Analyse av polynomfunksjoner
3.1.10
a) Finn uten hjelpemidler når grafen til funksjonen stiger, og når den synker. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter.
Løsning
Vi deriverer
Vi setter så
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt.
Vi kan da sette opp fortegnslinja til
Vi ser av fortegnslinja at grafen til
Toppunktet er
b) Kontroller svaret ved å løse oppgaven med CAS.
Løsning
Vi ser at dette stemmer med resultatene i oppgave a).
c) Bruk resultatene dine til å lage en skisse av grafen på papiret.
Løsning
Vi vet ikke mer om grafen til funksjonen enn at den er en parabel og har et toppunkt i
d) Tegn grafen med en digital graftegner, og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter. Sammenlign med det du kom fram til ved regning.
Løsning
Nedenfor har vi tegnet grafen til
Vi ser at dette stemmer med det vi har funnet tidligere.
3.1.11
a) Finn uten hjelpemidler når grafen til funksjonen
Løsning
Vi deriverer
Vi setter så
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt.
Vi kan da sette opp fortegnslinja til
Vi ser av fortegnslinja at grafen til
Grafen til
Bunnpunktet er
b) Kontroller svaret ved å løse oppgaven med CAS.
Løsning
Vi ser at dette stemmer med resultatene i oppgave a).
c) Bruk resultatene dine til å lage en skisse av grafen på papir.
Løsning
Vi vet ikke mer om grafen enn at den er en parabel med bunnpunkt i
d) Tegn grafen med en digital graftegner, og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter. Sammenlign med det du kom fram til ved regning.
Løsning
Nedenfor har vi tegnet grafen til f med GeoGebra og brukt verktøyet "Ekstremalpunkt" til å finne bunnpunktet.
Vi ser at dette stemmer med det vi har funnet tidligere.
3.1.12
a) Finn uten hjelpemidler når grafen til funksjonen
Løsning
Vi deriverer
Vi setter så
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt.
Vi kan da sette opp fortegnslinja til
Vi ser av fortegnslinja at
- grafen til
stiger nårf og nårx < - 1 x > 3 - grafen til
synker nårf - 1 < x < 3
Grafen til
Toppunktet er
Grafen til
Bunnpunktet er
b) Kontroller svaret ved å løse oppgaven med CAS.
Løsning
Vi ser at dette stemmer med resultatene i oppgave a).
c) Bruk resultatene dine til å lage en skisse av grafen på papir.
Løsning
Vi vet ikke mer om grafen enn at den har et toppunkt i
d) Tegn grafen med en digital graftegner, og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter. Sammenlign med det du kom fram til ved regning.
Løsning
Nedenfor har vi tegnet grafen til f med GeoGebra og brukt verktøyet "Ekstremalpunkt" til å finne ekstremalpunktene.
Vi ser at dette stemmer med det vi har funnet tidligere.
3.1.13
a) Finn uten hjelpemidler når grafen til funksjonen
Løsning
Vi deriverer
Vi setter så
Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige tall i hvert av de aktuelle intervallene og ser om uttrykket er positivt eller negativt.
Vi kan da sette opp fortegnslinja til
Vi ser av fortegnslinja at
- grafen til
stiger nårf og nårx < 0 x > 2 - grafen til
synker nårf 0 < x < 2
Grafen til
Toppunktet er
Grafen til
Bunnpunktet er
b) Kontroller svaret ved å løse oppgaven med CAS.
Løsning
Vi ser at dette stemmer med resultatene i oppgave a).
c) Tegn grafen med en digital graftegner, og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter. Sammenlign med det du kom fram til ved regning.
Løsning
Nedenfor har vi tegnet grafen til f med GeoGebra og brukt verktøyet "Ekstremalpunkt" til å finne ekstremalpunktene.
Vi ser at dette stemmer med det vi har funnet tidligere.
3.1.14
a) Finn uten hjelpemidler når funksjonen
Løsning
Vi deriverer
Vi setter så
Vi får bare én løsning. Stikkprøver gir
Alternativ: Den deriverte er et fullstendig kvadrat som er positivt for alle verdier av
Vi kan da sette opp fortegnslinja til
Som vi egentlig visste før vi tegnet fortegnslinja, får vi at grafen til
Grafen til
Terrassepunktet er
b) Kontroller svaret ved å løse oppgaven med CAS.
Løsning
Vi ser at dette stemmer med resultatene i oppgave a).
c) Tegn grafen med en digital graftegner, og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter. Sammenlign med det du kom fram til ved regning.
Løsning
Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen og lagt inn punktet
Vi ser at dette stemmer med det vi har funnet tidligere.
3.1.15
a) Finn uten hjelpemidler når funksjonen
Løsning
Vi deriverer
Vi setter så
Vi får ingen løsning. Den deriverte er et andregradsuttrykk med pluss foran andregradsleddet. Når den ikke har nullpunkt, betyr det at den deriverte alltid er positiv og at funksjonen er voksende for alle
Grafen til
b) Kontroller svaret ved å løse oppgaven med CAS.
Løsning
I linje 2 får vi ingen løsning når vi setter den deriverte lik 0. I linje 3 får vi løsningen
c) Tegn grafen til
Løsning
Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen. Kommandoen "Ekstremalpunkt" gir ingen punkter, som tyder på at det ikke er noen topp- eller bunnpunkter.
Vi ser at dette stemmer med det vi har funnet tidligere.