Monotoniegenskaper og fortegnslinja til den deriverte

Monotoniegenskapene til en funksjon forteller hvor grafen til funksjonen stiger og hvor den synker.

Å analysere og tolke en funksjon betyr gjerne at vi undersøker monotoniegenskaper og bestemmer topp- og bunnpunkter på grafen. Videre kan det handle om å bestemme definisjonsmengde, verdimengde, nullpunkter, krumningsforhold og vendepunkter (mer om dette på ei annen fagstoffside).

Eksempel 1

Finn monotoniegenskapene til funksjonen $$ f$$ ut ifra grafen til funksjonen nedenfor.

Løsning

Vi observerer at grafen har toppunktet $$ \left(2, 1\right)$$. Grafen til funksjonen stiger når  $$ x<2$$  og synker når  $$ x>2$$. Monotoniegenskapene til funksjonen er derfor at

• funksjonen vokser for  $$ x<2$$
• funksjonen minker for  $$ x>2$$

Utforsking

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen $f$ gitt ved

$$ f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}x+1$$

Tegn deretter tangenter til grafen for noen $x$-verdier mellom $-2$ og $3$.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og om grafen stiger, synker eller har topp- og bunnpunkter.

Nedenfor kan du dra i det røde punktet på grafen og se hvordan stigningstallet $$ a$$ til tangenten endrer seg.

Du vil oppdage at

• stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger
• stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker
• stigningstallet til tangenten er 0 i topp- og bunnpunkter

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av $x$ grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av $x$ den synker, og når den har topp- eller bunnpunkter, ved å se på fortegnet til den deriverte. Fortegnslinjer kan hjelpe oss med dette.

Vi kan beskrive egenskapene til en funksjon ved å tegne fortegnslinjene til funksjonen og til den deriverte funksjonen.

Eksempel 2

Tegn fortegnslinjer for funksjonen og den deriverte til funksjonen i eksempel 1 over.

Løsning

Fortegnslinja til funksjonen bestemmes av om grafen ligger over eller under $$ x$$-aksen. Vi observerer at funksjonen har nullpunkter for  $$ x=1$$  og  $$ x=3$$. Det betyr at

• $$ f\left(x\right)>0$$  når  $$ 1<x<3$$
• $$ f\left(x\right)<0$$  når  $$ x<1$$  og når  $$ x>3$$
• $$ f\left(x\right)=0$$  når  $$ x=1$$  og når  $$ x=3$$

Vi fant monotoniegenskapene til funksjonen i eksempel 1. Det betyr at

• $$ f^{\text{'}}\left(x\right)>0$$  når  $$ x<2$$
• $$ f^{\text{'}}\left(x\right)<0$$  når  $$ x>2$$
• $$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$  når  $$ x=2$$

Denne informasjonen kan vi sammenfatte i et felles fortegnsskjema for $$ f$$ og $$ f^{\text{'}}$$.

Nedenfor har vi vist hvordan vi kan tegne fortegnsskjemaet inn i koordinatsystemet sammen med grafen.