Njuike sisdollui
Bargobihttá

Sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler

Øv på å bruke formler for trigonometriske verdier til summer og differanser av vinkler her.

2.3.10

Bruk formlene for sum og differanse av vinkler og skriv uttrykket ved hjelp av sinv og cosv.

a) sin30°-v

Løsning

sin30°-v = sin30°·cosv-cos30°·sinv= 12·cosv-123sinv= 12cosv-3sinv

b) cos60°-v

Løsning

cos60°-v = cos60°·cosv+sin60°·sinv= 12cosv+123sinv= 12cosv+3sinv

c) sinv+45°

Løsning

sinv+45° = sinv·cos45°+cosv·sin45°= 122sinv+122cosv= 122sinv+cosv

d) cosv+45°

Løsning

cosv+45° = cosv·cos45°-sinv·sin45°= 122cosv-122sinv= 122cosv-sinv

e) 2cosv-π3

Løsning

2cosv-π3 = 2cosv·cosπ3+sinv·sinπ3 = 212cosv+123sinv= cosv+3sinv

f) 3sinx-π

Løsning

3sinx-π = 3sinx·cosπ-cosx·sinπ= 3-1·sinx-cosx·0= -3sinx

g) 3cosπ6-x

Løsning

3cosπ6-x = 3cosπ6·cosx+sinπ6·sinx= 3123cosx+12sinx= 32cosx+32sinx= 123cosx+3sinx

h) 2sinx-π4

Løsning

2sinx-π4 = 2sinx·cosπ4-cosx·sinπ4= 2122·sinx-122·cosx= sinx-cosx

2.3.11

a) Vi har eksakte verdier for sinus og cosinus til vinklene 30°, 45° og 60°. Hvilke andre vinkler i første kvadrant kan vi finne eksakte verdier for sinus og cosinus til ved hjelp av formlene for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler?

Tips til oppgaven

Prøv med ulike kombinasjoner av summer og differanser av de tre vinklene.

Løsning

Vi kan finne eksakte verdier til vinklene

45°-30°=15°
45°+30°=75°

b) Finn eksakte verdier for sinus og cosinus til de vinklene du kom fram til i oppgave a).

Løsning

sin15° = sin45°-30°= sin45°·cos30°-cos45°·sin30°= 122·123-122·12= 6-24

cos15° = cos45°-30°= cos45°·cos30°+sin45°·sin30°= 122·123+122·12= 6+24

sin75° og cos75° kan vi finne på tilsvarende måte ved å bruke at 45°+30°=75°, men det er enklere å bruke at 75° er komplementvinkelen til 15° fordi 15°+75°=90°. Vi får

sin75°=cos15°=6+24

cos75°=sin15°=6-24

c) Hvilke vinkler i andre kvadrant kan vi finne eksakte verdier for sinus og cosinus til ved hjelp av resultatet i oppgave b)?

Løsning

Vi kan finne eksakte verdier for sinus og cosinus til supplementvinklene til 15° og 75°, nemlig

180°-15° = 165°180°-75° = 105°

2.3.12

a) Finn sin3v uttrykt ved sinv og cosv.

Løsning

sin3v = sin2v+v= sin2v·cosv+cos2v·sinv= 2sinv·cosv·cosv+cos2v-sin2v·sinv= 2sinv·cos2v+sinv·cos2v-sin3v= 3sinv·cos2v-sin3v

b) Finn cos3v uttrykt ved sinv og cosv.

Løsning

cos3v = cos2v+v= cos2v·cosv-sin2v·sinv= cos2v-sin2v·cosv-2sinv·cosv·sinv= cos3v-sin2v·cosv-2sin2v·cosv=  cos3v-3sin2v·cosv

c) Finn tan3v uttrykt ved tanv.

Løsning

Vi bruker resultatet fra oppgavene a) og b).

tan3v = sin3vcos3v= 3sinv·cos2v-sin3vcos3v-3sin2v·cosv= 3sinv·cos2v-sin3vcos3vcos3v-3sin2v·cosvcos3v= 3tanv-tan3v1-3tan2v

2.3.13

Finn formler for tanu+v og tanu-v uttrykt ved tanu og tanv ved hjelp av formlene for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler.

Løsning

tanu+v = sinu+vcosu+v= sinu·cosv+cosu·sinvcosu·cosv-sinu·sinv= sinu·cosv+cosu·sinvcosu·cosvcosu·cosv-sinu·sinvcosu·cosv= tanu+tanv1-tanu·tanv

tanu-v = sinu-vcosu-v= sinu·cosv-cosu·sinvcosu·cosv+sinu·sinv= sinu·cosv-cosu·sinvcosu·cosvcosu·cosv+sinu·sinvcosu·cosv= tanu-tanv1+tanu·tanv

2.3.14

a) Bruk enhetsformelen til å finne cos2v uttrykt bare ved cosv (ikke ved sinv).

Løsning

Vi løser enhetsformelen med hensyn på sin2v.

cos2v+sin2v = 1sin2v = 1-cos2v

Da får vi

cos2v = cos2v-sin2v= cos2v-1-cos2v= 2cos2v-1

b) Gjør tilsvarende og finn cos2v uttrykt bare ved sinv.

Løsning

Vi løser enhetsformelen med hensyn på cos2v.

cos2v+sin2v = 1cos2v = 1-sin2v

Da får vi

cos2v = cos2v-sin2v= 1-sin2v-sin2v= 1-2sin2v

2.3.15

a) Bruk formelen for sinus til differansen mellom to vinkler til å bevise at cosv=sinπ2-v.

Løsning

sinπ2-v = sinπ2·cosv-cosπ2·sinv= 1·cosv-0·sinv= cosv

b) Bevis at sinv=cosπ2-v på tilsvarende måte.

Løsning

cosπ2-v = cosπ2·cosv+sinπ2·sinv= 0·cosv+1·sinv= sinv

c) Bevis at supplementvinkler har samme sinus på tilsvarende måte.

Løsning

Setningen om supplementvinkler er sinπ-v=sinv. Vi får

sinπ-v = sinπ·cosv-cosπ·sinv= 0·cosv--1·sinv= sinv

d) Bevis formelen cosv=cos-v på tilsvarende måte.

Tips til oppgaven

Sett inn en 0.

Løsning

cos-v = cos0-v= cos0·cosv+sin0·sinv= 1·cosv+0·sinv= cosv

e) Hvilke andre trigonometriske sammenhenger kan du bevise med formlene for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler?

Løsning

Vi kan bevise disse formlene fra teorisiden "Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler":

-cosv=cosπ-v ,   -cosv=cosπ+v ,    -sinv=sinπ+v ,   -sinv=sin-v