Omvendte trigonometriske funksjoner

Du har brukt omvendte trigonometriske funksjoner i matematikk 1T når du for eksempel skulle gå fra en sinusverdi til en vinkel. Her skal vi ta dette et skritt videre.

Du kan lese mer om omvendte funksjoner på sidene for dette under hovedemnet "Funksjonsanalyse og modellering" i matematikk R1.

Den omvendte funksjonen $$ f^{-1}$$ til en funksjon $$ f$$ er slik at

$$ f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x$$

Hva står det egentlig i denne likningen? Prøv å forklare med egne ord.

For eksempel vil den omvendte funksjonen $$ f^{-1}$$ til funksjonen $$ f\left(x\right)=2x$$ være $$ f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}$$ fordi at for å oppheve effekten av å multiplisere med 2 må vi dividere med 2.

Én-entydighet

Ikke alle funksjoner har omvendte funksjoner. Forklar hvorfor funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2, D_f=\mathrm{ℝ}$$ ikke har en omvendt funksjon.

En omvendt funksjon kan bare peke tilbake på én $$ x$$-verdi, ellers er den ikke en funksjon.

Hva kan vi gjøre med funksjonen $$ f$$ i dette eksempelet for at den skal ha en omvendt funksjon?

Hva blir den omvendte funksjonen $$ f^{-1}$$ til $$ f\left(x\right)=x^2, D_f=[0,\to \rangle $$?

I dette tilfellet sier vi at funksjonen $$ f$$ er én-entydig siden det til hver $$ y$$-verdi tilsvarer bare én $$ x$$-verdi (i tillegg til at det til hver $$ x$$-verdi tilsvarer bare én $$ y$$-verdi, som det må være for at $$ f$$ skal være en funksjon).

I oppgave 2.1.4 a) blir du bedt om finne to vinkler som er slik at $$ \sin v=\frac{1}{2}$$. Fra enhetssirkelen på figuren har vi at dette er oppfylt for vinklene $$ \frac{\pi }{6}$$ og $$ \frac{5\pi }{6}$$ målt i radianer. Da bruker vi den omvendte funksjonen til sinusfunksjonen når vi går tilbake fra en sinusverdi til en vinkel. Sinusfunksjonen gjør det motsatte: tar oss fra en vinkel til en sinusverdi.

Den omvendte funksjonen $$ f^{-1}$$ kan ikke returnere to vinkler. Hva må vi gjøre med $$ f$$ for at den skal ha en omvendt funksjon?

Vi må begrense definisjonsområdet til $$ f\left(x\right)=\sin x$$ slik at funksjonen blir én-entydig dersom den omvendte funksjonen skal eksistere. På figuren har vi tegnet grafen til $$ f$$. Forklar hvorfor vi ikke kan bruke første omløp som definisjonsmengde.

Kan du foreslå en definisjonsmengde for $$ f$$ som gjør at funksjonen blir én-entydig?

For å lette arbeidet med omvendte trigonometriske funksjoner er det bestemt internasjonalt at når $$ f\left(x\right)=\sin x$$, $$ D_f=\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$, skriver vi den omvendte funksjonen $$ f^{-1}\left(x\right)$$ som

$$ f^{-1}\left(x\right)=\arcsin x$$

målt i radianer. (En tilsvarende definisjon finnes dersom vinklene blir oppgitt i grader.)

Er grafen til $$ f$$ én-entydig i dette området?

Hva blir verdimengden og definisjonsmengden til $$ f^{-1}, V_{f^{-1}}$$ og $$ D_{f^{-1}}$$?

Den omvendte funksjonen $$ f^{-1}$$ kan skrives på to måter:

$$ f^{-1}\left(x\right)=\arcsin x={\sin }^{-1}x$$

På sidene våre vil vi bruke den første varianten.

På figuren har vi tegnet grafen til $$ f$$ og $$ f^{-1}$$ i det samme koordinatsystemet. Merk at vi må avgrense grafen til $$ f$$ ved hjelp av for eksempel kommandoen "Funksjon". Det trenger vi ikke gjøre med grafen til $$ f^{-1}$$

Ut fra den forhåndsbestemte verdimengden til $$ \arcsin x$$ får vi at

$$ f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$$

Hva blir $$ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$$?

