Sannsynlighetsmodeller
En oversikt over alle utfall og sannsynlighetene til de enkelte utfall i et forsøk kalles en sannsynlighetsmodell. Det er viktig å merke seg at summen av alle sannsynlighetene i en sannsynlighetsmodell alltid må være 1. Tenk gjennom hvorfor, og sjekk gjerne i alle sannsynlighetsmodellene på denne siden at det faktisk er sånn.
I filmen under får du en fin introduksjon til det vi skal gå gjennom på denne siden.
Uniform sannsynlighetsmodell
Tabellen viser en sannsynlighetsmodell for kast med én terning:
Antall øyne | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sannsynlighet |
I denne sannsynlighetsmodellen er sannsynlighetene for alle utfallene like store. Vi sier da at sannsynlighetsmodellen er uniform.
Ikke-uniform sannsynlighetsmodell
Et eksempel på en sannsynlighetsmodell som ikke er uniform, er modellen for blodtypen til en blodgiver.
Som du ser av tabellen nedenfor, er sannsynlighetene for de enkelte utfallene ikke like store.
Blodtype | 0 | A | B | AB |
|---|---|---|---|---|
Sannsynlighet | 0,40 | 0,48 | 0,08 | 0,04 |
(Datamaterialet er hentet fra Pasienthandboka.)
Andre eksempler på tilfeldige forsøk
Å kaste en terning er et tilfeldig forsøk. Vi vet hvilke utfall som er mulige, men hva utfallet blir i et enkelt kast, er tilfeldig.
Kast med tegnestifter
Å kaste en tegnestift er også et tilfeldig forsøk. Det er to mulige utfall av forsøket. Tegnestiften kan lande med spissen opp eller med spissen ned.
U = {spissen opp, spissen ned}
I et forsøk fikk vi følgende resultat etter 60 000 kast:
Antall | Relativ frekvens | |
|---|---|---|
Opp | 46 379 | 0,773 |
Ned | 13 621 | 0,227 |
Sum | 60 000 | 1,000 |
De relative frekvensene varierer, men allerede med så få kast kan det tyde på at med to siffers nøyaktighet er den relative frekvensen for spiss opp 0,77 og for spiss ned 0,23.
Vi kan si at sannsynligheten for å få spiss opp ved kast av tegnestiften er lik 0,77, og for spiss ned er sannsynligheten 0,23. Det er tydelig at sannsynlighetsmodellen er ikke er uniform.
Nedenfor kan du prøve en simulering der du skal komme fram til sannsynligheten for at tegnestiften lander med spissen ned. Her er det en annen type tegnestift, så sannsynligheten er ikke den samme som over.
Kast av en mynt
Hvis du kaster en mynt, har du to mulige utfall: mynt eller krone. Tror du at sannsynlighetsmodellen til forsøket "kast én mynt" er uniform? Kan du gjøre et forsøk, enten alene eller sammen med en medelev, for å teste det ut? Tegn gjerne opp tabellen med sannsynlighetsmodellen også.
Tips
Kast en mynt mange ganger, og noter ned hvor mange du får av hvert utfall. Finn ut omtrent hvor mange forsøk du må gjøre for å få omtrent like stor relativ frekvens på begge utfallene.
Tabellen du får ser slik ut:
Myntkast | Mynt | Krone | |
|---|---|---|---|
Sannsynlighet | 0,5 | 0,5 |
Kast av to mynter
Hvordan tror du sannsynlighetsmodellen vil bli dersom vi kaster to helt like mynter samtidig? Hvilke ulike utfall kan vi få? Hvordan vil sannsynlighetsfordelingen se ut, vil den være uniform? Gjør forsøk igjen, før du ser i tipsboksen under.
Tips
Hvis vi kaster to helt like mynter samtidig, er det umulig for oss å vite hvilken av dem som er hvilken. Da kan man si at vi kan få tre ulike utfall, nemlig to mynter, to kroner eller en av hver. Da er det lett å tenke at sannsynligheten for de tre utfallene er like, men det er de ikke! Test ut, og se om det er ett av utfallene som opptrer oftere enn de andre.
Hvis du har testet mange nok ganger, vil sannsynlighetsfordelingen din ligne på denne:
Utfall | To mynter | To kroner | En av hver | ||
|---|---|---|---|---|---|
Sannsynlighet | 0,25 | 0,25 | 0,5 |
For å forstå hvorfor sannsynlighetsmodellen for kast av to mynter blir som den blir, må vi se for oss hvordan forsøket ville ha vært om de to myntene var forskjellige, for eksempel en tikrone og en femkrone. Hvilke utfall har vi nå? Er denne sannsynlighetsfordelingen uniform? Kan du bruke dette til å forstå hvorfor den forrige sannsynlighetsfordelingen ble slik den ble?
Tips
Her får vi fire ulike utfall, vi kan ha krone på tieren (10K) og krone på femmeren (5K), mynt på tieren (10M) og mynt på femmeren (5M), krone på tieren og mynt på femmeren og mynt på tieren og krone på femmeren. Alle disse fire utfallene er like sannsynlige, så her får vi en uniform fordeling. Vi kan lage tabellen slik:
Utfall | 10K5K | 10K5M | 10M5K | 10M5M | |
|---|---|---|---|---|---|
Sannsynlighet | 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
Hvis vi sammenligner med den forrige tabellen, ser vi at de to utfallene i midten til sammen utgjør utfallet "en av hver".
Andre sannsynlighetsmodeller
Det finnes mange velkjente modeller for sannsynlighet. Kanskje har du hørt om normalfordelingen eller gausskurven? Denne fordelingen får du lære mer om i S2. I S1 skal vi jobbe mye med to fordelinger som vi kaller binomisk og hypergeometrisk fordeling, men før vi kan si noe om dem, må vi lære mer om grunnleggende sannsynlighet og en god del om det som heter kombinatorikk.