Analyse av logaritmefunksjoner
3.1.60
Funksjonen er gitt ved
a) Bestem definisjonsmengden til
Løsning
Den naturlige logaritmen er bare definert for positive tall. Da må
Vi løser ulikheten ved først å finne nullpunktene til uttrykket.
Så tester vi uttrykket i de aktuelle intervallene.
Da kan vi tegne fortegnsskjema for uttrykket.
Funksjonen kan bare være definert der uttrykket er større enn 0. Definisjonsmengden til funksjonen blir
Vi finner nullpunktene til funksjonen.
b) Analyser monotoniegenskapene til
Løsning
Vi deriverer funksjonen og undersøker fortegnet til den deriverte.
Her satte vi
Så setter vi den deriverte lik null.
Kandidaten til nullpunkt for den deriverte ligger utenfor definisjonsmengden til funksjonen. Grafen kan derfor ikke ha noe topp- eller bunnpunkt.
Vi tester den deriverte i de to aktuelle intervallene.
Fortegnsskjemaet for den deriverte ser derfor slik ut:
Av fortegnslinja kan vi lese at grafen til
c) Bestem uten hjelpemidler krumningsforholdene og eventuelle vendepunkter til
Løsning
Vi deriverer en gang til og undersøker fortegnet til den dobbeltderiverte.
Vi setter telleren lik 0.
Telleren har ingen nullpunkter. Vi setter inn en tilfeldig verdi av
Det betyr at telleren alltid er negativ.
Nevneren
Grafen har derfor ikke noe vendepunkt, og den vender alltid den hule sida ned.
d) Lag en skisse av grafen på papir.
Løsning
Nå kjenner vi noe til grafens forløp, og vi kan lage en omtrentlig skisse av grafen uten hjelpemidler. (Grafen i figuren er laget i GeoGebra.)
e) Løs oppgavene a), b) og c) med CAS.
Løsning
I linje 2 og 3 finner vi nullpunktet til funksjonen. I linje 4 finner vi eventuelle stasjonære punkter, men svaret gir en