Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning
Disse begrepene er viktige i forbindelse med sinusfunksjoner og sinuskurver. Bli bedre kjent med dem her! Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.
Oppgave 1
a) Lag en skisse i et koordinatsystem av grafen til en faseforskjøvet sinusfunksjon. Grafen skal ha et bunnpunkt for , og likevektslinja skal ikke være x-aksen. Marker perioden, likevektslinja, amplituden og faseforskyvningen på figuren.
Løsning
Husk at faseforskyvningen går til det skjæringspunktet mellom grafen og likevektslinja der grafen er stigende.
Her er faseforskyvningen positiv (som betyr at tallet φ i den generelle sinusfunksjonen er negativt).
b) Hva er periode, likevektslinje, amplitude og faseforskyvning til funksjonen som er tegnet i løsningsboksen over? Finn funksjonsuttrykket som gir denne grafen.
Løsning
Perioden kan vi lese av mellom x-verdiene π4 og 5π4. Vi får p=5π4-π4=π.
Likevektslinja er y=1.
Maksimalverdien til sinusfunksjonen er 3. Det betyr at amplituden A=3-1=2.
Faseforskyvningen er xf=π4.
c) Finn uten hjelpemidler funksjonsuttrykket som gir denne grafen.
Løsning
Den generelle sinusfunksjonen kan skrives som
fx=Asin(kx+φ)+d
Vi har fra oppgave b) at
amplituden er 2, som gir A=2
likevektslinja er y=1, som gir d=1
perioden er π, som gir p=2πk=π⇔k=2
faseforskyvningen er π4, som girxf=-φk=π4φ=-π4·k=-π4·2=-π2
Funksjonsuttrykket blir
fx=2sin2x-π2+1
Vi skriver den generelle sinusfunksjonen som
fx=Asin(kx+φ)+d
d) Forklar med ord hva størrelsene A,k,φ og d i den generelle sinusfunksjonen står for, og hvilken betydning de har.
Løsning
A står for amplituden til funksjonen og forteller hvor langt grafen til funksjonen svinger ut fra likevektslinja.
k er et tall som forteller noe om perioden p til sinusfunksjonen. Sammenhengen er at p=2πk. Perioden er avstanden i x-retning fra et punkt på grafen til neste punkt der grafen er i samme svingetilstand. I noen sammenhenger kaller vi k for frekvens fordi den sier noe om antall svingninger per enhet i x-retning.
Tallet φ forteller noe om hvor stor faseforskyvningen til sinusfunksjonen er. Faseforskyvningen xf er gitt ved tallet -φk. Det betyr at grafen er forskjøvet -φk i x-retning i forhold til grafen til en funksjon der φ=0.
Linja y=d er likevektslinja grafen til funksjonen svinger om.
Oppgave 2
Finn uten hjelpemidler funksjonsuttrykket til funksjonene som det er tegnet graf til.
a)
Løsning
Vi leser først av maksimalverdien fmaks og minimalverdien fmin til funksjonen.
fmaks=1,fmin=-3
Så regner vi ut amplituden A og tallet d, som er y-verdien til likevektslinja:
A=fmaks-fmin2=1--32=2
d=fmaks-A=1-2=-1
Vi leser av perioden p som avstanden mellom to av toppunktene. Vi får
p=π
Dette gir
p=2πk⇔k=2πp=2ππ=2
Vi finner det skjæringspunktet mellom likevektslinja og stigende graf som er nærmest y-aksen. Det er punktet -π4,-1. Det betyr at faseforskyvningen xf er
xf=-π4
Dette gir
xf=-φk⇔φ=-k·xf=-2·-π4=π2
Dermed blir funksjonsuttrykket
fx=Asinkx+φ+d=2sin2x+π2-1
Hjelpefigur:
b)
Løsning
fmaks=1,5,fmin=-0,5
A=fmaks-fmin2=1,5--0,52=1
d=fmaks-A=1,5-1=0,5
p=8,5π-2,5π=6π
k=2πp=2π6π=13
xf=π
φ=-k·xf=-π·13=-π3
Dermed blir funksjonsuttrykket
fx=Asinkx+φ+d=sinx3-π3+0,5
c)
Løsning
fmaks=0,fmin=-3
A=fmaks-fmin2=0--32=32
d=fmaks-A=0-32=-32
p=3π4-π4=2π4=π2
k=2πp=2ππ2=4
xf=π8
φ=-k·xf=-4·π8=-π2
Dermed blir funksjonsuttrykket
fx=Asinkx+φ+d=32sin4x-π2-32
d)
Løsning
fmaks=1,2,fmin=0,8
A=fmaks-fmin2=1,2-0,82=0,2=15
d=fmaks-A=1,2-0,2=1
Vi ser at grafen er i samme svingetilstand når x=6π som når x=18π. Perioden blir
p=18π-6π=12π
k=2πp=2π12π=16
xf=-3π2
φ=-k·xf=-16·-3π2=π4
Dermed blir funksjonsuttrykket
fx=Asinkx+φ+d=15sinx6+π4+1
e) I oppgave d) brukte vi skjæringspunktet mellom likevektslinja og grafen der x=-3π2 når vi skulle bestemme faseforskyvningen. Vis at dersom vi i stedet velger skjæringspunktet der x=21π2, kommer vi fram til funksjonsuttrykket gx=15sinx6-7π4+1.
