Vi skal jobbe oss fram til den deriverte til funksjonen f(x)=sinx.
Utforsk stigningstallet til tangenten til grafen til sinusfunksjonen
Den deriverte
Husker du tre måter å beskrive den deriverte på?
Den deriverte
Den deriverte kan beskrives som
stigningstallet til tangenten til grafen til funksjonen
den momentane vekstfarten til funksjonen
Den deriverte til sinx grafisk
I det interaktive GeoGebra-arket nedenfor har vi tegnet grafen til fx=sinx der x er målt i grader. En tangent til et punkt på grafen er også tegnet, og du kan dra punktet rundt på grafen og lese av stigningstallet til tangenten (a på figuren).
Bruk GeoGebra-arket til å finne verdier for den deriverte til f og fylle ut verditabellen nedenfor.
x
0
π2
π
3π2
2π
5π2
f'(x)
Resultat
De verdiene vi leser av som stigningstallet til tangenten, er verdier for den deriverte til f.
x
0
π2
π
3π2
2π
5π2
f'(x)
1
0
-1
0
1
0
Vi skal nå prøve å tenke oss fram til hva den deriverte funksjonen til f er.
Hvorfor må f' være en periodisk funksjon, og hva er perioden til f'?
Forklaring
Siden f er en periodisk funksjon, må f' være det også. f' må ha samme periode som f. Dette ser vi stemmer med resultatene i tabellen i det forrige spørsmålet. Verdiene til den deriverte funksjonen gjentar seg når vi har gått ett omløp. Det betyr at perioden til f' er 2π, det samme som f.
Hvilken periodisk funksjon er det som passer til tallene i verditabellen?
Svar
Når vi sammenlikner verdiene fra tabellen med de tilsvarende verdiene for cosinus, ser vi at de er like. Det ser derfor ut som at f'x=cosx. Vi skal bevise at dette er tilfellet lenger ned.
Den deriverte til sinx med CAS
Skriv inn funksjonen fx=sinx i CAS i GeoGebra. Skriv deretter f'(x) på neste linje. Hva får du?
Resultat
Derivasjon med CAS gir oss også at f'x=cosx.
Definisjonen av den deriverte brukt på sinusfunksjonen
Vi prøver å sette fx=sinx inn i definisjonen til den deriverte.
f'x=lim∆x→0fx+∆x-fx∆x=lim∆x→0sinx+∆x-sinx∆x
For å komme videre trenger vi en trigonometrisk sammenheng for sinus til en sum av vinkler:
Vi har delt opp uttrykket for å gjøre behandlingen videre enklere. I siste overgang har vi satt faktorene sinx og cosx utenfor grenseverdiene siden de ikke har med ∆x å gjøre og er konstante når ∆x varierer.
For å komme videre må vi finne de to grenseverdiene i boksen over. Vi starter med den andre grenseverdien.
Den andre grenseverdien
Den andre grenseverdien kan skrives som limv→0sinvv dersom vi setter v=∆x for å gjøre utregningen videre tydeligere. Vi kan ikke regne ut denne grenseverdien med vanlige metoder. Vi bruker geometrien i enhetssirkelen for å komme videre.
Vi skal komme fram til svaret ved å sammenlikne arealene av trekanten ABO, trekanten QPO og sirkelsektoren OAP. Se figuren.
Hvilken av de tre figurene har størst areal, og hvilken av dem har minst areal?
Forklaring
Ut ifra figuren har trekanten ABO størst areal. Trekanten QPO har minst areal. Sirkelsektoren OAP må ha areal som ligger mellom arealet til de to trekantene. Vi kan skrive dette som den doble ulikheten
A△QPO≤A⌔OAP≤A△ABO
De tre arealene kan bare være like hvis v=0. (Da er arealene null.) Vi forutsetter inntil videre at v∈〈0,π2〉. Da unngår vi problemer med noen av figurene siden både cosvog sinv er større enn null, og vi kan skrive
A△QPO<A⌔OAP<A△ABO
Hva blir arealene til de tre figurene?
Svar
A△QPO=g·h2=sinv·cosv2
A△ABO=tanv·12=tanv2
Arealet av sirkelsektoren er arealet av en sirkel med radius 1 multiplisert med den brøkdelen buelengden AP (◠AP) utgjør av hele sirkelomkretsen.
A⌔OPA=π·12·◠AP2·π·1=◠AP2=v2
I den siste overgangen har vi brukt definisjonen på en vinkel målt i radianer, som sier at vinkelen er buelengden delt på radien, v=br, med radien lik 1. Formelen gjelder bare når vinkelen måles i radianer, men det har vi alt forutsatt lenger oppe.
Bruker vi resultatet i boksen over, kan vi omforme den doble ulikheten til
sinv·cosv2<v2<tanv2
Siden vi har antatt over at v ligger i første kvadrant (v∈〈0,π2〉), kan vi multiplisere den doble ulikheten med brøken 2sinv uten at det skaper problemer fordi 2sinv>0.
Uttrykket i midten er nå den inverterte av brøkuttrykket som vi skal finne grenseverdien til. Vi inverterer derfor ulikheten. Det betyr at vi ser på hver side av ulikhetstegnene som brøker og snur dem. Hva får vi da?
Resultat
cosv<vsinv<1cosv1cosv>sinvv>cosv
Vi må snu alle ulikhetstegnene ved inverteringen. Husk at 7 er større enn 6, men 17 er mindre enn 16!
Vi hadde opprinnelig en grenseverdi der v→0. Hvorfor kan vi, ut ifra den siste ulikheten, si at
limv→0sinvv=1
Forklaring
Vi lar nå v→0 i de to ytterste uttrykkene.
limv→01cosv=11=1
limv→0cosv=1
Siden uttrykket sinvv må ligge mellom de to andre uttrykkene, må derfor også sinvv gå mot 1 når v går mot 0 fordi de andre gjør det.
Den første grenseverdien
Den første grenseverdien inneholder uttrykket cosv-1v dersom vi setter v=∆x slik som ovenfor.
Gjør følgende:
Multipliser teller og nevner i uttrykket med cosv+1.
Bruk sammenhengen cos2v+sin2v=1, som vi viser på teorisiden "Enhetsformelen, supplement- og komplementvinkler", til å fjerne cos2v fra telleren. (NB: cos2v betyr cosv2.)
Vi finner grenseverdien ved å skille ut faktoren sinvv fra uttrykket og bruke resultatet for grenseverdien til denne ovenfor. Prøv om du ut ifra dette klarer å vise at