Hopp til innhold
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Å løse andregradslikninger uten bruk av abc-formelen

Hva er en andregradslikning, og hvordan kan vi løse en andregradslikning uten bruk av abc-formelen?

En likning som kan skrives på formen ax2+bx+c=0  der  a0, kalles en andregradslikning.

Et eksempel på en andregradslikning er x2+4x-5=0.

x2 kalles andregradsleddet og a=1.
4x kalles førstegradsleddet og b=4.
-5 kalles konstantleddet og c=-5.

Noen ganger må andregradslikningen ordnes for å se hva tallene a, b og c er.

Andregradslikningen

3-x=-7x22

kan ordnes til likningen

       6-2x = -7x27x2 -2x+6=0

og her ser vi at a=7, b=-2 og c=6.

En andregradslikning inneholder alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil si at b og/eller c kan være lik 0.

Når konstantleddet mangler

Når konstantleddet mangler, kan vi samle de to gjenstående leddene på venstre side av likhetstegnet og faktorisere. Faktoren x forekommer nemlig i begge ledd. Vi benytter oss av at når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.

Eksempel

x2-2x = 0xx-2=0x=0  x-2=0(=eller)x=0  x=2

Når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.

Når førstegradsleddet mangler

Vi ordner likningen slik at x2 isoleres på venstre side av likhetstegnet. Så trekker vi ut kvadratroten.

Eksempel

-2x2+18 = 0     -2x2=-18         x2=9          x=9  x=-9         x=3     x=-3

Hvis høyresiden blir null etter at likningen er ordnet, så fås bare én løsning, nemlig x=0. Hvis høyresiden blir negativ etter at likningen er ordnet, så har likningen ikke noen løsninger.

Fullstendige kvadrater

Noen andregradslikninger kan ordnes slik at venstresiden i likningen blir såkalte fullstendige kvadrater.

Husk at et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

La oss først se på likningen x-32=4. Denne likningen må kunne løses etter tilsvarende prinsipp som likninger uten førstegradsleddet:

x-32 = 4   x-3=2  x-3=-2    x=5  x=1

I likningen x2-6x+9=4 er venstresiden et fullstendig kvadrat. Etter andre kvadratsetning er venstresiden lik x-32, og likningen har da løsning som vist ovenfor.

Dette betyr at hvis vi omformer en andregradslikning slik at det til venstre for likhetstegnet står et fullstendig kvadrat, så kan vi løse likningen.

Første og andre kvadratsetning

a+b2=a2+2ab+b2

a-b2=a2-2ab+b2

Husker du hvordan vi laget fullstendige kvadrater da vi faktoriserte andregradsuttrykk? Vi bruker samme metode nå, med en liten forskjell. Vi trenger ikke subtrahere uttrykket vi adderer. Siden vi har likninger, kan vi addere det samme uttrykket på begge sider av likhetstegnet.

Eksempel 1

Vi vil løse likningen

x2+2x-15 = 0
Venstre side er ikke et fullstendig kvadrat. Vi ordner likningen slik at første- og andregradsleddet danner venstre side

x2+2x=15
Vi ønsker venstresiden på formen a2+2ab+b2 slik at vi senere kan erstatte den med a+b2.

Vi legger til b2 på begge sider av likhetstegnet

x2+2x+b2=15+b2 

Nå ser vi at venstresiden blir på formen a2+2ab+b2 hvis a=x og 2ab=2x2xb=2xb=1

Vi kan da erstatte venstresiden med a+b2=x+12 og kan løse likningen.

x2+2x+12=15+1   x+12=42       x+1=4     x+1=-4           x=3      x=-5

Eksempel 2

 -42-8x = -2x2   2x2-8x=42          Dividerer alle ledd med 2     x2-4x=21         a=xx2 -4x+b2=21+b2       ha 2ab=4x2xb=4xb=2x2-4x+22=21+4   x-22=25       x-2=5         x-2=-5           x=7             x=-3


Stirremetoden

Vi kan også løse likningen x2+2x-15=0 ved stirremetoden som beskrevet under faktorisering. Da må vi finne to tall hvis produkt er lik -15 og sum lik 2. Tallene 5 og -3 oppfyller disse kravene. Da kan venstresiden faktoriseres og likningen løses

x2+2x-15 = 0x+5x-3 = 0x+5 = 0    x-3 = 0x = -5    x = 3


Sist oppdatert 22.08.2018
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Andregradslikninger

Fagstoff

  • SubjectMaterialFagstoff

    Å løse andregradslikninger uten bruk av abc-formelenDu er her

  • SubjectMaterialFagstoff

    Å løse andregradslikninger med abc-formelen

  • SubjectMaterialFagstoff

    Likningssett av første og andre grad

Oppgaver og aktiviteter