Hopp til innhold
Oppgave

Volum og overflate

De fire første oppgavene skal du løse uten hjelpemidler.

2.3.40

Ei eske har form som vist på figuren. Eska har ikke lokk.

a) Regn ut arealet av grunnflata.

Løsning

Arealet av grunnflata er 1 320 cm2=13,2 dm2.

b) Regn ut volumet av eska. Gi svaret i liter.

Løsning

Volumet av eska er

26 400 cm3=26,4 dm3=26,4 L

c) Regn ut arealet av overflata på utsida på eska.

Løsning

Overflata av eska er lik arealet av bunnen pluss arealet av to langsider pluss arealet av to endesider, altså totalt fem sider.

Overflata er 4 600 cm2=46,0 dm2.

2.3.41

En kartong med appelsinjus har disse målene: høyde 24,0 cm, bredde 6,6 cm og dybde 6,4 cm.


Hvor mye rommer juskartongen? Gi svaret i liter.

Løsning

Kartongen rommer

1 013,8 cm3=1,0 dm3=1,0 L

2.3.42

Det er planlagt å grave ut en 2 km lang kanal. Kanalen skal være 2,5 m dyp, 5 m bred øverst og 2,5 m bred i bunnen. Sidene skråner jevnt.

Hvor mange kubikkmeter masse må graves ut?

Løsning

Antall kubikkmeter som må graves ut, er
18 750 m3.

2.3.43

En kakeboks har form som en sylinder. Kakeboksen har en diameter på 21,0 cm og en høyde på 16,0 cm. Hvor mange liter rommer kakeboksen?

Løsning

Kakeboksen rommer 5,54 liter.

2.3.44

En oljetank har form som en sylinder. Oljetanken er 5,0 meter høy. Diameteren er 3,0 meter.

a) Hvor mange liter olje rommer oljetanken?

Løsning

Volumet av oljetanken er

35 m3=35 000 dm3=35 000 liter

b) Regn ut overflata av oljetanken.

Løsning

Overflata O av en sylinder med topp og bunn er gitt ved formelen

O=2πr·h+2·πr2

Overflata av oljetanken er 61 m2.

2.3.45

Ei gryte har form som en sylinder. Gryta har en diameter på 260 mm og rommer 8 liter. Regn ut høyden til gryta.

Løsning

Høyden til gryta er 1,51 dm=15 cm.

2.3.46

Vi har gitt en rett pyramide med kvadratisk grunnflate og høyde 6.

a) Regn ut volumet av pyramiden.

Løsning

V = G·h3= 4·4·63= 32

b) Regn ut høyden i trekanten som utgjør sideflata (dette er den stiplede linja fra M til toppunktet).

Løsning

Vi bruker Pytagoras' setning:

h2 = 22+62= 40h = 40= 6,326,3

c) Regn ut overflatearealet til pyramiden.

Løsning

Vi har fire trekanter som utgjør sidekantene, og et kvadrat som utgjør grunnflata:

O = A+4·A= 4·4+4·4·6,32= 16+4·2·6,3= 16+50,4= 66,4

2.3.47

Vi har gitt ei kjegle med radius 3,5 cm i grunnflata og som har sidekant lik 8,0 cm.

a) Regn ut høyden i kjegla.

Løsning

Vi bruker Pytagoras' setning:

h = 8,02-3,52= 51,75= 7,19 7,2

Høyden i kjegla er 7,2 cm.

b) Regn ut volumet av kjegla.

Løsning

Vi bruker formelen:

V = πr2·h3= π·3,52·7,23= 92,3 92

Vi har at volumet er cirka 92 cm2.

c) Regn ut overflatearealet til kjegla.

Løsning

Vi bruker formelen:

O = πr2+πrs= π3,52+π·3,5·8,0= 126

Overflatearealet til kjegla er cirka 126 cm21,3 dm2.

2.3.48

Gitt ei kjegle med radius 12,0 cm og høyde 24,0 cm.

a) Finn volumet av kjegla.

Løsning

Volumet av ei kjegle er gitt ved formelen

V=πr2·h3

Volumet av kjegla er 3 619 cm33,62 dm3.

b) Finn overflatearealet av kjegla.

Løsning

Overflaten av ei kjegle med bunn er gitt ved formelen
O=πr2+πr·s.

