Hopp til innhold
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Andregradslikninger med abc-formelen

Alle oppgavene nedenfor unntatt de to siste skal løses uten bruk av hjelpemidler. Men alle oppgavene kan løses med CAS.

1.7.10

Løs likningene ved å bruke abc-formelen.

a) x2+7x=-6

vis fasit

x2+7x+6 = 0x=-7±72-4·1·62·1x=-7±49-242x=-7±252x1=-7+52=-1            x2=-7-52=-6

Tegnet "" betyr "eller".

b) x2+5x=-6

vis fasit

x2+5x+6 = 0x=-5±52-4·1·62·1x=-5±25-242x=-5+12x1=-5+12=-2            x2=-5-12=-3

c) x2=2x+24

vis fasit

x2-2x-24 = 0x=--2±-22-4·1·-242·1x=2±4+962x=2±1002x1=2+102=6                       x2=2-102=-4

Det er alltid lurt å sjekke om du kan forkorte før du setter inn i abc-formelen.

1.7.11

Løs likningene ved å bruke abc-formelen

a) 270x2+230x=540-40x

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 270 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

270x2+270x-540 = 0    :270x2+x-2=0x=-1±12-4·1·-22·1x1=-1-32=-2       x2=-1+32=1

b) 360x2-360x=-90

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 90 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

360x2-360x+90 = 0    :904x2-4x+1=0x=4±-42-4·4·12·4x1=4+08              x2=4-08x1=x2=12

1.7.12

Løs likningene ved å bruke abc-formelen

a) 3x2-3x-6=0

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

x2-x-2 = 0x=--1±-12-4·1·-22·1x=1±1+82x=1±92x1=1+32=2        x2=1-32=-1

b) -2x2+2x+4=0

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med -2 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

x2-x-2 = 0x=--1±-12-4·1·-22·1x=1±1+82x=1±92x1=1+32=2         x2=1-32=-1

c) -5x=x2+6

vis fasit

-x2-5x-6 = 0x=--5±-52-4·-1·-62·-1x=5±25-24-2x=5±1-2x1=5+1-2=-3          x2=5-1-2=-2

1.7.13

Løs likningene ved å bruke abc-formelen

a) -x2-6x-8=0

vis fasit

-x2-6x-8 = 0x=--6±-62-4·-1·-82·-1x=6±36-32-2x=6±4-2x1=6+2-2=-4          x2=6-2-2=-2

b) 3x2+12=-12x

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi setter inn i abc-formelen. I tillegg må vi ordne likningen.

Vi får da

3x2+12x+12=0   |:3x2+4x+4 = 0x=-4±42-4·1·42·1x=-4±16-162x=-4±02x1=x2=-42=-2

c) 3x2+2=2x

vis fasit

Vi må ordne likningen først.

3x2-2x+2=0x = --2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

1.7.14

Løs likningene ved å bruke abc-formelen.

a) 0,3x2+0,2=0,2x

vis fasit

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 10 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

0,3x2-0,2x+0,2 = 0   ·10           3x2-3x+2=0x=2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

b) 0,003x2+0,002=0,002x

vis fasit

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 1000 før vi setter inn i abc-formelen. Husk å ordne likningen også.

Vi får da

0,003x2-0,002x+0,002 = 0   ·10003x2-2x+2=0x=2±-22-4·3·22·3x=2±4-246x=2±-206

Her får vi ingen løsning på grunn av det negative tallet under rottegnet.

1.7.15

Løs likningene

a) x2-4x+2=0

vis fasit

x =--4±-42-4·1·22·1x=4±82x1=4+222          x2=4-222x1=22+22          x2=22-22x1=2+2          x2=2-2

b) 10x2=10x+4

vis fasit

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 før vi setter inn i abc-formelen. Husk også å ordne likningen.

Vi får da

5x2-5x-2 = 0x=--5±-52-4·5·-22·5x=5±6510x1=5+6510          x2=5-6510

c) xx-2+2=4-4x

vis fasit

x2-2x+2-4+4x = 0               x2+2x-2=0x=-2±22-4·1·-22·1x=-2±122x=-2±232x1=2-1+32          x2=2-1-32x1=3-1          x2=-1-3

d) 4-x2-x=3x-1+2x2

vis fasit

                        4-2x+x2 = 3x-3+2x2x2-2x2-2x-3x+4+3=0                     -x2-5x+7=0x=--5±-52-4·-1·72·-1x=5±25+28-2x=5±53-2x1=-5+532          x2=-5-532 

e) 4x2-2x3-x+11x=3x+1-2x2

vis fasit

                        4x2-6x+2x2+11x = 3x+3-2x24x2-2x2+2x2-6x+11x-3x-3=0                                       8x2+2x-3=0                       x=-2±22-4·8·-32·8                       x=-2±1002·8                       x=-2±102·8                      x1=-1216=-34          x2=816=12

1.7.16

Grunnflaten til et hus er et rektangel med bredde x meter og lengde (x+4) meter. Arealet er 96 m². Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor langt og hvor bredt huset er.

vis fasit

Vi setter opp en likning

x·x+4 = 96x2+4x-96=0x=-4±42-4·1·-962·1x=-4±4002x=-4±202x1=8          x2=-12

Her bruker vi bare den positive løsningen.

