Analyse av funksjoner – begreper
3.1.30
a) Analyser krumningsforholdene og finn eventuelle vendepunkter til funksjonene og
Tips til oppgaven
Du kan avgjøre om et punkt på en graf er et vendepunkt ved å se om krumningen skifter. Krumningen skifter dersom grafen går fra å vende den hule sida ned til å vende den hule sida opp, eller omvendt.
Løsning
Grafen til
Grafen til
Grafen til
(Alle verdiene vi leser av, er omtrentlige.)
b) Tegn fortegnslinjer for den dobbeltderiverte for de tre funksjonene i oppgave a).
Løsning
3.1.31
Figuren viser grafen til en funksjon
a) Tegn fortegnslinjene til
Løsning
b) Hva forteller fortegnslinjene til
Løsning
Fortegnslinja til
Fortegnslinja til
Fortegnslinja til
c) Finn eventuelle vendepunkter til grafen til
Løsning
Vi har fra fortegnslinja til
3.1.32
a) Grafen til en funksjon
Bruk informasjonen til å tegne en skisse av hvordan grafen kan se ut.
Løsning
Informasjonen om hul side gir oss at grafen må ha et vendepunkt for
Grafen er skissert nedenfor.
b) Grafen til en funksjon
Bruk informasjonen til å tegne en skisse av hvordan grafen kan se ut.
Løsning
Informasjonen om hul side gir oss at grafen må ha et vendepunkt i begge nullpunktene for den dobbeltderiverte, det vil si for
Både den deriverte og den dobbeltderiverte er null når
Grafen er skissert nedenfor.
3.1.33
Funksjonen
a) Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler og med CAS.
Løsning
Vi løser oppgaven uten hjelpemidler først og starter med å finne den dobbeltderiverte funksjonen.
Så finner vi nullpunktene til den dobbeltderiverte funksjonen.
Det er bare i nullpunktet at en lineær funksjon kan skifte fortegn. Vi kan teste med å regne ut verdier for den dobbeltderiverte på begge sider av nullpunktet.
Dette kunne vi funnet uten å regne ved å se på at den dobbeltderiverte er ei rett linje med positivt stigningstall. Da er den dobbeltderiverte mindre enn null for
Det betyr at grafen til funksjonen vender den hule sida ned når
Den dobbeltderiverte skifter fortegn ved nullpunktet, og grafen har derfor et vendepunkt for
Vendepunktet er
Vi finner det samme med CAS, se nedenfor.
b) Finn
Tips til oppgaven
Du kan bruke både resultatene fra regning uten hjelpemidler og CAS-utregningene til å løse oppgaven. Husk at det er fortegnet til den dobbeltderiverte i et stasjonært punkt som avgjør om punktet er et toppunkt, et bunnpunkt eller et terrassepunkt.
Husk også at de stasjonære punktene er der den deriverte er null.
Løsning
Først finner vi nullpunktene til den deriverte.
Grafen har to stasjonære punkter.
Vi får fra oppgave a) at grafen vender den hule sida ned når
3.1.34
Funksjonen
a) Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler og med CAS.
Løsning
Den dobbeltderiverte funksjonen er en konstant som er større enn null. Det betyr at grafen til funksjonen vender den hule sida opp hele tida. Da kan den ikke ha noe vendepunkt.
Vi finner det samme med CAS.
I linje 2 får vi ingen løsning, og i linje 3 får vi at alle reelle tall er løsning.
b) Finn
Løsning
Først finner vi nullpunktene til den deriverte.
Grafen har ett stasjonært punkt. Vi har fra oppgave a) at den dobbeltderiverte er større enn null for alle
(Ellers visste vi fra før at grafen til en andregradsfunksjon med positivt tall foran andregradsleddet har ett bunnpunkt.)
3.1.35
Funksjonen
Finn eventuelle stasjonære punkter og vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen med CAS.
Løsning
Linje 2 gir at det er ett stasjonært punkt, for
Linje 4 gir også at grafen vender den hule sida ned når
Grafen til funksjonen har ingen topp- eller bunnpunkter.
3.1.36
a) Funksjonen
Finn eventuelle stasjonære punkter og vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen med CAS.
Løsning
Merk at i linje 5 har vi satt opp tre utregninger på listeform for å spare plass. Vi kunne også delt det opp i én utregning på tre linjer.
