Hopp til innhold
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Å løse andregradslikninger med abc-formelen

Vi kan lage et fullstendig kvadrat av et generelt andregradsuttrykk. På den måten kan vi komme fram til en formel som vi alltid kan bruke til å løse andregradslikninger. Denne formelen kalles abc-formelen.

Vi ser på den generelle andregradslikningen  ax2+bx+c=0. Her får vi et lite problem ved at de samme bokstavene a og b er brukt både til å illustrere kvadratsetningen og andregradsuttrykket. Vi løser dette ved å bruke bokstavene x og k i kvadratsetningen slik at denne blir  x+k2=x2+2xk+k2.

a+b2 = a2+2ab+b2x+k2=x2+2xk+k2

Utfordring

Det er godt mulig at du kan komme fram til abc-formelen på egenhånd. Prøv deg uten å se på løsningen.

Tips: Bruk samme framgangsmåte som ved eksempel 2 i kapitlet Andregradslikninger fullstendige kvadrater.

Utledning av abc-formelen

       ax2+bx+c = 0                  Vi dividerer med a i alle ledd.     x2+bax+ca=0                   x2+bax+k2=-ca+k2               Vi  ha 2xk=baxk=b2a.x2+bax+b2a2=-ca+b2a2x+b2a2=b24a2-4a·c4a·ax+b2a2=b2-4ac4a2

x+b2a = +b2-4ac4a2      eller    x+b2a=-b2-4ac4a2x=-b2a+b2-4ac2a     eller    x=-b2a-b2-4ac2ax=-b+b2-4ac2a        eller     x=-b-b2-4ac2a

abc-formelen

Andregradslikningen  ax2+bx+c=0  har løsningene

x=-b±b2-4ac2a                          a0                                           b2-4ac0

Vi bruker tegnet ± for å spare skriving.

Når vi løser en andregradslikning med abc-formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen  ax2+bx+c=0.

Du husker kanskje at vi definerte kvadratroten bare til positive tall og null? Det vil si at andregradslikningen ikke har løsninger blant de reelle tallene når det som står under rottegnet, er mindre enn null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker da gir løsninger med bokstaven i? Det vil si at løsningen er imaginær.

Andregradslikningen har bare én løsning når det som står under rottegnet, er lik null.

Vi skal nå se på noen eksempler på bruk av abc-formelen.

Eksempel 1

         x2 = 5-4xx2+4x-5=0     Vi ordner likningen og finner at a=1, b=4, c=-5.          x=-4±42-4·1·-52·1   Vi setter inn i formelen.          x=-4±16+202          x=-4±362          x=-4+62   eller   x=-4-62          x=1           eller   x=-5

Likningen har to løsninger. Det er altså to verdier for x som passer i den opprinnelige likningen.

Eksempel 2

x2+4x+4 = 0          x=-4±42-4·1·42·1          x=-4±16-162=-4±02=-2          x=-2

Uttrykket under rottegnet er null, og vi får bare én løsning.

Eksempel 3

x2-2x+4 = 0           x=--2±-22-4·1·42           x=4±4-162=4±-122           Ingen løsning

Vi får 12 under rottegnet, og -12 er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, det vil si at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null.

Ved CAS i GeoGebra får vi følgende løsning ved å bruke knappen x=.

Løsning av tre andregradslikninger med CAS i GeoGebra. Bilde.

Legg merke til markering for «ingen løsning».

Sist oppdatert 07.05.2020
Skrevet av Olav Kristensen

Læringsressurser

Andregradslikninger

Fagstoff

Oppgaver og aktiviteter