Løsning
Løsningen blir som i oppgave d) til vi kommer til faseforskyvningen, der vi nå får
xf=21π2
Dette gir
φ=-k·xf=-16·21π2=-7π4
Funksjonsuttrykket blir
gx=15sinx6-7π4+1
f) Forklar hvorfor funksjonen g i e) er samme funksjon som f i oppgave d).
Tips til oppgaven
Stikkordet er periode.
Løsning
Alt er likt i de to funksjonsuttrykkene bortsett fra φ. Vi har at perioden til funksjonene er 12π. Det betyr at dersom vi for eksempel trekker 12π fra x-verdiene i f, har ikke det noen betydning for utregningen av funksjonsverdiene. Vi får
g) Kunne du ha valgt andre skjæringspunkter mellom likevektslinja og grafen når du skal finne faseforskyvningen enn de to i oppgave d) og e)? Forklar.
Løsning
De to skjæringspunktene har x-verdier som gjør at grafen er i samme svingetilstand. Det er derfor det ikke spilte noen rolle for funksjonen hvilket av disse punktene vi brukte. Av samme årsak kan vi egentlig bruke et hvilket som helst skjæringspunkt der grafen er i samme svingetilstand, det vil si at grafen er stigende, når vi skal bestemme funksjonsuttrykket.
Vi bruker i praksis ett av de to skjæringspunktene nærmest y-aksen, for det gir ikke mening å operere med en faseforskyvning som er større enn perioden til funksjonen.
Oppgave 3
Bestem størrelsene A,k,φ og d i sinusfunksjonene nedenfor. Finn også perioden og faseforskyvningen, og tegn til slutt en skisse på papir av grafen til funksjonene. Skissen av grafen må minimum inneholde to toppunkter og to bunnpunkter.
I løsningsboksene har vi tegnet funksjonene med GeoGebra. Skissene dine bør likne på disse grafene.
Funksjonen har maksimalverdi -1+2=1 og minimalverdi -1-2=-3.
En passende skala på y-aksen kan være 1.
Faseforskyvningen betyr at grafen er forskjøvet med π4 til venstre, og vi tegner ei pil mellom punktene 0,-1 og -π4,-1 for å markere faseforskyvningen.
En passende skala på x-aksen kan være π4.
Første punkt på grafen til høyre for -π4,-1 som er i samme svingetilstand, ligger én periode bort, det vil si at x=-π4+2π=-π4+8π4=7π4. Vi kan også markere punktet som ligger en halv periode bort, det vil si for x=3π4, for der vil grafen krysse likevektslinja på vei nedover.
Vi får toppunkter med y-koordinat 1. Ett av toppunktene har x-koordinat midt mellom -π4 og 3π4, det vil si π4. Vi får et nytt toppunkt i en avstand 1 periode fra det første, det vil si for x=π4+2π=π4+8π4=9π4.
Vi får bunnpunkter med y-koordinat -3. Ett av bunnpunktene har x-koordinat midt mellom 3π4 og 7π4, det vil si 5π4. Vi får et nytt bunnpunkt for eksempel for x=5π4-2π=5π4-8π4=-3π4.