Linje 2 gir at det er to stasjonære punkter, for
Det andre vendepunktet,
Linje 4 gir også at det andre stasjonære punktet,
Oppsummering av punktene:
vendepunkter:
og0 , - 2 2 , 2 terrassepunkt:
2 , 2 bunnpunkt:
- 1 , - 19 4
b) Funksjonen
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler og med CAS.
Løsning
Linje 2 gir at det er ett stasjonært punkt for
Linje 4 og linje 5 gir at det stasjonære punktet,
3.1.37
a) Er alle de stiplede linjene på figuren tangenter til grafen til
Løsning
Ja. Alle fire ser ut til å tangere grafen i de fire røde punktene. (Husk at en tangent godt kan krysse grafen!)
b) Hvilke av linjene
Tips til oppgaven
Husk at vendetangenter er tangenter som går gjennom vendepunktene til grafen til en funksjon.
Løsning
Det ser ut som at grafen har vendepunkter for
c) Finn likningen til vendetangentene.
Løsning
Tangenten
Tangenten
d) Finn eventuelle ekstremalpunkter til grafen i a). Avgjør om andrekoordinaten til hvert ekstremalpunkt er en lokal eller absolutt ekstremalverdi.
Løsning
Grafen har et bunnpunkt i
Funksjonen har lokalt og absolutt minimum (minimalverdi)
3.1.38
Figuren viser grafen til en funksjon
a) Bruk figuren, ved å flytte på punktet og lese av punktkoordinatene og likningen til tangenten, til å finne eventuelle
nullpunkter til
g topp- og bunnpunkter
lokale og absolutte ekstremalverdier
vendepunkter
vendetangenter
Fiillat
Tips til oppgaven
Det er lurt å følge med på stigningstallet til tangenten når du skal finne ekstremalpunkter og vendepunkter.
Løsning
Nullpunktene er
Grafen har et toppunkt for
Grafen har et bunnpunkt for
Funksjonen har absolutt minimum
Grafen har vendepunktene
Vendetangentene, i samme rekkefølge som vendepunktene de hører til, er
b) Tegn fortegnslinjene til
Løsning
c) Hva forteller fortegnslinjene til
Løsning
Fortegnslinja til
Fortegnslinja til
Fortegnslinja til
3.1.39
Funksjonen
Finn uten hjelpemidler og med CAS
eventuelle ekstremalpunkter og lokale og absolutte ekstremalverdier
eventuelle vendepunkter
eventuelle vendetangenter
Løsning
Vi vet fra før at grafen til en tredjegradsfunksjon som ikke har avgrenset definisjonsmengde, ikke kan ha noen absolutte ekstremalverdier.
Vi deriverer
Vi setter først
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt. Alternativt kan vi bruke dobbeltderiverttesten.
Vi kan da sette opp fortegnslinja til
Vi ser av fortegnslinja at grafen til
Den tilhørende lokale maksimalverdien er
Toppunktet er
Grafen til
Den tilhørende lokale minimalverdien er
Bunnpunktet er
Vi setter så
Vi har at den dobbeltderiverte er ei rett linje med positivt stigningstall. Da er den dobbeltderiverte mindre enn null for
Vi har derfor et vendepunkt for
Vendepunktet er
For å finne vendetangenten trenger vi
Vendetangenten blir
3.1.40 Funksjonsanalyse med Python
Å drive med funksjonsanalyse med Python er ikke alltid enkelt. I denne oppgaven skal vi vise et eksempel på hva vi kan gjøre med Python med utgangspunkt i forrige oppgave der funksjonen
a) Skriv koden til en egendefinert funksjon f(x)
som regner ut funksjonsverdier til
Løsning
def f(x):
return x**3 - 3*x**2 - 9*x + 10
Når vi skal gjøre beregninger av den deriverte med Python, kan vi bruke tilnærmingen
og bruke en veldig liten verdi for
b) Skriv koden til en egendefinert funksjon df(x)
som regner ut tilnærmede verdier for den deriverte ved hjelp av Newtons koeffisient. Sett
Tips til oppgaven
Bruk den egendefinerte funksjonen f
fra oppgave a) inni funksjonen df
.
