Analyse av rasjonale funksjoner
3.1.50
Funksjonen er gitt ved
a) Finn eventuelle nullpunkter og asymptoter til
Løsning
Funksjonen
Horisontal asymptote:
Det betyr at
Vertikal asymptote:
Nevneren er null når
Det betyr at
b) Analyser monotoniegenskapene til
Løsning
Vi deriverer funksjonen og undersøker fortegnet til den deriverte.
Nevneren
Det betyr grafen alltid synker i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikke topp- eller bunnpunkter. Et fortegnsskjema for den deriverte ser derfor slik ut:
c) Bestem uten hjelpemidler krumningsforholdene og eventuelle vendepunkter til
Løsning
Vi deriverer en gang til og undersøker fortegnet til den dobbeltderiverte.
Nevneren
Grafen vender den hule sida ned når
Grafen vender den hule sida opp når
Et eventuelt vendepunkt måtte vært for
d) Lag en skisse av grafen på papir.
Løsning
Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt lett å lage en skisse av grafen uten hjelpemidler. Grafen i figuren er laget i GeoGebra, men det svært viktig at du også kan lage en skisse av grafen uten hjelpemidler.
e) Løs oppgavene a), b) og c) med CAS.
Løsning
I linje 2 finner vi asymptotene. I linje 3 finner vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finner vi eventuelle stasjonære punkter, men svaret viser at det er ingen. Vi sjekker fortegnet til den deriverte i linje 5 og får ingen løsning, som betyr at grafen synker i hele definisjonsområdet til funksjonen. I linje 6 finner vi eventuelle mulige vendepunkter, men svaret viser at det er ingen. I linje 7 sjekker vi fortegnet til den dobbeltderiverte. Vi får at grafen vender den hule sida ned når
3.1.51
Funksjonen
a) Finn eventuelle nullpunkter og asymptoter til
Løsning
Funksjonen
Vi observerer at telleren er av høyere grad enn nevneren. Da har ikke grafen til funksjonen horisontal asymptote, men en asymptotefunksjon. Vi finner asymptotefunksjonen ved å gjøre en polynomdivisjon.
Restleddet er en brøk som blir veldig liten når
Vertikal asymptote:
Nevneren er null når
Det betyr at
b) Analyser monotoniegenskapene til
Løsning
Vi deriverer funksjonen og undersøker fortegnet til den deriverte.
Nevneren
Det holder med å sjekke fortegnet til telleren for å finne ut om den deriverte er positiv eller negativ i de aktuelle intervallene.
Et fortegnsskjema for den deriverte ser derfor slik ut:
Grafen til
Grafen har et toppunkt i
c) Bestem uten hjelpemidler krumningsforholdene og eventuelle vendepunkter til
Løsning
Vi deriverer en gang til og undersøker fortegnet til den dobbeltderiverte.
Nevneren
Grafen vender den hule sida ned når
Grafen vender den hule sida opp når
Et eventuelt vendepunkt måtte vært for
d) Lag en skisse av grafen på papir.
Løsning
Nå kjenner vi noe til grafens forløp, og vi kan lage en omtrentlig skisse av grafen uten hjelpemidler. (Grafen i figuren er laget i GeoGebra.)
e) Løs oppgavene a), b) og c) med CAS.
Løsning
I linje 2 finner vi asymptotene. I linje 3 finner vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finner vi de to stasjonære punktene. Vi sjekker fortegnet til den deriverte i linje 5. I linje 6 finner vi eventuelle mulige vendepunkter, men svaret viser at det er ingen. I linje 7 sjekker vi fortegnet til den dobbeltderiverte. Vi får at grafen vender den hule sida ned når