Article

Skjæring og vinkel mellom to plan

Her utforsker vi skjæring mellom to plan og forklarer hvordan vi finner vinkelen mellom planene.

Skjæring mellom to plan

🤔 Tenk over: Hvordan skjærer to plan hverandre? Eller sagt på en mer matematisk måte: Hvordan ser mengden av punkter som ligger i begge planene, ut?

To plan som skjærer hverandre, danner ei skjæringslinje. Eller vi kan si at når to plan skjærer hverandre, blir mengden av felles punkter ei rett linje. Derfor kan vi se på de to likningene til to plan som skjærer hverandre som et likningssett som definerer ei linje.

Dra og roter den interaktive figuren for å visualisere skjæringen mellom to plan.

Parameterframstilling for skjæringslinja

Vi ønsker å komme fram til en parameterframstilling for skjæringslinja mellom de to planene $α$ og $β$ er gitt ved

$\begin{array}{l} α : 2 x + 3 y + 4 z + 4 = 0 \\ β : 6 x - 7 y - 8 z - 4 = 0 \end{array}$

En likningsframstilling for skjæringslinja $l$ mellom dei to plana er da gitt ved likningssettet

$[\begin{matrix} 2 x + 3 y + 4 z + 4 = 0 \\ 6 x - 7 y - 8 z - 4 = 0 \end{matrix}]$

🤔 Tenk over: Hvilke to ting trenger vi for å finne en parameterframstilling til ei linje?

Forklaring

en retningsvektor for linja
et punkt på linja

Finne retningsvektor for skjæringslinja

En retningsvektor for skjæringslinja mellom to plan må være parallell med begge planene. Retningsvektoren må derfor stå normalt på normalvektorene til begge planene.

🤔 Tenk over: Hvordan kan vi finne en vektor som står normalt på begge normalvektorene?

Forklaring

Vi finner en retningsvektor for linja ved å ta vektorproduktet av normalvektorene til de to planene.

Vi løser oppgaven uten hjelpemidler. Vi har at

$\begin{array}{rcl} {\vec{n}}_{α} & = & [2, 3, 4], {\vec{n}}_{β} = [6, - 7, - 8] \\ {\vec{n}}_{α} \times {\vec{n}}_{β} & = & [2, 3, 4] \times [6, - 7, - 8] \\ = & [3 \cdot (- 8) - (- 7) \cdot 4, 4 \cdot 6 - (- 8) \cdot 2, 2 \cdot (- 7) - 6 \cdot 3] \\ = & [- 24 + 28, 24 + 16, - 14 - 18] \\ = & [4, 40, - 32] \\ = & 4 [1, 10, - 8] \end{array}$

En retningsvektor for skjæringslinja er derfor ${\vec{v}}_{l} = [1, 10, - 8]$ .

Finne et punkt på skjæringslinja

Alle punkter som oppfyller begge planlikningene, ligger på skjæringslinja. Vi starter med å velge en verdi for én av koordinatene, for eksempel $x = 0$ . Når vi setter det inn i de to planlikningene, får vi et likningssett med to ukjente ( $y$ og $z$ ). Når vi løser det, får vi det punktet på linja som har $x$ -koordinat lik 0.

Gjør vi dette, får vi likningssettet

$[\begin{matrix} 3 y + 4 z + 4 = 0 \\ - 7 y - 8 z - 4 = 0 \end{matrix}]$

Løsning av likningssettet

Vi velger å bruke addisjonsmetoden. Vi multipliserer den øverste likningen med 2 og legger likningene sammen. Da får vi

$\begin{matrix} 6 y + 8 z + 8 = 0 \\ - 7 y - 8 z - 4 = 0 \\ ⇓ \\ - y + 4 = 0 \\ y = 4 \end{matrix}$

Vi setter dette inn i den øverste likningen og får

$\begin{array}{rcl} 6 \cdot 4 + 8 z + 8 & = & 0 \\ 24 + 8 z + 8 & = & 0 \\ 8 z & = & - 32 \\ z & = & - 4 \end{array}$

Likningssettet har løsningen $y = 4, z = - 4$ . Det betyr at punktet $(0, 4, - 4)$ ligger på skjæringslinja. En parameterframstilling for skjæringslinja er

$l : \{\begin{cases} x = t \\ y = 4 + 10 t \\ z = - 4 - 8 t \end{cases}$

🤔 Tenk over: Hva skjer hvis likningssettet ikke har noen løsning?

Forklaring

Det betyr i så fall at ingen punkter på skjæringslinja har $x$ -koordinat lik 0. Linja er da parallell med $y z$ -planet. Likningssettet kan også ha uendelig mange løsninger. Det får vi hvis linja ligger i $y z$ -planet. Da kan vi heller velge $y = 0$ , sette det inn i planlikningene og få et likningssett med $x$ og $z$ som ukjente.

Løsning med GeoGebra

Løsningen med GeoGebra følger samme oppskrift som løsningen uten hjelpemidler over der vi finner en retningsvektor for skjæringslinja og et punkt på den.

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linje 1 er alfa definert som 2 x pluss 3 y pluss 4 z pluss 4 er lik 0. På linje 2 er beta definert som 6 x minus 7 y minus 8 z minus 4 er lik 0. På linje 3 er v definert som Vektorprodukt av Normalvektor av alfa og Normalvektor av beta. Svaret er v kolon er lik koordinatene 4, 40 og minus 32. På linje 4 er v 2 definert som en fjerdedels v. Svaret er v 2 kolon er lik koordinatene 1, 10 og minus 8. På linje 5 er kommandoen ByttUt med argumentene alfa og x er lik 0 skrevet inn. Svaret er 3 y pluss 4 z pluss 4 er lik 0. På linje 6 er kommandoen ByttUt med argumentene beta og x er lik 0 skrevet inn. Svaret er minus 7 y minus 8 z minus 4 er lik 0. På linje 7 er det skrevet sløyfeparentes dollartegn 5 komma, dollartegn 6 sløyfeparentes slutt. Svaret med Løs er y er lik 4 og z er lik minus 4. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vinkelen mellom to plan

Vinkelen mellom to plan blir det samme som vinkelen mellom normalvektorene til planene. Vi kan forklare hvorfor på denne måten:

Vi tenker oss at de to planene er parallelle. Da må normalvektorene til de to planene også være parallelle. Så vipper vi på det ene planet en bestemt vinkel i forhold til det andre. Normalvektoren til dette planet må vippe akkurat like mye.

🤔 Tenk over: Hva gjør vi dersom vinkelen mellom normalvektorene er større enn $\frac{π}{2}$ ?

Forklaring

Akkurat som for vinkelen mellom to linjer vil vinkelen mellom to plan være maksimalt $\frac{π}{2}$ . Dersom vinkelen mellom normalvektorene blir større enn $\frac{π}{2}$ , vil vinkelen mellom planene være supplementvinkelen til denne.

Video om skjæring mellom to plan

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Video om vinkelen mellom to plan

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0