8+4=12

Huset er 12 m langt og 8 m bredt.

1.7.17

Grunnflaten til et hus er et rektangel med bredde (x-5) meter og lengde x meter. Arealet er 126 m². Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor langt og hvor bredt huset er.

vis fasit

Vi setter opp en likning

       x·x-5 = 126x2-5x-126=0x=5±52-4·1·-1262·1x=5±5292x=5±232x1=14          x2=-9

Her bruker vi bare den positive løsningen.

14-5=9

Huset er 14 m langt og 9 m bredt.

1.7.18

Grunnflaten til en garasje er et rektangel med bredde x meter og lengde (x+2) meter. Diagonalen i grunnflaten er 10 meter. Sett opp en andregradslikning og regn ut hvor lang og hvor bred garasjen er.

vis fasit

Her må vi bruke pytagorassetningen for å sette opp likningen.

x2+x+22 = 102x2+x2+4x+4-100=02x2+4x-96=0

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

x2-2x-48 = 0x=-2±22-4·1·-482·1x=-2±1962x=-2±142x1=6          x2=-8

Her bruker vi bare den positive løsningen.

6+2=8

Garasjen er 8 m lang og 6 m bred.

1.7.19

En tomt er et rektangel med bredde x meter og lengde (x+10) meter. Diagonalen er 50 meter. Finn arealet av tomta.

vis fasit

Vi må først finne lengden av sidene.

Vi bruker pytagorassetningen og setter opp en likning.

                       x2+x+102 = 502x2+x2+20x+100-2500=0                2x2+20x-2400=0

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

x2+10x-1200 = 0x=-10±102-4·1·-12002·1x=-10±49002x=-10±702x1=30          x2=-40

Her bruker vi bare den positive løsningen.

30+10=40

Sidelengdene blir 30 m o g 40 m.

Arealet blir da 30 m·40 m=1200 m2.

1.7.20

a) Gitt andregradslikningen ax2-4x+4=0.

Bruk abc-formelen og finn ut hvilke verdier av a som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning.

vis fasit

x = --4±-42-4·a·42·ax=4±16-16a2a

Vi ser på uttrykket under rottegnet, 16-16a.

Dersom a>1 vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dersom a=1 vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning, x=42·1=2.

Dersom a<1 vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

b) Gitt andregradslikningen x2-bx+4=0

Bruk abc-formelen og finn ut hvilke verdier av b som gir to løsninger, én løsning og ingen løsning.

vis fasit

x= --b±-b2-4·1·42·1x=b±b2-162

Vi ser på uttrykket under rottegnet, b2-16.

Dersom b2<16 vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dette vil skje når b ligger mellom -4 og 4.

Dersom b2=16, dvs når b=4 eller b=-4 vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning.

b=-4:  x=-(-4)2·1=2

b=4:  x=-42·1=-2.

Dersom b2>16 dvs når b>4 eller b<-4, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

1.7.21

Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsuttrykket h=14,5t-4,9t2+1,8.

a) Når er ballen 10 m over bakken?

vis fasit

Vi setter inn 10 m for høyden h og får

10=14,5t-4,9t2+1,8

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Numerisk løsning med CAS av likningen 10 er lik 14 komma 5 t - 4 komma 9 t i andre + 1 komma 8. CAS-utklipp.

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter 2,2 s (på vei ned).

b) Når treffer ballen bakken?

vis fasit

Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m.

Vi setter inn 0 m for høyden h og får

0=14,5t-4,9t2+1,8

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Numerisk løsning med CAS av likningen 0 er lik 14 komma 5 t - 4 komma 9 t i andre + 1 komma 8. CAS-utklipp.

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

c) Når er ballen 15 m over bakken? Hva betyr svaret du får?

vis fasit

Vi setter inn 15 m for høyden h og får

15=14,5t-4,9t2+1,8

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Numerisk løsning med CAS av likningen 15 er lik 14 komma 5 t - 4 komma 9 t i andre + 1 komma 8. CAS-utklipp.

Ingen løsning. Det må bety at ballen når aldri en høyde på 15 m over bakken.

1.7.22

Overflaten til en brusboks med topp og bunn er gitt ved

O=2πr2+2πrh.

Hva er radius til en brusboks med overflate 250 cm2 og høyde 5 cm?

vis fasit

Vi setter inn formelen og får

250=2πr2+2πr·5250=2πr2+10πr

Vi løser likningen med CAS i GeoGebra.

Numerisk løsning med CAS av likningen 250 er lik 2 pi r i andre + 10 pi r. CAS-utklipp.

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Brusboksen har en radius på 4,3 cm.

Sist oppdatert 20.06.2018
Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Læringsressurser

Andregradslikninger

Fagstoff

Oppgaver og aktiviteter

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Andregradslikninger

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Andregradslikninger med abc-formelenDu er her

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Program som løser andregradslikninger

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Likningssett av første og andre grad

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Hva kan du om andregradslikninger?