m : {\begin{cases} x = - 3 + t \\ y = - 2 t \\ z = 1 + t \end{cases}, n : {\begin{cases} x = 4 - 2 s \\ y = 1 + s \\ z = - 1 + s \end{cases}$

Retningsvektorer for de to linjene er

${\vec{v}}_{m} = [1, - 2, 1]$ for $m$
${\vec{v}}_{n} = [- 2, 1, 1]$ for $n$

Framgangsmåte uten hjelpemidler

Først kaller vi vinkelen mellom de to retningsvektorene for $u$ . Skalarproduktet mellom vektorene gir oss

$\begin{array}{rcl} {\vec{v}}_{m} \cdot {\vec{v}}_{n} & = & | {\vec{v}}_{m} | \cdot | {\vec{v}}_{n} | \cdot \cos u \\ \cos u & = & \frac{{\vec{v}}_{m} \cdot {\vec{v}}_{n}}{| {\vec{v}}_{m} | \cdot | {\vec{v}}_{n} |} \\ = & \frac{[1, - 2, 1] \cdot [- 2, 1, 1]}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} \\ = & \frac{- 2 - 2 + 1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \\ = & \frac{- 3}{6} \\ = & - \frac{1}{2} \\ u & = & \frac{2 π}{3} \lor u = \frac{4 π}{3} \end{array}$

Siden vi definerer vinkelen mellom to vektorer som den minste av de to mulige vinklene, får vi at $u = \frac{2 π}{3}$ .

Tenk over

Har vi funnet vinkelen mellom linjene nå? Hva skjer hvis vi velger en retningsvektor for $m$ som går motsatt vei? Studer figuren.

To vektorer v m og v n som krysser hverandre. Vinkelen u mellom vektorene er større enn pi halve. Illustrasjon. — Vinkelen u mellom to vektorer. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Forklaring

Figuren viser vektorene ${\vec{v}}_{m}$ og ${\vec{v}}_{n}$ i eksempelet. Dersom vi tilfeldigvis hadde valgt en retningsvektor for $n$ som hadde gått i motsatt retning av ${\vec{v}}_{n}$ på figuren, ville vi ha endt opp med vinkelen $π - u$ .

Vi definerer at vinkelen $w$ mellom to linjer er den minste vinkelen vi kan få mellom to retningsvektorer for linjene. Siden $u = \frac{2 π}{3}$ i eksempelet vårt, blir vinkelen $π - u < u$ . Vinkelen $w$ mellom linje $m$ og linje $n$ er derfor

$w = π - u = π - \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}$

Tenk over

Når er det vi finner vinkelen mellom linjene som $π - u$ og ikke som $u$ ?

Forklaring

Dersom vinkelen $u$ mellom retningsvektorene tilfredsstiller $\frac{π}{2} < u \leq π$ , blir vinkelen mellom linjene $π - u$ .

Framgangsmåte med CAS

Med CAS finner vi vinkelen enklest med kommandoen "Vinkel".

Skjermutklipp fra CAS-vinduet i GeoGebra. På linje 1 er m av t definert med koordinatene minus 3 pluss t, minus 2 t og 1 pluss t. På linje 2 er n av s definert med koordinatene 4 minus 2 s, 1 pluss s og minus 1 pluss s. På linje 3 er u definert som Vinkel parentes m derivert av t komma, n derivert av s parentes slutt. Svaret er u kolon er lik 2 tredjedels pi. På linje 4 er w definert som pi minus u. Svaret er w kolon er lik en tredjedels pi. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Tenk over

Må vi skrive inn linjene med ulike parametre her?

Forklaring

Nei. Vi bruker kun retningsvektorene i den videre regningen. Retningsvektorene finner vi ved å derivere vektorfunksjonene, og koordinatene til retningsvektorene er konstanter.

Nedenfor har vi formulert definisjonen på vinkelen mellom to linjer mer matematisk.

Matematisk definisjon

La $u$ være vinkelen mellom retningsvektorene til to linjer, $m$ og $n$ .

Vi definerer vinkelen $w$ mellom linjene $m$ og $n$ slik at

$w = u$ hvis $u \leq \frac{π}{2}$

og

$w = π - u$ hvis $u > \frac{π}{2}$

Video om avstanden mellom to linjer i rommet

Legg merke til at det er gjort en liten regnefeil cirka 17 minutter ut i videoen, men regnefeilen har ingen betydning for svaret.

Avstanden mellom to linjer i rommet. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om vinkelen mellom to linjer i rommet

Vinkelen mellom to linjer i rommet. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0