Nå kan vi tegne skissen av grafen.
b) fx=3sin4x+π3-2
Løsning
A=3,k=4,φ=π3,d=-2
p=2πk=2π4=π2
xf=-φk=-π34=-π12
Likevektslinje: y=-2
Maksimalverdi: 1
Minimalverdi: -5
Skala på x-aksen: π12
Skala på y-aksen: 1 eller 2
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: -π12,-2 og 5π12,-2
Skjæringspunkt mellom likevektslinja og synkende graf :π6,-2
Toppunkter: for x=π24 og x=13π24
Bunnpunkter: for x=7π24 og x=-5π24
Nå kan vi tegne skissen av grafen:
c) fx=12sinx-π6
Løsning
A=12,k=1,φ=-π6,d=0
p=2πk=2π1=2π
xf=-φk=--π61=π6
Likevektslinje: y=0 (x-aksen)
Maksimalverdi: 12
Minimalverdi: -12
Skala på x-aksen: π6
Skala på y-aksen: 0,1 eller 0,2
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf :π6,0 og 13π6,0
Skjæringspunkt mellom likevektslinja og synkende graf :7π6,0
Toppunkter: for x=2π3 og x=8π3
Bunnpunkter: for x=5π3 og x=-π3
Nå kan vi tegne skissen av grafen:
d) fx=0,05sinx8-3π4+0,02
Løsning
A=0,05,k=18,φ=-3π4,d=0,02
p=2πk=2π18=16π
xf=-φk=--3π418=-8·-3π4=6π
Likevektslinje: y=0,02
Maksimalverdi: 0,07
Minimalverdi: -0,03
Skala på x-aksen: 2π
Skala på y-aksen: 0,01 eller 0,02
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: 6π,0.02 og 22π,0.02
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf :14π,0.02 og -2π,0.02
Toppunkter: for x=10π og x=-6π
Bunnpunkter: for x=2π og x=18π
Nå kan vi tegne skissen av grafen:
e) fx=15sin2πx+π-5
Løsning
A=15,k=2π,φ=π,d=-5
p=2π2π=1
xf=-φk=-π2π=-12
Likevektslinja er y=-5
Maksimalverdi: 10
Minimalverdi: -20
Skala på x-aksen: 12
Skala på y-aksen: 5
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: -12,-5 og 12,-5
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf: 0,-5.
Toppunkter: for x=-14 og x=34
Bunnpunkter: for x=14 og x=-34
Nå kan vi tegne skissen av grafen:
f) Finn på en sinusfunksjon selv og lag en skisse av den på samme måte som over. Kontroller skissen ved å tegne funksjonen med GeoGebra.
g) Forklar hvordan du vil gå fram dersom funksjonen du skal skissere, er på formen
fx=Asinbx+c+d
Forklar også hva tallet c egentlig står for.
Løsning
Vi skriver om funksjonsuttrykket.
fx=Asinbx+c+d=Asinbx+bc+d
Det betyr at b er det samme som k i de forrige oppgavene. Videre må bc være det samme som φ. Resten av framgangsmåten blir som før.
Sammenhengen mellom φ og bc gir
xf=-φb=-bcb=-c
c er altså det samme som faseforskyvningen, men med motsatt fortegn. Måten funksjonsuttrykket til f er skrevet på her, gjør at vi kan lese av faseforskyvningen direkte.
h) Skriv om funksjonen g nedenfor slik at den kommer på samme form som funksjonen f i oppgave g), og bruk dette til å lage en skisse av funksjonen.
gx=sinx3-π3+12
Løsning
Omskriving:
gx=sinx3-π3+12=sin13x-π+12
A=1,k=13,xf=π,d=12
p=2π13=6π
Likevektslinje: y=12
Maksimalverdi: 1,5
Minimalverdi: -0,5
Skala på x-aksen: π
Skala på y-aksen: 0,25
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og stigende graf: π,12, 7π,12 og -5π,12
Skjæringspunkter mellom likevektslinja og synkende graf: -2π,12 og 4π,12.
Toppunkter: for x=-7π2 og x=3π2
Bunnpunkter: for x=-π2 og x=-11π2
Nå kan vi tegne skissen av grafen.
Du kan se grafen tegnet i oppgave 2.2.11 b).
Oppgave 4
Hvilke av funksjonene f,g og h du ser grafen til på bildet nedenfor, er i fase?
Løsning
Grafene til f og g har topp- og bunnpunkter for de samme x-verdiene, så f og g er i fase.
Nedlastbare filer
Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.