Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av og cosv.
a) sin30°-v
Løsning
sin30°-v = sin30°·cosv-cos30°·sinv= 12·cosv-123sinv= 12cosv-3sinv
b) cos60°-v
Løsning
cos60°-v = cos60°·cosv+sin60°·sinv= 12cosv+123sinv= 12cosv+3sinv
c) sinv+45°
Løsning
sinv+45° = sinv·cos45°+cosv·sin45°= 122sinv+122cosv= 122sinv+cosv
d) cosv+45°
Løsning
cosv+45° = cosv·cos45°-sinv·sin45°= 122cosv-122sinv= 122cosv-sinv
e) 2cosv-π3
Løsning
2cosv-π3 = 2cosv·cosπ3+sinv·sinπ3 = 212cosv+123sinv= cosv+3sinv
f) 3sinx-π
Løsning
3sinx-π = 3sinx·cosπ-cosx·sinπ= 3-1·sinx-cosx·0= -3sinx
g) 3cosπ6-x
Løsning
3cosπ6-x = 3cosπ6·cosx+sinπ6·sinx= 3123cosx+12sinx= 32cosx+32sinx= 123cosx+3sinx
h) 2sinx-π4
Løsning
2sinx-π4 = 2sinx·cosπ4-cosx·sinπ4= 2122·sinx-122·cosx= sinx-cosx
a) Vi har eksakte verdier for sinus og cosinus til vinklene 30°, 45° og 60°. Hvilke andre vinkler i første kvadrant kan vi finne eksakte verdier for sinus og cosinus til ved hjelp av formlene for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler?
Tips til oppgaven
Prøv med ulike kombinasjoner av summer og differanser av de tre vinklene.
Løsning
Vi kan finne eksakte verdier til vinklene
45°-30°=15°
45°+30°=75°
b) Finn eksakte verdier for sinus og cosinus til de vinklene du kom fram til i oppgave a).
Løsning
sin15° = sin45°-30°= sin45°·cos30°-cos45°·sin30°= 122·123-122·12= 6-24
cos15° = cos45°-30°= cos45°·cos30°+sin45°·sin30°= 122·123+122·12= 6+24
sin75° og cos75° kan vi finne på tilsvarende måte ved å bruke at 45°+30°=75°, men det er enklere å bruke at 75° er komplementvinkelen til 15° fordi 15°+75°=90°. Vi får
sin75°=cos15°=6+24
cos75°=sin15°=6-24
c) Hvilke vinkler i andre kvadrant kan vi finne eksakte verdier for sinus og cosinus til ved hjelp av resultatet i oppgave b)?
Løsning
Vi kan finne eksakte verdier for sinus og cosinus til supplementvinklene til 15° og 75°, nemlig
180°-15° = 165°180°-75° = 105°
a) Finn sin3v uttrykt ved sinv og cosv.
Løsning
sin3v = sin2v+v= sin2v·cosv+cos2v·sinv= 2sinv·cosv·cosv+cos2v-sin2v·sinv= 2sinv·cos2v+sinv·cos2v-sin3v= 3sinv·cos2v-sin3v
b) Finn cos3v uttrykt ved sinv og cosv.
Løsning
cos3v = cos2v+v= cos2v·cosv-sin2v·sinv= cos2v-sin2v·cosv-2sinv·cosv·sinv= cos3v-sin2v·cosv-2sin2v·cosv= cos3v-3sin2v·cosv
c) Finn tan3v uttrykt ved tanv.
Løsning
Vi bruker resultatet fra oppgavene a) og b).
tan3v = sin3vcos3v= 3sinv·cos2v-sin3vcos3v-3sin2v·cosv= 3sinv·cos2v-sin3vcos3vcos3v-3sin2v·cosvcos3v= 3tanv-tan3v1-3tan2v
Finn formler for tanu+v og tanu-v uttrykt ved tanu og tanv ved hjelp av formlene for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler.
Løsning
tanu+v = sinu+vcosu+v= sinu·cosv+cosu·sinvcosu·cosv-sinu·sinv= sinu·cosv+cosu·sinvcosu·cosvcosu·cosv-sinu·sinvcosu·cosv= tanu+tanv1-tanu·tanv
tanu-v = sinu-vcosu-v= sinu·cosv-cosu·sinvcosu·cosv+sinu·sinv= sinu·cosv-cosu·sinvcosu·cosvcosu·cosv+sinu·sinvcosu·cosv= tanu-tanv1+tanu·tanv
a) Bruk enhetsformelen til å finne cos2v uttrykt bare ved cosv (ikke ved sinv).
Løsning
Vi løser enhetsformelen med hensyn på sin2v.
cos2v+sin2v = 1sin2v = 1-cos2v
Da får vi
cos2v = cos2v-sin2v= cos2v-1-cos2v= 2cos2v-1
b) Gjør tilsvarende og finn cos2v uttrykt bare ved sinv.
Løsning
Vi løser enhetsformelen med hensyn på cos2v.
cos2v+sin2v = 1cos2v = 1-sin2v
Da får vi
cos2v = cos2v-sin2v= 1-sin2v-sin2v= 1-2sin2v
a) Bruk formelen for sinus til differansen mellom to vinkler til å bevise at cosv=sinπ2-v.
Løsning
sinπ2-v = sinπ2·cosv-cosπ2·sinv= 1·cosv-0·sinv= cosv
b) Bevis at sinv=cosπ2-v på tilsvarende måte.
Løsning
cosπ2-v = cosπ2·cosv+sinπ2·sinv= 0·cosv+1·sinv= sinv
c) Bevis at supplementvinkler har samme sinus på tilsvarende måte.
Løsning
Setningen om supplementvinkler er sinπ-v=sinv. Vi får
sinπ-v = sinπ·cosv-cosπ·sinv= 0·cosv--1·sinv= sinv
d) Bevis formelen cosv=cos-v på tilsvarende måte.
Tips til oppgaven
Sett inn en 0.
Løsning
cos-v = cos0-v= cos0·cosv+sin0·sinv= 1·cosv+0·sinv= cosv
e) Hvilke andre trigonometriske sammenhenger kan du bevise med formlene for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler?
Løsning
Vi kan bevise disse formlene fra teorisiden "Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler":
-cosv=cosπ-v , -cosv=cosπ+v , -sinv=sinπ+v , -sinv=sin-v