Hopp til innhold
Fagartikkel

Pytagoras’ setning

Vi bruker Pytagoras' setning blant annet til å finne ukjente sider i rettvinklede trekanter.

Hva er Pytagoras' setning?

Tegn en trekant som er rettvinklet og der de korteste sidene er tre og fire enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste sida. Blir denne fem enheter lang?

Ta nå alle de tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengden c er c2=52=25.

Kvadratet av sidelengden a er a2=32=9.

Kvadratet av sidelengden b er b2=42=16.

Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste sida. Hva ser du?

Vi ser at 25=9+16. Det er det samme som c2=a2+b2.

Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90°.

For å kunne formulere denne sammenhengen med ord gir vi navn på sidene i rettvinklede trekanter.

Den lengste sida i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to korteste sidene kaller vi kateter.

Pytagoras' setning:

hypotenus2=katet12+katet22

c2=a2+b2

Legg merke til navnsettingen. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter eller hjørner i trekanten. Små bokstaver brukes som navn og måltall for sidelengdene. Det er vanlig at vi har den samme bokstaven på motstående hjørner og sider.

Geometrisk bevis for Pytagoras' setning

Lag et kvadrat med sidelengder a+b. Se figuren til høyre. Du kan for eksempel klippe det ut av et stivt papir, eller du kan tegne det i GeoGebra.

Del sidelengdene i to deler a og b, trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren, og få på denne måten fire like rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kaller du c.

Det grå arealet er et kvadrat (hvorfor?) med sidelengde c og areal c2.

Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du en ny tegning. Bruk rutenett.)

Arealet av de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik a+b .

Samlet areal til de fire rettvinklede trekantene er like store i begge figurene.

Det må bety at de grå arealene i de to figurene er like store, altså at c2=a2+b2 . Dette er nettopp Pytagoras' setning for våre rettvinklede trekanter.


Å finne ukjente sider i en rettvinklet trekant

Eksempel 1. Hypotenusen er ukjent

Vi ønsker å finne ut hvor lang sida c på figuren er. Dette er hypotenusen i trekanten, og Pytagoras' setning gir:

c2 = 2,02+5,02c2=4,0+25,0c2=29,0c=29,0c=5,385,4

Sida c er 5,4 centimeter.


Eksempel 2. Kateten er ukjent


Vi ser nå på den neste trekanten. Denne gangen velger vi å bruke CAS for å finne den ukjente sida ved hjelp av Pytagoras' setning:

Sida AB er 5,9 meter.




Eksempel 3. Et praktisk eksempel

En stige skal plasseres 2,4 meter fra en husvegg slik at den akkurat når opp til vinduskarmen i et vindu i andre etasje. Vinduskarmen er 4,6 meter over bakken.

Hvor lang må stigen være?

Løsning

La stigen være x meter lang.

Pytagoras' setning gir

Stigen må være 5,2 meter lang.

Lage rette vinkler ved hjelp av Pytagoras' setning

Her kan du se en video som viser hvordan man kan bruke Pytagoras' setning i praksis når man skal lage rette vinkler.

Se videoen, og etterpå kan du kanskje bruke noe av det du lærte til å sjekke om hjørnene i klasserommet ditt eller i stua hjemme er rette? Alt du trenger, er en tommestokk eller et målebånd!

Video: Kjell Brørs / CC BY-SA 4.0