Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen. Periodiske funksjoner
Vi kan lage funksjoner som for eksempel f(x)=sinx og tegne grafene til dem.
Utforsking av grafen til sinusfunksjonen
Bruk regnearkdelen i GeoGebra til å lage samhørende verdier for og sinx. La x gå fra 0 til cirka 6,4 i trinn på 0,4. Tegn verdiene som punkter i grafikkfeltet i GeoGebra.
Tips
Legg inn tallet 0 i celle A1. I celle A2 skriver du =A1+0.4 og kopierer denne nedover til du har fått 6,4.
I celle B1 skriver du =sin(A1) og kopierer den nedover i kolonne B. (Husk at GeoGebra krever parentes rundt argumentet til trigonometriske funksjoner.)
Marker alle tallene, høyreklikk og velg "Lag liste med punkt".
Resultat
Vi får at punktene ligger i et bølgemønster. (I regnearkdelen på bildet har vi lagd overskrifter ved å skrive "x" og "f(x)=sin x" i cellene A1 og B1. Vi har også fjernet navnene på alle punktene i grafikkfeltet.)
Nedenfor kan du laste ned det ferdige GeoGebra-arket.
Hvorfor ble du bedt om å lage x-verdier opp til akkurat 6,4?
Forklaring
6,4 er litt mer enn 2π. Vi har altså brukt x-verdier som dekker første omløp.
Hvordan tror du mønsteret vil se ut hvis du lager punkter tilsvarende andre omløp og videre utover? Skriv inn funksjonen fx=sinx i algebrafeltet i det samme GeoGebra-arket og observer.
Resultat
Det er grunn til å tro at siden sinusverdiene gjentar seg for hvert omløp, må også grafen til sinusfunksjonen gjenta seg.
Grafen til f, som vi bare kaller sinusfunksjonen, passer med punktene, og mønsteret gjentar seg – som vi kunne forvente. Vi får et bølgemønster. En slik graf kaller vi også en sinuskurve. Vi sier også at sinusfunksjonen er periodisk fordi mønsteret i grafen gjentar seg.
Skala med inndeling etter π i GeoGebra
Vi viser et lite triks med skalaen på x-aksen:
Bruk GeoGebra-arket du lagde over. Høyreklikk i grafikkfeltet, og velg "Grafikkfelt...".
Velg "xAkse".
Huk av for "Avstand", skriv pi/4 i feltet til høyre og trykk enter.
Hva blir resultatet i grafikkfeltet? Bruk grafen til å finne maksimalpunktene til f.
Resultat
Resultatet er at vi får skalainndeling på x-aksen med brøken π4.
Periodiske funksjoner
En periodisk funksjon er en funksjon der grafen gjentar seg i et fast mønster i x-retning. Perioden vil være avstanden fra et punkt på grafen og neste tilsvarende punkt på grafen, for eksempel avstanden fra et toppunkt til neste toppunkt i en sinusfunksjon.
Hva er perioden til sinusfunksjonen?
Forklaring
Vi kan for eksempel måle avstanden mellom to nabotoppunkter på grafen for å finne perioden.
Perioden er
5π2-π2=4π2=2π
Dette var kanskje ikke noen overraskelse?
Du kan også bruke nullpunktene til å finne perioden, men da kan du ikke måle avstanden mellom to nabonullpunkt. (Hvorfor kan du ikke det?)
I simuleringa nedenfor kan du dra i den svarte glidebryteren og observere sammenhengen mellom vinkelen x og sinx på to måter samtidig.
I simuleringa over får vi, som vi fant lenger opp på siden, at etter en runde på enhetssirkelen vil funksjonsverdiene gjenta seg. Dette bekrefter at sinusfunksjonen f(x)=sinx er periodisk, og at perioden er 2π.
Vi bruker periodiske funksjoner til å beskrive periodiske fenomener, som for eksempel tidevann. Vi skal se nærmere på dette i kapittelet om modellering og funksjonsanalyse.
Den lille byen Mont-Saint-Michel i Normandie har en av Frankrikes største tidevannsforskjeller. Tidevannet beveger seg inn og ut med en hastighet på 1 m/s, og det stiger og synker inntil 14 m.
Mont-Saint-Michel var tidligere ei øy halvparten av tida og knyttet til fastlandet den andre halvparten, altså ei såkalt tidevannsøy.
Finn toppunktene til f.
Løsning
Med en skalainndeling på π4 langs x-aksen er det lettere å lese av koordinatene til toppunktene enn når skalaen er for eksempel 1. På bildet her kan vi lese av toppunktene π2,1 og 5π2,1. Men siden funksjonen er periodisk, har den uendelig mange toppunkter. Avstanden mellom to nabotoppunkter er 2π. Derfor skriver vi x-koordinatene til toppunktene til f ved hjelp av det hele tallet k slik:
π2+k·2π,k∈ℤ
Du husker kanskje at ℤ er mengden med alle hele tall?
Finn bunnpunktene og nullpunktene til f på tilsvarende måte.
Resultat
Funksjonen vil også ha uendelig mange bunnpunkter og nullpunkter. Avstanden mellom to nabobunnpunkter er 2π som for toppunktene. Vi bruker bunnpunktet 3π3,-1 i første omløp som utgangspunkt, og vi får at bunnpunktene til f er
3π2+k·2π,-1,k∈ℤ
Avstanden mellom to nabonullpunkter er π. Siden ett av nullpunktene ligger i origo, kan vi skrive nullpunktene som
k·π,k∈ℤ
Cosinusfunksjonen
La funksjonen g være gitt ved
gx=cosx, x∈[0,2π⟩
Denne funksjonen kalles cosinusfunksjonen. Hvis du bruker det du nå har lært om sinusfunksjonen, og i tillegg bruker det du vet om cosx, kan du kanskje forutsi hvordan grafen til g ser ut?
Grafen til cosinusfunksjonen
Grafen til cosinusfunksjonen likner veldig på grafen til sinusfunksjonen ...
Nedenfor har vi tegnet grafene til fx=sinx og gx=cosx i det samme koordinatsystemet.
Grafene er like, men forskjøvet i forhold til hverandre.
Hvor mye er grafen til sinx forskjøvet i forhold til grafen til cosx?
Svar
Grafen til cosx har toppunkt for x=0. Grafen til sinx har toppunkt for x=π2.
Det betyr at grafen til sinx er forskjøvet π2 til høyre i forhold til grafen til cosx.
Resultatet betyr at vi kan skrive sinx=cosx+a. Hva er a her?
Svar
Vi kan ta utgangspunkt i at cos0=sinπ2(=1). Vi ønsker at et uttrykk med cosinus skal gi 1 som svar når x=π2. Da må argumentet til cosinusfunksjonen gå fra π2 til 0, som betyr at det må trekkes fra π2 i argumentet. Det betyr at