Radianer – absolutte vinkelmål

$$ 30°=30·\frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{18}=\frac{\pi }{6}$$

$$ $ 45°=45·\frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{4}$$$

$$ $ 70°=70·\frac{\pi }{180}=\frac{7\pi }{18}$$$

$$ $ 100°=100·\frac{\pi }{180}=\frac{10\pi }{18}=\frac{5\pi }{9}$$$

$$ $ 390°=390·\frac{\pi }{180}=\frac{39\pi }{18}=\frac{13\pi }{6}$$$

$$ $ -60°=-60·\frac{\pi }{180}=-\frac{6\pi }{18}=-\frac{\pi }{3}$$$

$$ \frac{\pi }{3}=\left(\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}}·\frac{180}{\pi }\right)°=60°$$

$$ $ \frac{5\pi }{9}=\left(\frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 9}}·\frac{180}{\pi }\right)°=100°$$$

$$ $ $ \frac{9\pi }{10}=\left(\frac{9\pi }{10}·\frac{180}{\pi }\right)°=\left(9·18\right)°=162°$$$$

Sirkel med vinkler målt i radianer

$$ 0<\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$$

Vinkelen ligger i første kvadrant.

$$ \frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi $$

Vinkelen ligger i andre kvadrant.

$$ \frac{3\pi }{2}<\frac{7\pi }{4}<2\pi $$

Vinkelen ligger i fjerde kvadrant.

$$ \frac{\pi }{2}<2<\pi $$

Vinkelen ligger i andre kvadrant.

$$ \pi <3,5<\frac{3\pi }{2}$$

Vinkelen ligger i tredje kvadrant.

$$ 0<1,2<\frac{\pi }{2}$$

Vinkelen ligger i første kvadrant.

$$ \frac{3\pi }{2}<5<2\pi $$

Vinkelen ligger i fjerde kvadrant.

Her kan vi bruke definisjonen på en vinkel målt i radianer:

$$ v=\frac{b}{r}$$

Vi får at $$ v=\frac{5}{4}=\left(\frac{225}{\pi }\right)°=71,6°$$.

Først regner vi om vinkelen fra grader til radianer i linje 2. Så lager vi likning av formelen for en vinkel som buen delt på radien. Vi får til slutt at

$$ r=\frac{12}{\pi }$$

Du husker kanskje fra matematikk 1T at vi må skrive inn gradsymbolet når vi skal bruke de trigonometriske funksjonene. Det er altså den første utregningen som er riktig. Vi kan også se det ut ifra at vi vet at $$ \sin 30°=0,5$$, og at 35° er litt større en 30° slik at sinus til 35° må være litt større enn sinus til 30°.

Framgangsmåten i andre linje kan ikke være riktig, for en vinkel i første kvadrant kan ikke ha negativ sinusverdi.

Svaret er 45 grader omgjort til radianer.

Prøv for eksempel kommandoene 90°, 1°, ° og (π/4)/°.

Gradsymbolet regner om en vinkel i grader til en vinkel i radianer. Det er det samme som å multiplisere med π og dele på 180. Gradsymbolet i GeoGebra betyr rett og slett konstanten $$ \frac{\pi }{180}$$, og utregningene under "Tips til oppgaven" bekrefter det.

Vi kan gjøre om en vinkel i grader til en vinkel i radianer ved å multiplisere vinkelen med °. Motsatt kan vi gjøre om en vinkel i radianer til en vinkel i grader ved å dele på °.

Prøv kommandoen sin(π/6).

Når 30 multipliseres med gradsymbolet, betyr det, ut ifra resultatet i oppgave d), at vinkelen blir gjort om til radianer. Det vil si at når GeoGebra skal bruke trigonometriske funksjoner, må vinkelen alltid være oppgitt i radianer. Vi får bekreftet det ved å prøve kommandoen under "Tips til oppgaven".

Du regner ut sinus til vinkelen 35 (målt i radianer). Denne vinkelen er sammenfallende med vinkelen

$$ 35-5·2\pi =35-31,4=3,6$$

Dette er en vinkel tredje kvadrant (litt større enn π) og vil derfor ha negativ sinusverdi. Utregningen over viser at vinkelen 35 er en vinkel i sjette omløp.

De vanlige klokkeslettene er byttet ut med vinkelmål i radianer slik vi framstiller dem i enhetssirkelen.

Viserne bør peke på 0 eller det største tallet på klokka – 2π. Det betyr at midnatt (og klokka 12.00) er når begge viserne peker rett til høyre.

Klokka bør gå den veien som gjør at klokkeslettene øker gradvis. Denne klokka bør altså gå i positiv rotasjonsretning i enhetssirkelen, det vil si motsatt av ei vanlig analog klokke ("mot klokka").

Når langviseren peker på 2π, er klokka en hel time. Når kortviseren peker på π/2, er klokka π/2. Dette er tre timer etter midnatt (eller etter klokka 12 midt på dagen). Det betyr at klokkeslettet er 03.00 eller 15.00. Uansett er klokka 3.

Langviseren står rett opp. Det er 15 minutter etter at langviseren sto rett til høyre på hel time. Det betyr at klokka er "kvart over" noe.

Kortviseren står på $$ \frac{7\pi }{6}$$. Det er 7 timer siden midnatt (eller siden klokka 12.00). Klokka er altså kvart over 7.

(Strengt tatt burde kortviseren ha vært litt forbi $$ \frac{7\pi }{6}$$ siden klokka er kvart over.)

Vinkelen målt i radianer er

$$ \frac{7\pi }{6}-\frac{\pi }{2}=\left(\frac{7}{6}-\frac{3}{6}\right)\pi =\frac{4}{6}\pi =\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}\pi $$

Vinkelen målt i grader er

$$ \frac{2}{3}\pi ·\frac{180°}{\pi }=2·60°=120°$$

Når klokka er $$ \frac{5}{6}\pi $$, står kortviseren på $$ \frac{5}{6}\pi $$ og langviseren på $$ 2\pi $$, det vil si 0. Da er vinkelen mellom viserne det samme som klokkeslettet, altså $$ \frac{5}{6}\pi =150°$$.