Fágaartihkal

Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler

Vi kan finne mange sammenhenger mellom de trigonometriske funksjonene.

Enhetsformelen

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er et punkt på sirkelen og har koordinatene a og b. Illustrasjon. — Govva: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi skal fram til kanskje den mest grunnleggende sammenhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen.

Hvordan kan vi uttrykke $a$ og $b$ på figuren ved hjelp av vinkelen $v$ ?

Forklaring

Definisjonene av cosinus- og sinusfunksjonen ut ifra figuren gir

$\begin{array}{rcl} a & = & \cos v \\ b & = & \sin v \end{array}$

Lengdene $a$ og $b$ danner en rettvinklet trekant sammen med det venstre vinkelbeinet til vinkelen $v$ . Hvilken sammenheng kan du lage mellom $\cos v$ og $\sin v$ ut ifra det?

Tips

Bruk pytagorassetningen.

Resultat

Pytagorassetningen gir

$a^{2} + b^{2} = 1^{2}$
${(\cos v)}^{2} + {(\sin v)}^{2} = 1$

Dette kalles enhetsformelen. Ifølge formelen er summen av kvadratene til sinus og cosinus til den samme vinkelen $v$ alltid er 1.

Matematikere har blitt enige om å skrive ${(\cos v)}^{2}$ som $\cos^{2} v$ . Derfor skriver vi vanligvis enhetsformelen som nedenfor.

Enhetsformelen:

$\cos^{2} v + \sin^{2} v = 1$

Får vi problemer med denne formelen hvis vinkelen $v$ ligger i andre, tredje eller fjerde kvadrant?

Forklaring

I andre, tredje eller fjerde kvadrant vil minst én av de trigonometriske verdiene $\sin v$ og $\cos v$ være negativ. Det er ikke noe problem for enhetsformelen siden verdiene blir kvadrert. Se eksempelet på bildet nedenfor når $v$ er i andre kvadrant.

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. P er et punkt på sirkelen og har koordinatene cosv og sinv. Illustrasjon. — Enhetssirkelen med vinkel v i andre kvadrant. Govva: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Supplementvinkler

En sirkel med radius 1 er plassert i et koordinatsystem slik at sentrum i sirkelen er origo. To punkter på sirkelen er markert, og det går et linjestykke mellom origo og til hvert av punktene. Punktene har samme y-koordinat. Illustrasjon. — Enhetssirkel med to vinkler der u + v = 180°. Govva: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Du vet kanskje fra før at supplementvinkler er to vinkler der summen blir 180° (eller π målt i radianer)? Matematisk kan vi skrive at $u$ og $v$ er supplementvinkler dersom

$u + v = 180 °$

Hvilken sammenheng kan vi finne mellom sinusverdiene til vinklene $u$ og $v$ ? Bruk figuren til hjelp.

Resultat

Vi observerer at de to skjæringspunktene (blått og rødt på figuren) mellom vinkelbeina til $u$ og $v$ og enhetssirkelen speiler hverandre om $y$ -aksen. Det betyr at de to punktene har samme $y$ -koordinat og motsatt $x$ -koordinat.

Siden $y$ -koordinatene tilsvarer sinus til vinkelen, får vi at

$\sin u = \sin v$

Alternativt kan vi skrive dette som

$\sin (180 ° - v) = \sin v$

Skriv den siste formelen i løsningen over når vi måler vinklene i radianer.

Resultat

$\sin (π - v) = \sin v$

Skriv formelen med ord. Bruk ordet "supplementvinkler".

Resultat

Supplementvinkler har samme sinusverdi.

Finn tilsvarende formler for cosinusverdiene til $u$ og $v$ .

Resultat

Siden skjæringspunktene med enhetssirkelen har motsatt $x$ -koordinat, vil vinklene $u$ og $v$ ha motsatt cosinusverdi. Matematisk skriver vi dette som

$\cos u = - \cos v$

eller

$\cos (180 ° - v) = - \cos v$

eller

$\cos (π - v) = - \cos v$

I en av oppgavene skal du utforske og se om formlene gjelder dersom vinkelen $v$ blir større enn 180°.

Komplementvinkler

I en rettvinklet trekant er katetene a og b, mens hypotenusen er c. Kateten b er motstående katet til vinkel v og hosliggende katet til vinkel u. Illustrasjon. — Komplementvinklene u og v i en rettvinklet trekant. Govva: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Studer den rettvinklede trekanten. Hva er sammenhengen mellom vinklene $u$ og $v$ ? Skriv sammenhengen både når vinklene måles i grader og i radianer.

Resultat

$u = 90 ° - v$

eller

$u = \frac{π}{2} - v$

Når denne sammenhengen gjelder, sier vi at $u$ og $v$ er komplementvinkler. De to spisse vinklene i en rettvinklet trekant vil alltid være komplementvinkler.

Bruk definisjonen av de tre trigonometriske funksjonene i en trekant og finn uttrykk for sinus, cosinus og tangens til de to vinklene $u$ og $v$ ved hjelp av $a, b$ og $c$ . Finn deretter $\cos v, \sin v$ og $\tan v$ uttrykt ved vinkel $u$ .

