Hva er en andregradslikning, og hvordan kan vi løse en andregradslikning uten bruk av abc-formelen?
En likning som kan skrives på formen , kalles en andregradslikning.
Et eksempel på en andregradslikning er .
kalles andregradsleddet og .
kalles førstegradsleddet og .
kalles konstantleddet og .
Noen ganger må andregradslikningen ordnes for å se hva tallene og er.
Andregradslikningen
kan ordnes til likningen
og her ser vi at .
En andregradslikning inneholder alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil si at og/eller kan være lik .
Når konstantleddet mangler
Når konstantleddet mangler, kan vi samle de to gjenstående leddene på venstre side av likhetstegnet og faktorisere. Faktoren forekommer nemlig i begge ledd. Vi benytter oss av at når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.
Eksempel
Når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.
Når førstegradsleddet mangler
Vi ordner likningen slik at isoleres på venstre side av likhetstegnet. Så trekker vi ut kvadratroten.
Eksempel
Hvis høyresiden blir null etter at likningen er ordnet, så fås bare én løsning, nemlig . Hvis høyresiden blir negativ etter at likningen er ordnet, så har likningen ikke noen løsninger.
Fullstendige kvadrater
Noen andregradslikninger kan ordnes slik at venstresiden i likningen blir såkalte fullstendige kvadrater.
Husk at et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.
La oss først se på likningen . Denne likningen må kunne løses etter tilsvarende prinsipp som likninger uten førstegradsleddet:
I likningen er venstresiden et fullstendig kvadrat. Etter andre kvadratsetning er venstresiden lik , og likningen har da løsning som vist ovenfor.
Dette betyr at hvis vi omformer en andregradslikning slik at det til venstre for likhetstegnet står et fullstendig kvadrat, så kan vi løse likningen.
Første og andre kvadratsetning
Husker du hvordan vi laget fullstendige kvadrater da vi faktoriserte andregradsuttrykk? Vi bruker samme metode nå, med en liten forskjell. Vi trenger ikke subtrahere uttrykket vi adderer. Siden vi har likninger, kan vi addere det samme uttrykket på begge sider av likhetstegnet.
Eksempel 1
Vi vil løse likningen
Venstre side er ikke et fullstendig kvadrat. Vi ordner likningen slik at første- og andregradsleddet danner venstre side
Vi ønsker venstresiden på formen slik at vi senere kan erstatte den med .
Vi legger til på begge sider av likhetstegnet
Nå ser vi at venstresiden blir på formen hvis og
Vi kan da erstatte venstresiden med og kan løse likningen.
Eksempel 2
Stirremetoden
Vi kan også løse likningen ved stirremetoden som beskrevet under faktorisering. Da må vi finne to tall hvis produkt er lik og sum lik 2. Tallene 5 og