Resultat

Vi kan lese av på figuren litt lenger opp på siden at

$$ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$$

Nedenfor har vi funnet verdien grafisk med GeoGebra ved å tegne $$ f\left(x\right)=\sin x$$ og linja $$ y=-\frac{1}{2}$$ og bruke verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Det eksisterer tilsvarende omvendte funksjoner for cosinusfunksjonen og for tangensfunksjonen. Nedenfor er en oversikt over dem.

Du blir bedre kjent med de omvendte funksjonene til cosinus- og tangensfunksjonen i oppgavene.

Omvendte trigonometriske funksjoner med GeoGebra

GeoGebra forstår begge skrivemåtene for de omvendte funksjonene. Bildet viser bruk av den omvendte funksjonen til sinus.

Vi setter nå $$ f^{-1}\left(x\right)=g\left(x\right)$$ for å slippe å ha både $$ -1$$ og deriverttegnet samtidig på samme sted. Fra matematikk R1 har vi resultatet

$$ g^{\text{'}}\left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left(x\right)}$$

Det betyr at vi kan regne ut verdier for den deriverte til en omvendt funksjon $$ g$$ ut ifra den deriverte til den opprinnelige funksjonen $$ f$$.

Fra R1 har vi at en funksjon ikke er deriverbar i endepunktene i et intervall. $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=\cos x$$ vil derfor bare eksistere i det åpne intervallet $$ \langle -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\rangle $$. Tilsvarende vil den deriverte funksjonen $$ g^{\text{'}}\left(x\right)$$ bare være definert i det åpne intervallet $$ \langle -1,1\rangle $$.

Eksempel

Regn ut $$ g^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)$$ når $$ f\left(x\right)=\sin x$$.

Vi har ut ifra verdimengden til $$ g\left(x\right)=\arcsin x$$ (og definisjonsmengden til $$ f$$) at

$$ f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$$

Vi har også at

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=\cos x$$

Da får vi at

$$ g^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{f^{\text{'}}\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}=\frac{1}{\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$$

Kan vi finne et eksplisitt uttrykk for den deriverte til $$ \mathbf{arcsin}\mathit{x}$$?

Svaret på det er ja. Nedenfor viser vi at

$$ g^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Det er vanskelig å bruke definisjonen til den deriverte for å finne $$ g^{\text{'}}$$. Vi går heller fram slik:

Vi har at

$$ \sin \left(\arcsin x\right)=x$$

Vi setter $$ \arcsin x=v$$ og deriverer (med hensyn på $$ x$$) på begge sider og får med bruk av kjerneregelen at

$$ \begin{array}{rcl}{\left(\sin v\right)}^{\text{'}} & =& {\left(x\right)}^{\text{'}}\\ \cos v·v^{\text{'}} & =& 1\\ v^{\text{'}} & =& \frac{1}{\cos v}\end{array}$$

Hva er $$ v^{\text{'}}$$ det samme som?

Vi kommer videre ved å erstatte $$ \cos v$$ med $$ \sin v$$ siden $$ \sin v=\sin \left(\arcsin x\right)=x$$. Det får vi til ved hjelp av enhetsformelen $$ {\cos }^{2}v+{\sin }^{2}v=1$$, som gir

$$ \begin{array}{rcl}{\cos }^{2}v & =& 1-{\sin }^{2}v\\ \cos v & =& \sqrt{1-{\sin }^{2}v}\end{array}$$

Vi får til slutt

$$ \begin{array}{rcl}{g}^{\text{'}}\left(x\right) & =& v^{\text{'}}\\ & =& \frac{1}{\cos v}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}v}}\\ & =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{array}$$

Vi kan finne tilsvarende uttrykk for den deriverte av de andre omvendte trigonometriske funksjonene.

Et spørsmål til slutt: Hvorfor trenger vi ikke ta med (eller bry oss om) løsningen $$ \cos v=-\sqrt{1-{\sin }^{2}v}$$ , som vi også får ut ifra enhetsformelen?

Nedenfor er en oversikt over den deriverte til de omvendte trigonometriske funksjonene.

Du blir bedre kjent med den deriverte til de omvendte funksjonene til cosinus- og tangensfunksjonen i oppgavene.