Article

Radianer – absolutt vinkelmål

I matematikk 1T og i dagliglivet ellers måler vi vinkelstørrelser i grader. Dette vinkelmålet er basert på at vi deler et helt omløp i 360 like deler. I mange situasjoner er ikke dette en gunstig måte å måle vinkler på.

Radianer – absolutt vinkelmål

Et eksempel på at vinkelmål i grader er ugunstig, er når vi skal derivere trigonometriske funksjoner. Da er det gunstig å måle vinkelen i såkalte radianer.

Buelengde

I en sirkel er det tegnet inn tre radius-linjestykker slik at vinklene mellom dem er like. Delen av sirkelen som går fra det første til det tredje linjestykket, er merket rødt. Illustrasjon. — Definisjon på buelengde. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Et vinkelmål i radianer er basert på begrepet buelengde. Buelengden, som vi bruker symbolet $b$ på, kan i utgangspunktet brukes til å angi vinkelen direkte. Se figuren. Buelengden er den delen av sirkelbuen som er mellom vinkelbeina til vinkelen. Dersom vinkelen dobles, dobles buelengden.

Problemet er at en stor sirkel vil ha en stor buelengde og en liten sirkel vil ha en liten buelengde for den samme vinkelen. Vi skal nå argumentere oss fram til hvordan vi unngår dette problemet.

Hvor stor er buelengden i en sirkel med radius $r$ når vinkelen er 360°?

Svar

Buelengden er da det samme som omkretsen i sirkelen. Vi får

$b = 2 π r$

Hvis vi deler dette uttrykket på $r$ , radius i sirkelen, får vi et uttrykk som er uavhengig av $r$ , og dermed uavhengig av størrelsen på sirkelen. Dette er utgangspunktet for definisjonen av absolutt vinkelmål eller radianer.

Definisjon av absolutt vinkelmål – radianer

I en sirkel er det tegnet inn to radier slik at vinkelen mellom dem er v. Buelengden, som er den delen av sirkelen som er mellom vinkelbeina, kalles b og er merket rødt. Illustrasjon. — Definisjon på vinkel målt i radianer. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vinkelen $v$ i absolutt vinkelmål eller radianer defineres som

$v = \frac{b}{r}$

Absolutt vinkelmål er altså forholdet mellom
buelengden $b$ og radien $r$ i en sirkel når buelengden er den delen av sirkelen som er mellom vinkelbeina.

Vis at et helt omløp, det vil si en vinkel på 360° målt i grader, tilsvarer $2 π$ målt i radianer.

Bevis

Igjen er buelengden det samme som omkretsen i sirkelen.

$v = \frac{b}{r} = \frac{2 π r}{r} = 2 π (\approx 6, 28)$

Husk at $2 π$ er et tall som har tilnærmet verdien 6,28. Ofte er det gunstig å skrive en vinkel målt i radianer som et eksakt uttrykk ved hjelp av $π$ , slik som her.

Hva blir en vinkel på 180° målt i radianer?

Svar

En vinkel på 180° har buelengde på $\frac{2 π r}{2}$ , halvparten av omkretsen. I radianer tilsvarer dette

$v = \frac{2 r}{2 r} = π$

Hva blir en vinkel på 90° målt i radianer?

Svar

En vinkel på 90° har buelengde på $\frac{2 π r}{4}$ . I radianer tilsvarer dette

$v = \frac{2 π r}{4 r} = \frac{π}{2}$

Et absolutt vinkelmål er egentlig et ubenevnt tall. Forklar hvorfor.

Forklaring

Absolutt vinkelmål er definert som buelengde delt på radius. Begge er lengder, og lengdeenhetene kan forkortes mot hverandre.

Selv om absolutt vinkelmål er et ubenevnt tall, er det vanlig å si at vinklene måles i radianer.

Hva er sammenhengen mellom grader og radianer?

Over fant vi hvor mye vinkler på 360°, 180° og 90° tilsvarer i radianer. Forklar hvordan du finner ut hvor mye en vinkel på 1° tilsvarer målt i radianer.

Forklaring

180° tilsvarer halve omkretsen til sirkelen. 1° må tilsvare brøkdelen $\frac{1}{360}$ av omkretsen $2 π r$ . Vinkelen som tilsvarer 1° må derfor være

$v = \frac{b}{r} = \frac{\frac{1}{360} \cdot 2 π r}{r} = \frac{2 π}{360} = \frac{π}{180}$

Sammenhengen mellom grader og radianer er

$1 ° = \frac{π}{180}$

når vinkelen måles i radianer.

Det betyr at omregning fra grader til radianer skjer ved å multiplisere med $\frac{π}{180}$ . Hvordan regner vi om fra radianer til grader?

Svar

Vi regner om fra radianer til grader ved å gjøre det motsatte, det vil si å multiplisere med den omvendte brøken $\frac{180}{π}$ .

Det er lurt å kunne noen vinkler målt i radianer. Fyll ut tabellen nedenfor.

Vinkel målt i grader	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
Vinkel målt i radianer

Resultat

Flere vinkler er tegnet i en sirkel. Det er vinklene 30 grader, som tilsvarer pi sjettedeler, 45 grader, som tilsvarer pi fjerdedeler, 60 grader, som tilsvarer pi tredjedeler, 90 grader, som tilsvarer pi halve, 120 grader, som tilsvarer 2 pi tredjedeler, 135 grader, som tilsvarer 3 pi fjerdedeler, 150 grader, som tilsvarer 5 pi sjettedeler, 180 grader, som tilsvarer pi, 270 grader, som tilsvarer 3 pi halve, og 360 grader, som tilsvarer 2 pi. Illustrasjon. — Noen vinkler målt i grader og radianer. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Film om radianer (absolutte vinkelmål)

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0