Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler

Supplementvinkelen er $$ 180°-70°=110°$$.

Supplementvinkelen er $$ \pi -\frac{2}{3}\pi =\frac{1}{3}\pi $$.

Komplementvinkelen er $$ 90°-65°=25°$$.

Komplementvinkelen er $$ \frac{1}{2}\pi -\frac{17}{36}\pi =\left(\frac{18}{36}-\frac{17}{36}\right)\pi =\frac{1}{36}\pi $$.

Supplementvinkelen er $$ 180°-225°=-45°$$.

Komplementvinkelen er $$ \frac{1}{2}\pi -\frac{7}{4}\pi =\left(\frac{2}{4}-\frac{7}{4}\right)\pi =-\frac{5}{4}\pi $$.

Svaret får vi direkte av enhetsformelen.

$$ {\sin }^{2}30°+{\cos }^{2}30°=1$$

$$ {\sin }^2\frac{\pi }{6}+{\cos }^2\frac{\pi }{6}=1$$

$$ \begin{array}{rcl}4{\cos }^{2}10°+4{\sin }^{2}10° & =& 4\left({\cos }^{2}10°+{\sin }^{2}10°\right)\\ & =& 4·1\\ & =& 4\end{array}$$

Bruk at vinklene er supplementvinkler.

De to vinklene er supplementvinkler fordi

$$ 110°+70°=180°$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}{\sin }^{2}110°+{\cos }^{2}70° & =& {\sin }^{2}70°+{\cos }^{2}70°\\ & =& 1\end{array}$$

Bruk at vinklene 20° og 70° er komplementvinkler.

$$ \begin{array}{rcl}{\sin }^{2}20°+{\sin }^{2}70° & =& {\sin }^{2}20°+{\cos }^2\left(90°-70°\right)\\ & =& {\sin }^{2}20°+{\cos }^{2}20°\\ & =& 1\end{array}$$

De to vinklene er komplementvinkler fordi

$$ \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi +\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}3{\cos }^2\frac{\pi }{3}+3{\cos }^2\frac{\pi }{6} & =& 3\left({\cos }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}\right)\right)\\ & =& 3\left({\cos }^2\frac{\pi }{3}+{\sin }^2\frac{\pi }{3}\right)\\ & =& 3·1\\ & =& 3\end{array}$$

Bruk enhetsformelen.

Enhetsformelen: $$ {\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v=1$$

Vi får

$$ \begin{array}{rcl}0,6^2+{\sin }^{2}v & =& 1\\ {\sin }^{2}v & =& 1-0,36\\ & =& 0,64\\ \sin v & =& \pm \sqrt{0,64}\\ & =& \pm 0,8 \\ \sin v & =& -0,8 \vee \sin v=0,8\end{array}$$

Videre får vi fra $$ \tan v=\frac{\sin v}{\cos v}$$ at

$$ \tan v=\frac{-0,8}{0,6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3} \vee \tan v=\frac{4}{3}$$

Vi bruker enhetsformelen og får

$$ \begin{array}{rcl}{\cos }^{2}v+0,9^2 & =& 1\\ {\cos }^{2}v & =& 1-0,81\\ & =& 0,19\\ \cos v & =& \pm \sqrt{0,19}\\ \cos v & =& \sqrt{0,19} \vee \cos v=-\sqrt{0,19}\end{array}$$

Vinklene 40° og 140° er supplementvinkler siden summen blir 180°. Da har vinklene samme sinusverdi. Vi får

$$ \sin 140°=\sin 40°=0,643$$

Vinklene 40° og 50° er komplementvinkler siden summen blir 90°. Da må

$$ \cos 50°=\sin 40°=0,643$$

Hva får du hvis du legger sammen vinklene?

Vi har at $$ 320°+40°=360°$$. Da har vi tilsvarende situasjon som på bildet nedenfor.

De to vinklene har samme cosinusverdi og motsatt sinusverdi.

Da må

$$ \sin 320°=-\sin 40°=-0,643$$

Hva får du hvis du trekker vinklene fra hverandre?

Vi har at $$ 220°-40°=180°$$. Da har vi en tilsvarende situasjon som på bildet nedenfor.

Det betyr at

$$ \sin 220°=-\sin 40°=-0,643$$

Vi har at $$ 230°-180°=50°$$. Da kan vi igjen bruke figuren nedenfor.

50° er komplementvinkelen til 40° og har derfor cosinusverdi lik sinusverdien til 40°.

Det betyr at

$$ \cos 230°=-\cos 50°=-\sin 40°=-0,643$$

Vi har at forskjellen på vinklene er 180°. Da har de samme tangensverdi. Vi får at

$$ \tan 240°=\tan 60°=\sqrt{3}$$

Forskjellen på vinklene er

$$ \frac{7\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{6\pi }{6}=\pi $$

Da har vinklene samme tangensverdi. Altså får vi at

$$ \tan \frac{7\pi }{6}=\tan \frac{\pi }{6}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$$

De to vinklene er komplementvinkler fordi

$$ \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi +\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$$

Da får vi at

$$ \tan \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{6}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$

Start med å sette $$ \arcsin x\mathit{=}v$$ og finn et uttrykk for $$ \arccos x$$ ved å regne deg fra $$ \arcsin x$$ til $$ \arccos x$$.