Løsning
def df(x):
return (f(x+0.0001) - f(x))/0.0001
c) Vi ønsker å finne en tilsvarende måte å regne ut tilnærmede verdier for den dobbeltderiverte funksjonen
Finn et tilnærmet uttrykk for den dobbeltderiverte ved å ta utgangspunkt i tilnærmingen for den deriverte, Newtons koeffisient.
Tips til oppgaven
Betrakt
Løsning
Vi bruker det tilnærmede uttrykket for den deriverte når funksjonen som skal deriveres, er
d) Skriv kode som løser oppgave 3.1.39 med Python. Bruk resultatene i a), b) og c). Programmet skal lage svarsetninger av typen "Funksjonen har et bunnpunkt i (1.00, -4.00).".
Tips til oppgaven
For å finne nullpunkter til for eksempel den deriverte kan vi lage ei løkke der
Denne testen vil ikke finne terrassepunkter, det vil si punkter der både den deriverte og den dobbeltderiverte er null. Årsaken til det er at den deriverte ikke skifter fortegn der, og da kan aldri produktet
Dette er likevel ikke en helt sikker test og vil ikke fungere på alle typer funksjoner, siden det kan tenkes at den deriverte i et vendepunkt er ganske liten (men ikke helt lik null).
Hva er det aktuelle området for
For å finne likningen for vendetangenten tar vi utgangspunkt i ettpunktsformelen
der
Løsning
Forslag til kode:
Vi får følgende utskrift:
"Funksjonen har toppunkt i (-1.00, 15.00).
Funksjonen har bunnpunkt i (3.00, -17.00).
Funksjonen har vendepunkt i (1.00, -0.99).
Vendetangenten har likningen y = -12.00x+11.00."
Dette programmet fungerer fint på denne funksjonen. Det er ikke sikkert at det fungerer på alle typer funksjoner. Prøv gjerne programmet på de andre oppgavene på denne siden, for eksempel oppgave 3.1.35 og 3.1.36. Til vanlig vil vi ikke bruke Python til funksjonsanalyse, men det kan være greit å bruke på funksjoner som er vanskelige å analysere på annen måte.
Kommentar til koden:
I linje 39 har vi lagt til en "+" i formateringskoden til utskriften. Plusstegnet tvinger Python til å ta med fortegnet til variabelen enten det er pluss eller minus. På denne måten blir det alltid riktig tegn foran det konstante leddet i tangentlikningen.
3.1.41
a) Funksjonen
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler.
Løsning
Vi vet at vi kan finne vendepunkter der hvor den dobbeltderiverte skifter fortegn.
Derfor finner vi et uttrykk for den dobbeltderiverte.
Vi viser regning for hånd, men løs gjerne oppgaven i CAS også.
Vi observerer at den dobbeltderiverte er positiv eller lik 0 i hele definisjonsområdet. Det betyr at vi ikke har noen vendepunkter, og at
b) Funksjonen
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler.
Løsning
Vi finner et uttrykk for den dobbeltderiverte:
Vi observerer at den dobbeltderiverte ikke er definert for
Vi tester
Vi ser at den dobbeltderiverte skifter fortegn når
Siden den dobbeltderiverte er positiv for
c) Funksjonen
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen.
Løsning
Vi starter med å finne et uttrykk for den dobbeltderiverte. Du kan løse det for hånd ved hjelp av brøkregelen for derivasjon, men vi velger å løse i CAS:
Linje 2 gir oss at den deriverte ikke har noe nullpunkt. Vi sjekker om den deriverte skifter fortegn ved å løse de to ulikhetene i linje 3 og 4. Vi ser at den dobbeltderiverte er positiv for
d) Funksjonen
Finn eventuelle vendepunkter, og analyser krumningsforholdene i grafen til funksjonen uten hjelpemidler.
Løsning
Vi vet at en andregradsfunksjon med positivt andregradsledd alltid har den hule sida si opp, så vi vet at
Vi deriverer tredjegradsuttrykket to ganger:
Vi observerer at den dobbeltderiverte er ei rett linje som har et nullpunkt i
Vi legger merke til at vi ikke har et vendepunkt for
e) Kan du endre på vilkårene for funksjonen i d) slik at den har to vendepunkter?
Løsning
Dersom vi sørger for at endepunktet
f) Hvis du flytter delingspunktet i funksjonen i e) til
Forklar hvorfor denne funksjonen ikke har et vendepunkt i
Løsning
Denne funksjonen er ikke kontinuerlig i