Grafen til trigonometriske funksjoner

Siden definisjonsmengden til funksjonen er alle reelle tall, vil funksjonen ha uendelig mange topp-, bunn- og nullpunkter. Disse skriver vi ved hjelp av det hele tallet $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$. Se teorisiden "Grafen til sinus- og cosinusfunksjonen".

Vi ser at avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkter og mellom to nabobunnpunkter er 2π. Ett av toppunktene er $$ \left(0,1\right)$$, og ett av bunnpunktene er $$ \left(\pi ,-1\right)$$. Det betyr at

• toppunktene til $$ f$$ er $$ \left(k·2\pi ,1\right)$$

• bunnpunktene til $$ f$$ er $$ \left(\pi +k·2\pi ,-1\right)$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser at det er samme avstand, π, mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for $$ x=\frac{\pi }{2}$$. Det betyr at

• nullpunktene til $$ f$$ er $$ \frac{\pi }{2}+k·\pi $$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser av grafen at vi får

• ett toppunkt $$ \left(0,1\right)$$

• ett bunnpunkt $$ \left(\pi ,-1\right)$$

• to nullpunkter for $$ x=\frac{\pi }{2}$$ og $$ x=\frac{3\pi }{2}$$

Merk at toppunktet $$ \left(2\pi ,1\right)$$ er utenfor definisjonsmengden til $$ f$$ her.

Vi ser av grafen at mønsteret gjentar seg for eksempel for hvert toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkt, som er 2π. Dette er det samme som perioden til $$ g\left(x\right)=\sin x$$.

Hvis vi sammenlikner grafen til $$ f$$ med grafen til $$ g\left(x\right)=\sin x$$, ser vi at grafen til $$ f$$ er forskjøvet $$ \frac{\pi }{4}$$ til venstre i forhold til grafen til $$ g$$.

Vi ser at avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkter og mellom to nabobunnpunkter er 2π. Ett av toppunktene er $$ \left(\frac{\pi }{4},1\right)$$, og ett av bunnpunktene er $$ \left(\frac{5\pi }{4},-1\right)$$. Det betyr at

• toppunktene til $$ f$$ er $$ \left(\frac{\pi }{4}+k·2\pi ,1\right)$$

• bunnpunktene til $$ f$$ er $$ \left(\frac{5\pi }{4}+k·2\pi ,-1\right)$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser at det er samme avstand, π, mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for $$ x=\frac{3\pi }{4}$$. Det betyr at

• nullpunktene til $$ f$$ er $$ \frac{3\pi }{4}+k·\pi $$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser av grafen at vi får

• to toppunkter, $$ \left(\frac{\pi }{4},1\right)$$ og $$ \left(\frac{9\pi }{4},1\right)$$

• to bunnpunkter, $$ \left(\frac{5\pi }{4},-1\right)$$ og $$ \left(\frac{13\pi }{4},-1\right)$$

• fire nullpunkter, $$ \frac{3\pi }{4}, \frac{7\pi }{4}, \frac{11\pi }{4}$$ og $$ \frac{15\pi }{4}$$

Vi ser av grafen at mønsteret gjentar seg for eksempel for hvert toppunkt. Perioden blir derfor lik avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkt, som er 2π.

Merk at dette er det samme som perioden til $$ g\left(x\right)=\sin x$$. Det ser altså ikke ut til at et tillegg til argumentet $$ x$$ til sinusfunksjonen påvirker perioden.

Forskjellen på grafen til $$ f$$ og grafen til $$ g$$ er at for hvert toppunkt grafen til $$ f$$ har, har grafen til $$ g$$ to. Det blir tilsvarende når det gjelder bunnpunkter og nullpunkter. Vi kan også si at grafen til $$ f$$ går dobbelt så raskt opp og ned som grafen til $$ g$$.

