Fágaartihkal

Sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler

Hva gjør vi med uttrykk som for eksempel sin(u + v)? På denne siden skal vi komme fram til formler for dette uttrykket og tilsvarende uttrykk.

Uttrykket over er sinus til en sum av to vinkler. Vi skal se at det går an å skrive dette og tilsvarende uttrykk ved hjelp av $\cos u, \cos v, \sin u$ og $\sin v$ .

Formel for cosinus til en differanse av to vinkler

En sirkel med radius 1 og sentrum i origo er tegnet i et koordinatsystem. Vinkelen v i første kvadrant og vinkelen u i andre kvadrant er tegnet. Vektoren O P går fra origo langs det venstre vinkelbeinet til u til skjæringspunktet P med enhetssirkelen. Vektoren O Q går fra origo langs det venstre vinkelbeinet til v til skjæringspunktet Q med enhetssirkelen. Illustrasjon. — Govva: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi begynner med å finne en formel for $\cos (u - v)$ . På figuren har vi tegnet vinklene $u$ (rødt) og $v$ (blått) i enhetssirkelen. På figuren har vi også markert vinkelen $u - v$ med grønt.

Legg merke til at vi har tegnet de venstre vinkelbeina til $u$ og $v$ som vektorer. Det er fordi vi skal bruke vektorregning for å komme fram til formelen for $\cos (u - v)$ .

På figuren har punktet $P$ koordinatene $(\cos u, \sin u)$ og $Q$ koordinatene $(\cos v, \sin v)$ .
Skriv opp koordinatene til $\vec{O P}$ og $\vec{O Q}$ når $O$ er origo.

Resultat

Vektorene får koordinater lik koordinatene til $P$ og $Q$ .

$\vec{O P} = [\cos u, \sin u], \vec{O Q} = [\cos v, \sin v]$

Vi skal komme fram til en formel for $\cos (u - v)$ ved hjelp av de to måtene vi kan regne ut skalarproduktet mellom de to vektorene på. Hvilke to måter er det?

Svar

Vi kan regne ut skalarproduktet med eller uten bruk av vektorkoordinatene. Vi kan

1) enten bruke at skalarproduktet mellom vektorene er lik lengden av den ene vektoren multiplisert med lengden av den andre multiplisert med cosinus til den mellomliggende vinkelen

2) regne ut skalarproduktet ved hjelp av vektorkoordinatene

Regn ut skalarproduktet på den første måten beskrevet i boksen over.

Resultat

Den mellomliggende vinkelen til de to vektorene er $u - v$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} \cdot \vec{O Q} & = & |\vec{O P}| \cdot |\vec{O Q}| \cdot \cos (u - v) \\ = & 1 \cdot 1 \cdot \cos (u - v) \\ = & \cos (u - v) \end{array}$

Regn ut skalarproduktet på den andre måten.

Resultat

Husk at når vi regner ut et skalarprodukt ved hjelp av vektorkoordinatene, tar vi produktet av $x$ -koordinatene og legger til produktet av $y$ -koordinatene.

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} \cdot \vec{O Q} & = & [\cos u, \sin u] \cdot [\cos v, \sin v] \\ = & \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v \end{array}$

Resultatet av disse to måtene å regne på må være like. Da får vi formelen nedenfor.

Formel for cosinus til en differanse mellom to vinkler:

$\cos (u - v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v$

I definisjonen til skalarproduktet er det et krav at den mellomliggende vinkelen skal være den vinkelen mellom vektorene som er mindre enn (eller lik) π. Vi skal vise at formelen også gjelder når $u - v > π$ . Start med å tegne en tilsvarende figur som den over der dette er oppfylt. Kall den minste vinkelen mellom vektorene for $z$ .

Resultat

Vi flytter punktet $P$ så langt ut i tredje kvadrant at $u - v > π$ . Da er det vinkelen $z$ på figuren som er den minste vinkelen mellom vektorene, ikke lenger $u - v$ .

En sirkel med radius 1 og sentrum i origo er tegnet i et koordinatsystem. Vinkelen v i første kvadrant og vinkelen u i tredje kvadrant er tegnet. Vektoren O P går fra origo langs det venstre vinkelbeinet til u til skjæringspunktet P med enhetssirkelen. Vektoren O Q går fra origo langs det venstre vinkelbeinet til v til skjæringspunktet Q med enhetssirkelen. Illustrasjon. — Govva: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Når $u - v > π$ som på figuren i boksen over, må skalarproduktet skrives som $\begin{array}{rcl} \vec{O P} \cdot \vec{O Q} & = & |\vec{O P}| \cdot |\vec{O Q}| \cdot \cos z \end{array}$ .