Resultat

$\begin{array}{rcl} \sin v & = & \frac{b}{c}, \cos v = \frac{a}{c}, \tan v = \frac{b}{a} \\ \sin u & = & \frac{a}{c}, \cos u = \frac{b}{c}, \tan u = \frac{a}{b} \end{array}$

Vi får at

$\begin{array}{rcl} \cos v & = & \sin u \\ \sin v & = & \cos u \\ \tan v & = & \frac{b}{a} = \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{1}{\tan u} \end{array}$

Skriv om de tre siste formlene i løsningen over ved å bruke at $u = 90 ° - v$ , og at $u = \frac{π}{2} - v$ . Skriv også de tre formlene med ord.

Resultat

Den første formelen blir

$\cos v = \sin (90 ° - v) = \sin (\frac{π}{2} - v)$

Med ord: Cosinus til en vinkel er lik sinus til komplementvinkelen.

Tilsvarende får vi at

$\sin v = \cos (90 ° - v) = \cos (\frac{π}{2} - v)$

Med ord: Sinus til en vinkel er lik cosinus til komplementvinkelen.

$\tan v = \frac{1}{\tan (90 ° - v)} = \frac{1}{\tan (\frac{π}{2} - v)}$

Med ord: Tangens til en vinkel er lik 1 delt på tangens til komplementvinkelen.

Merk: Her har vi bare vist at setningene gjelder for vinkler mellom 0° og 90°, men det er mulig å vise at setningen gjelder for alle vinkler $v$ .

Vis at $\tan (180 \begin{array}{rcl} ° \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} v \end{array}) = - \tan v$ .

Bevis

$\tan (180 \begin{array}{rcl} ° \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} v \end{array}) = \frac{\sin (180 \begin{array}{rcl} ° \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} v \end{array})}{\cos (180 \begin{array}{rcl} ° \end{array} \begin{array}{rcl} - \end{array} \begin{array}{rcl} v \end{array})} = \frac{\sin v}{- \cos v} = - \tan v$

Andre sammenhenger

Vi kan bruke enhetssirkelen til å finne flere sammenhenger tilsvarende de som gjelder for komplement- og supplementvinkler.

Bruk figuren nedenfor til å finne formler for sinus, cosinus og tangens til vinklene $v + 180 °$ og $- v$ uttrykt ved $\sin v, \cos v$ eller $\tan v$ .

To sirkler med radius 1. På den første er det markert en vinkel i tredje kvadrant og vinkelen v i første kvadrant slik at vinkelen v er en halv omdreining mindre enn den første vinkelen. På den andre figuren er vinkelen v i første kvadrant og vinkelen minus v i fjerde kvadrant markert. Illustrasjon. — Govva: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Resultat for v + 180°

I den venstre enhetssirkelen over har vi at vinkelen som er markert og ligger i tredje kvadrant, er 180 grader større enn vinkel $v$ . Fra figuren får vi at disse to vinklene har sinus- og cosinusverdier med motsatt fortegn av hverandre. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} \sin (v + 180 °) & = & - \sin v \\ \cos (v + 180 °) & = & - \cos v \end{array}$

Vi får videre at

$\tan (v + 180 °) = \frac{\sin (v + 180 °)}{\cos (v + 180 °)} = \frac{- \sin v}{- \cos v} = \tan v$

Resultat for –v

I den høyre enhetssirkelen over er vinklene $v$ og $- v$ markert. Figuren gir at vinklene har samme cosinusverdi, mens sinusverdiene har motsatt fortegn. Det betyr at

$\begin{array}{rcl} \sin (- v) & = & - \sin v \\ \cos (- v) & = & \cos v \\ \tan (- v) & = & \frac{\sin (- v)}{\cos (- v)} = \frac{- \sin v}{\cos v} = \tan v \end{array}$

Oversikt over noen grunnleggende trigonometriske formler

Nedenfor kan du lage en oversikt over grunnleggende trigonometriske formler. Noen av dem er ikke presentert på denne siden.

Fasit til oppgaven over

Grunnleggende trigonometriske formler:

$\sin v = \cos (\frac{π}{2} - v)$ , $\cos v = \sin (\frac{π}{2} - v)$

$\tan v = \frac{1}{\tan (\frac{π}{2} - v)}$ , $\cos^{2} v + \sin^{2} v = 1$

$- \cos v = \cos (π - v)$ , $\sin v = \sin (π - v)$ , $- \tan v = \tan (π - v)$

$- \cos v = \cos (π + v)$ , $- \sin v = \sin (π + v)$ , $\tan v = \tan (π + v)$

$\cos v = \cos (- v)$ , $- \sin v = \sin (- v)$ , $- \tan v = \tan (- v)$

Sammenhenger mellom omvendte trigonometriske funksjoner

I oppgavene kommer vi nærmere inn på noen sammenhenger mellom de omvendte trigonometriske funksjonene. Nedenfor har vi skrevet opp noen av dem.

$\arccos x + \arcsin x = \frac{π}{2}$

$\arcsin (- x) = - \arcsin x$

$\arccos (- x) = π - \arccos x$

$\arctan (- x) = - \arctan x$

Film om enhetsformelen

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om komplement- og supplementvinkler

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0