Vi ser at avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkter og mellom to nabobunnpunkter er 2π. Ett av toppunktene er $$ \left(\frac{\pi }{4},1\right)$$, og ett av bunnpunktene er $$ \left(\frac{3\pi }{4},-1\right)$$. Det betyr at

• toppunktene til $$ f$$ er $$ \left(\frac{\pi }{4}+k·\pi ,1\right)$$

• bunnpunktene til $$ f$$ er $$ \left(\frac{3\pi }{4}+k·\pi ,-1\right)$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser at det er samme avstand, $$ \frac{\pi }{2}$$, mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for $$ x=0$$. Det betyr at

• nullpunktene til $$ f$$ er $$ k·\frac{\pi }{2}$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser av grafen at vi får

• to toppunkter, $$ \left(\frac{\pi }{4},1\right)$$ og $$ \left(\frac{5\pi }{4},1\right)$$

• to bunnpunkter, $$ \left(\frac{3\pi }{4},-1\right)$$ og $$ \left(\frac{7\pi }{4},-1\right)$$

• fire nullpunkter, $$ 0, \frac{\pi }{2}, \pi $$ og $$ \frac{3\pi }{2}$$

Merk at nullpunktet $$ 2\pi $$ er utenfor definisjonsmengden til $$ f$$.

Siden avstanden mellom to nabotoppunkter er π, er perioden for funksjonen π. Dette så vi også i oppgave a).

Merk at ruteavstanden i $$ x$$-retning er $$ \frac{\pi }{6}$$ på bildet over. Vi ser at avstanden i $$ x$$-retning mellom to nabotoppunkter og mellom to nabobunnpunkter er $$ \frac{2\pi }{3}$$. Ett av toppunktene er $$ \left(0,1\right)$$, og ett av bunnpunktene er $$ \left(\frac{\pi }{3},-1\right)$$. Det betyr at

• toppunktene til $$ f$$ er $$ \left(k·\frac{2\pi }{3},1\right)$$

• bunnpunktene til $$ f$$ er $$ \left(\frac{\pi }{3}+k·\frac{2\pi }{3},-1\right)$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser at det er samme avstand, $$ \frac{\pi }{3}$$, mellom to nabonullpunkter. Vi har et nullpunkt for $$ x=\frac{\pi }{6}$$. Det betyr at

• nullpunktene til $$ f$$ er $$ \frac{\pi }{6}+k·\frac{\pi }{3}$$

når $$ k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.

Vi ser av grafen at vi får

• tre toppunkter, $$ \left(0,1\right), \left(\frac{2\pi }{3},1\right)$$ og $$ \left(\frac{4\pi }{3},1\right)$$

• tre bunnpunkter, $$ \left(\frac{\pi }{3},-1\right), \left(\pi ,-1\right)$$ og $$ \left(\frac{5\pi }{3},-1\right)$$

• seks nullpunkter, $$ \frac{\pi }{6}, \frac{\pi }{2}, \frac{5\pi }{6}$$, $$ \frac{7\pi }{6}, \frac{3\pi }{2}$$ og $$ \frac{11\pi }{6}$$

Siden avstanden mellom to nabotoppunkter er $$ \frac{2\pi }{3}$$, er perioden for funksjonen $$ \frac{2\pi }{3}$$. Dette er en tredjedel av perioden til $$ g\left(x\right)=\cos x$$, som vi vet har periode lik 2π (se oppgave 2.2.1 c)). Vi kan også si at grafen til $$ f$$ går tre ganger så raskt opp og ned som grafen til $$ g$$.

Sett opp en oversikt over perioden til funksjonene du har sett på i disse oppgavene.

Ut ifra det vi har sett i oppgavene over, ser det ut som om funksjonen $$ h$$ har perioden $$ \frac{2\pi }{a}$$ hvis vi følger mønsteret. Ut ifra hva vi har sett, kan vi anta at $$ \sin kx$$ har samme periode som $$ \cos kx$$.

Siden $$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$ og vi vet at sinus- og cosinusfunksjonene er periodiske, må også tangensfunksjonen være periodisk. Her ser det ut som om mønsteret til grafen i intervallet $$ [0,\pi ⟩$$ gjentar seg. Perioden til funksjonen er altså π.

Det ser ikke ut som om grafen har noen topp- eller bunnpunkter. Det har sammenheng med at funksjonen ikke kan eksistere der $$ \cos x=0$$. Når $$ \cos x$$ nærmer seg 0, vokser $$ \tan x$$ over alle grenser. Når du har lært å derivere tangensfunksjonen, kan du vise at den deriverte alltid er positiv.

Avstanden mellom to nabonullpunkter er π. Siden funksjonen har et nullpunkt for $$ x=0$$, kan vi skrive nullpunktene som $$ k·\pi , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$$.