Vis at $\cos z = \cos (u - v)$ .

Bevis

$\begin{array}{rcl} \cos z & = & \cos (2 π - z) \\ = & \cos (u - v) \end{array}$

Vi har vist at vinklene $z$ og $u - v$ har samme cosinusverdi fordi summen av dem er 2π, og formelen

$\cos (u - v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v$

gjelder dermed alltid.

Formel for cosinus til en sum av to vinkler

Med formelen for cosinus til en differanse av to vinkler kan vi nå utlede formelen for cosinus til en sum av to vinkler.

Finn en formel for cosinus til summen av vinklene $u$ og $v$ ved å ta utgangspunkt i den forrige formelen og bruke at

$\begin{array}{rcl} \cos (- v) & = & \cos v \\ \sin (- v) & = & - \sin v \end{array}$

Resultat

$\begin{array}{rcl} \cos (u + v) & = & \cos (u - (- v)) \\ = & \cos u \cdot \cos (- v) + \sin u \cdot \sin (- v) \\ = & \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot (- \sin v) \\ = & \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v \end{array}$

Formler for sinus til summer og differanser av to vinkler

Nå kan vi videre komme fram til formler for sinus til en sum av to vinkler og sinus til en differanse av to vinkler med utgangspunkt i formlene for cosinus til en sum og til en differanse.

Finn disse formlene ved å bruke at

$\sin v = \cos (\frac{π}{2} - v)$

Sinus til sum av to vinkler

$\begin{array}{rcl} \sin (u + v) & = & \cos (\frac{π}{2} - (u + v)) \\ = & \cos ((\frac{π}{2} - u) - v) \\ = & \cos (\frac{π}{2} - u) \cdot \cos v + \sin (\frac{π}{2} - u) \cdot \sin v \\ = & \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v \end{array}$

Sinus til differanse av to vinkler

$\begin{array}{rcl} \sin (u - v) & = & \cos (\frac{π}{2} - (u - v)) \\ = & \cos ((\frac{π}{2} - u) + v) \\ = & \cos (\frac{π}{2} - u) \cdot \cos v - \sin (\frac{π}{2} - u) \cdot \sin v \\ = & \sin u \cdot \cos v - \cos u \cdot \sin v \end{array}$

Sinus, cosinus og tangens til den dobbelte vinkelen

Bruk formlene for sinus og cosinus til en sum av to vinkler til å finne en formel for $\sin 2 v$ , $\cos 2 v$ og $\tan 2 v$ uttrykt ved $\cos v$ , $\sin v$ og $\tan v$ .

Resultat

$\begin{array}{rcl} \sin 2 v & = & \sin (v + v) \\ = & \sin v \cdot \cos v + \sin v \cdot \cos v \\ = & 2 \sin v \cdot \cos v \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \cos 2 v & = & \cos (v + v) \\ = & \cos v \cdot \cos v - \sin v \cdot \sin v \\ = & \cos^{2} v - \sin^{2} v \end{array}$

Vi bruker resultatene over til å finne et uttrykk for $\tan 2 v$ .

$\begin{array}{rcl} \tan 2 v & = & \frac{\sin 2 v}{\cos 2 v} \\ = & \frac{2 \sin v \cdot \cos v}{\cos^{2} v - \sin^{2} v} \\ = & \frac{\frac{2 \sin v \cdot \cos v}{\cos^{2} v}}{\frac{\cos^{2} v - \sin^{2} v}{\cos^{2} v}} \\ = & \frac{2 \tan v}{1 - \tan^{2} v} \end{array}$

Oppsummering

Løsning på oppgaven over

$\begin{array}{l} \sin (u + v) = \sin u \cdot \cos v + \cos u \cdot \sin v \\ \sin (u - v) = \sin u \cdot \cos v - \cos u \cdot \sin v \\ \cos (u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v \\ \cos (u - v) = \cos u \cdot \cos v + \sin u \cdot \sin v \\ \sin 2 u = 2 \sin u \cdot \cos u \\ \cos 2 u = \cos^{2} u - \sin^{2} u \\ \tan 2 u = \frac{2 \tan v}{1 - \tan^{2} v} \end{array}$

I en av oppgavene blir du bedt om å finne formler for $\tan (u + v)$ og $\tan (u - v)$ .

Film om cosinus til en differanse av vinkler

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om cosinus til en sum av vinkler

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0