Vi finner først sidekanten s ved hjelp av Pytagoras' setning.

Overflaten av kjegla er 1 464 cm214,6 dm2.

2.3.49

En kuleformet appelsin har en diameter på 8,0 cm.

a) Finn overflata av appelsinen.

Løsning

Overflata = 4·π·r2= 4·π·(4,0 cm)2= 200 cm2=2,0 dm2

b) Forklar hva overflata er i praksis.

Løsning

Overflata av appelsinen er arealet av skallet.

c) Finn volumet av appelsinen.

Løsning

Volumet = 4·π·r33= 4·π·(4,0 cm)33= 270 cm3=0,27 dm3

Skallet på appelsinen er 3 mm tykt.

d) Finn volumet av den spiselige delen av appelsinen. (Se bort fra skallet, om du pleier å spise det ...)

Løsning

Radien av selve appelsinkjøttet:

4,0 cm-0,3 cm=3,7 cm

Volumet av appelsinen uten skall:

4·π·r33=4·π·(3,7 cm)33=210 cm3=0,21 dm3

e) Finn volumet av skallet.

Løsning

Volumet av skallet er ytre volum minus indre, altså

270 cm3-210 cm3=60 cm3.

2.3.50

En kjeksis består av en kjegleformet kjeks og ei halvkule med is øverst. Diameteren på kjeksen er 6,0 cm. Høyden på kjeksen er 12,0 cm.

a) Finn radien i kula.

Løsning

Radien i kula er den samme som radien på kjeksen, det vil si 3,0 cm.

b) Finn volumet av kjeksisen.

Løsning

Volumet av en halvkule med is:

4·π·(3,0 cm)33·12

Volumet av en kjegle med is:

π·(3,0 cm)2·12,0 cm3

Samlet mengde is blir

170 cm3=0,17 L=1,7 dL

2.3.51

En tilhenger har følgende mål:

lengde: 2 037 mm
bredde: 1 160 mm
høyde: 350 mm

a) Hvor mange liter rommer tilhengeren?

Løsning

Vi løser oppgaven i GeoGebra:

Tilhengeren rommer 827 liter.

b) Den største nyttelasten tilhengeren kan ha, er 610 kg. Hvor tykt lag med grus kan du fylle oppi tilhengeren når 1 liter grus veier 2,5 kg?

Løsning

Her kan det være greit å sette opp en likning. Vi kan regne ut massen i kg ved å multiplisere antall liter grus med antall kg grus per liter. Antall liter grus får vi ved å multiplisere lengden med bredden og videre med den ukjente høyden, som vi her kaller h. Dette regnestykket skal bli 610 kg, som er den største nyttelasten.

Vi får

20,37 dm·11,60 dm·h·2,5kgdm3=610 kg

Her har vi tatt med enhetene for å kontrollere at vi ikke har andre typer enn dm og kg. Når vi løser dette i GeoGebra, kan vi skrive inn enhetene og få tallsvaret med riktig enhet i tillegg. Da må vi i tilfelle bruke kommandoen Løs(likning, variabel) sammen med knappen for numerisk utregning:

Det kan fylles et gruslag med en tykkelse på 1,03 dm=10,3 cm.

Alternativ løsning

Vi finner først ut hvor mange liter grus vi får av 610 kg. Deretter regner vi ut arealet av grunnflata i tilhengeren. Til slutt tar vi volumet av grus og deler på grunnflata for å finne høyden. Vi tar hele tida med enhetene i CAS-utregningen som kontroll.

2.3.52

En tresøyle har form som en sylinder med diameter 30 cm og høyde 4,20 m. Søylen skal få to strøk maling. En liter maling dekker 6 m2. Hvor mye maling vil gå med?

Løsning

Vi regner ikke topp og bunn i dette tilfellet.

Det vil gå med 1,3 liter maling.

2.3.53

Ei kjegle har radien 2,4 dm og en sidekant på 6,4 dm.

a) Finn høyden i kjeglen.

Løsning

Vi bruker Pytagoras' setning og finner høyden:

(sidekant)2=(radien)2+(høyden)2s2=r2+h2

Høyden er 5,9 dm.

b) Finn volumet av kjegla.

Løsning

Volumet er 36 dm3.