Du får også bruk for identiteten $$ \sin v=\cos \left(\frac{\pi }{2}-v\right)$$.

Begynn med å ta $$ \sin $$ på begge sider av $$ \arcsin x\mathit{=}v$$.

$$ \begin{array}{rcl}\arcsin x & =& v\\ \sin \left(\arcsin x\right) & =& \sin v\\ x & =& \sin v\\ & =& \cos \left(\frac{\pi }{2}-v\right)\\ \arccos x & =& \arccos \left(\cos \left(\frac{\pi }{2}-v\right)\right)\\ & =& \frac{\pi }{2}-v\end{array}$$

Da får vi

$$ \begin{array}{rcl}\arcsin x+\arccos x & =& v+\frac{\pi }{2}-v\\ & =& \frac{\pi }{2}\end{array}$$

NB: Dette er ikke et fullstendig bevis før vi har kontrollert at vinkelen $$ v$$ er innenfor tillatt område for de omvendte funksjonene. Det gjør vi i oppgave b).

Start med å sette opp en dobbel ulikhet for tillatt område for $$ v$$ for $$ \arcsin x$$. Vis at omgjøringen fra $$ \sin v$$ til $$ \cos \left(\frac{\pi }{2}-v\right)$$ gir akkurat samme begrensning på $$ v$$.

Verdimengden til $$ \arcsin x$$ er $$ \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$. Det betyr at vinkelen $$ v$$ må oppfylle den doble ulikheten

$$ -\frac{\pi }{2}\le v\le \frac{\pi }{2}$$

I løsningen i a) skriver vi om sinusfunksjonen til en cosinusfunksjon med argumentet $$ \frac{\pi }{2}-v$$. I utledningen tar vi $$ \arccos $$ på begge sider. Verdimengden til $$ \arccos x$$ er $$ \left[0,\pi \right]$$. Det betyr at vi må kreve at

$$ \begin{array}{rcl}0 & \le & \frac{\pi }{2}-v\le \pi |-\frac{\pi }{2}\\ -\frac{\pi }{2} & \le & -v \le \frac{\pi }{2} |·\left(-1\right)\\ \frac{\pi }{2} & \ge & v \ge -\frac{\pi }{2} | \mathrm{Snu} \mathrm{ulikheten}\\ -\frac{\pi }{2} & \le & v \le \frac{\pi }{2}\\ & & \end{array}$$

Dette er det samme som verdimengden til $$ \arcsin x$$. Kravet til $$ v$$ er det samme hele tida, og vi har dermed bevist at omregningen i oppgave a) er grei.

$$ v$$ er en vinkel i første kvadrant. Vinkelen $$ -v$$ ligger da i fjerde kvadrant. Ut fra figuren har vi at dersom $$ \sin v=b$$, så er $$ \sin \left(-v\right)=-b$$.

Vi må huske at verdimengden til $$ \arcsin x$$ er $$ \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$. De to likningene gir

$$ \begin{array}{rcl}b & =& \sin v\\ \arcsin b & =& \mathrm{arc}\left(\sin v\right)\\ & =& v\end{array}$$

og

$$ \begin{array}{rcl}-b & =& \sin \left(-v\right)\\ \arcsin \left(-b\right) & =& \arcsin \left(\sin \left(-v\right)\right)\\ & =& -v\\ & =& -\arcsin b\end{array}$$

Ut fra figuren og definisjonen av tangensfunksjonen har vi at $$ \tan v=c$$ og $$ \tan \left(-v\right)=-c$$.

Så må vi huske at verdimengden til $$ \arctan x$$ er $$ \langle -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\rangle $$. De to likningene gir

$$ \begin{array}{rcl}c & =& \tan v\\ \arctan c & =& \arctan \left(\tan v\right)\\ & =& v\end{array}$$

og

$$ \begin{array}{rcl}-c & =& \tan \left(-v\right)\\ \arctan \left(-c\right) & =& \arctan \left(\tan \left(-v\right)\right)\\ & =& -v\\ & =& -\arctan c\end{array}$$

Ut fra figuren har vi først at

$$ \cos v=a$$ og $$ \cos \left(\pi -v\right)=-a$$

Vi må huske at verdimengden til $$ \arccos x$$ er $$ \left[0,\pi \right]$$. De to likningene gir

$$ \begin{array}{rcl}a & =& \cos v\\ \arccos a & =& \arccos \left(\cos v\right)\\ & =& v\end{array}$$

og

$$ \begin{array}{rcl}-a & =& \cos \left(\pi -v\right)\\ \arccos \left(-a\right) & =& \arccos \left(\cos \left(\pi -v\right)\right)\\ & =& \pi -v\end{array}$$