Å løse andregradslikninger uten bruk av abc-formelen

En likning som kan skrives på formen  $$a{x}^2+bx+c=0 \mathrm{der} a\ne 0$$, kalles en andregradslikning.

Et eksempel på en andregradslikning er $$x^2+4x-5=0$$.

$$x^2$$ kalles andregradsleddet og $$a=1$$.
$$4x$$ kalles førstegradsleddet og $$b=4$$.
$$-5$$ kalles konstantleddet og $$c=-5$$.

Noen ganger må andregradslikningen ordnes for å se hva tallene $$a, b$$ og $$c$$ er.

Andregradslikningen

$$3-x=\frac{-7x^2}{2}$$

kan ordnes til likningen

$$\begin{array}{rcl} 6-2x& = & -7x^2\\ 7x^2 -2x+6& =& 0\end{array}$$

og her ser vi at $$a=7, b=-2 \mathrm{og} c=6$$.

En andregradslikning inneholder alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil si at $$b$$ og/eller $$c$$ kan være lik $$0$$.

Når konstantleddet $$$ c$$$ mangler, kan vi samle de to gjenstående leddene på venstre side av likhetstegnet og faktorisere. Faktoren $$x$$ forekommer nemlig i begge ledd. Vi benytter oss av at når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.

Eksempel

$$$ $ \begin{array}{rclll}{x}^2-2x& = & 0& & \\ & & & & \\ x\left(x-2\right)& =& 0& & \\ & & & & \\ x& =& 0 \vee x-2=0& & (\vee = \mathrm{eller})\\ & & & & \\ x& =& 0 \vee x=2& & \\ & & & & \end{array}$$$$

Når et produkt er lik null, må minst en av faktorene være lik null.

Vi ordner likningen slik at $$x^2$$ isoleres på venstre side av likhetstegnet. Så trekker vi ut kvadratroten.

Eksempel

$$\begin{array}{rcl}-2x^2+18& = & 0\\ & & \\ -2x^2& =& -18\\ & & \\ x^2& =& 9\\ & & \\ x& =& \sqrt{9} \vee x=-\sqrt{9}\\ & & \\ x& =& 3 \vee x=-3\end{array}$$

Hvis høyresiden blir null etter at likningen er ordnet, så fås bare én løsning, nemlig $$x=0$$. Hvis høyresiden blir negativ etter at likningen er ordnet, så har likningen ikke noen løsninger.

Noen andregradslikninger kan ordnes slik at venstresiden i likningen blir såkalte fullstendige kvadrater.

La oss først se på likningen $${\left(x-3\right)}^2=4$$. Denne likningen må kunne løses etter tilsvarende prinsipp som likninger uten førstegradsleddet:

$$\begin{array}{rcl}{\left(x-3\right)}^2& = & 4\\ & & \\ x-3& =& 2 \vee x-3=-2\\ & & \\ x& =& 5 \vee x=1\end{array}$$

I likningen $$x^2-6x+9=4$$ er venstresiden et fullstendig kvadrat. Etter andre kvadratsetning er venstresiden lik $${\left(x-3\right)}^2$$, og likningen har da løsning som vist ovenfor.

Dette betyr at hvis vi omformer en andregradslikning slik at det til venstre for likhetstegnet står et fullstendig kvadrat, så kan vi løse likningen.

Husker du hvordan vi laget fullstendige kvadrater da vi faktoriserte andregradsuttrykk? Vi bruker samme metode nå, med en liten forskjell. Vi trenger ikke subtrahere uttrykket vi adderer. Siden vi har likninger, kan vi addere det samme uttrykket på begge sider av likhetstegnet.

Eksempel 1

Vi vil løse likningen

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x-15& = & 0\end{array}$$
Venstre side er ikke et fullstendig kvadrat. Vi ordner likningen slik at første- og andregradsleddet danner venstre side

$$x^2+2x=15$$
Vi ønsker venstresiden på formen $$a^2+2ab+b^2$$ slik at vi senere kan erstatte den med $${\left(a+b\right)}^2$$.

Vi legger til $$b^2$$ på begge sider av likhetstegnet

$$\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & 2\end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & +\end{array}\begin{array}{rcl}& & b\end{array}\begin{array}{rcl}& & {}^2\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & 15+b^2 \end{array}$$

Nå ser vi at venstresiden blir på formen $$a^2+2ab+b^2$$ hvis $$a=x$$ og$$2ab=2x\Rightarrow 2xb=2x\Rightarrow b=1$$

Vi kan da erstatte venstresiden med $${\left(a+b\right)}^2={\left(x+1\right)}^2$$ og kan løse likningen.

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x+1^2& =& 15+1\\ & & \\ {\left(x+1\right)}^2& =& 4^2\\ & & \\ x+1& =& 4 \vee x+1=-4\\ & & \\ x& =& 3 \vee x=-5\end{array}$$$$\begin{array}{}\end{array}$$

Eksempel 2

$$\begin{array}{rcl} -42-8x& = & -2x^2\\ & & \\ 2x^2-8x& =& 42 \mathrm{Dividerer} \mathrm{alle} \mathrm{ledd} \mathrm{med} 2\\ & & \\ x^2-4x& =& 21 a=x\\ & & \\ x^2 -4x+b^2& =& 21+b^2 \mathrm{Må} \mathrm{ha} 2ab=4x\Rightarrow 2xb=4x\Rightarrow b=2\\ & & \\ x^2-4x+2^2& =& 21+4\\ & & \\ {\left(x-2\right)}^2& =& 25\\ & & \\ x-2& =& 5 \vee x-2=-5\\ & & \\ x& =& 7 \vee x=-3\end{array}$$

Vi kan også løse likningen $$x^2+2x-15=0$$ ved stirremetoden som beskrevet under faktorisering. Da må vi finne to tall hvis produkt er lik $$$ -15$$$ og sum lik 2. Tallene 5 og $$$ -3$$$ oppfyller disse kravene. Da kan venstresiden faktoriseres og likningen løses

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+2x-15 & =& 0\\ \left(x+5\right)\left(x-3\right) & =& 0\\ x+5 & =& 0 \vee x-3 = 0\\ x & =& -5 \vee x = 3\end{array}$$