Likningssett av første og andre grad

Da vi løste likningssett med to likninger av første grad, brukte vi innsettingsmetoden. Denne metoden kan vi også bruke her. Det lureste er da ofte å finne et uttrykk for den ene ukjente ved hjelp av førstegradslikningen, og så sette dette uttrykket inn i andregradslikningen.

Vi har gitt likningssettet

$\left[\begin{array}{c}2x^2-2x-y^2=8\\ 2x-y=-2\end{array}\right]$

Vi bruker førstegradslikningen til å finne et uttrykk for $y$

$\begin{array}{rcl}2x-y& = & -2\\ & & \\ -y& =& -2-2x\\ & & \\ y& =& 2x+2\end{array}$

Vi setter så uttrykket for $y$ inn i andregradslikningen

$\begin{array}{rcl}2x^2-2x-y^2& = & 8\\ & & \\ 2x^2-2x-{\left(2x+2\right)}^2& =& 8\\ & & \\ 2x^2-2x-\left(4x^2+8x+4\right)& =& 8\\ & & \\ 2x^2-2x-4x^2-8x-4& =& 8\\ & & \\ -2x^2-10x-12& =& 0 \overline{):-2}\\ & & \\ x^2+5x+6& =& 0\end{array}$

Vi bruker abc-formelen til å løse denne likningen

$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·1·6}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm 1}{2}\\ & & \\ x& =& -2 \mathrm{eller} x=-3\end{array}$

Vi setter så disse løsningene inn i uttrykket for y

$\begin{array}{rcl}y& = & 2x+2\\ & & \\ y_1& =& 2·(-2)+2)=-2\\ & & \\ y_2& =& 2·(-3)+2)=-4\end{array}$

$$\begin{gathered} \vee eller \\ \wedge og \end{gathered}$$

Likningssettet har to sett med løsninger

$x=-2 \wedge y=-2 \vee x=-3 \wedge y=-4$

($$ \vee $$ eller, $$ \wedge $$ og)

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen

Vi kan løse likningen fra forrige eksempel i GeoGebra.

Du markerer rute 1 og 2 for deretter å bruke $\boxed{\mathrm{x}=}$

I funksjonskapitlet skal du se hvordan vi kan løse likningssett grafisk.