Omvendte funksjoner

Vi ser på funksjonen $$ f\left(x\right)=2x$$.

Setter vi tallet 3 inn for $$ x$$ i $$ f\left(x\right)$$, får vi ut tallet 6: $$ f\left(3\right)=6$$. På samme måte er $$ f\left(5\right)=10$$ og $$ f\left(8\right)=16$$.

Finnes det en regneoperasjon som vi kan utføre på alle de tre tallene 6, 10 og 16 for å få dem tilbake til tallene 3, 5 og 8?

Vi kan se at hvis vi setter dem inn i funksjonen $$ g\left(x\right)=\frac{x}{2}$$, får vi de ønskede tallene:

$$ \begin{array}{cccccc} & g\left(6\right)=3& & g\left(10\right)=5& & g\left(16\right)=8\\ & & & & & \\ & g\left(f\left(3\right)\right)=3& & g\left(f\left(5\right)\right)=5& & g\left(f\left(8\right)\right)=8\end{array}$$

Generelt får vi at $$ g\left(f\left(x\right)\right)=x$$. Funksjonen $$ g$$ "gjør godt igjen" det funksjonen $$ f$$ gjør med $$ x$$.

Vi sier at $$ f$$ og $$ g$$ er omvendte eller inverse funksjoner. Funksjonen$$ f $$sender$$ x $$til$$ 2x$$, mens den omvendte funksjonen sender$$ 2x $$tilbake til$$ x$$.

En vanlig skrivemåte for den omvendte funksjonen til$$ f $$er$$ f^{-1}$$.

Det betyr at vi kan skrive$$ g\left(x\right) $$som$$ f^{-1}\left(x\right)$$.

I eksempelet ovenfor var det ikke så komplisert å se hva den omvendte, eller inverse, funksjonen måtte være, men vi kan også finne den inverse funksjonen algebraisk.

Vi viser en framgangsmåte du generelt kan bruke for å finne inverse funksjoner. Vi bruker eksempelet ovenfor.

$$ \begin{array}{lcccc}\text{Du setter}& & f\left(x\right)=y.& & \\ & & & & \\ \text{Da er }& & y=2x.& & \\ & & & & \\ \text{Det betyr at} & & x=\frac{y}{2}.& & \text{Du løser altså likningen med hensyn på} x.\\ & & & & \\ \text{Det betyr at}& & f^{-1}\left(y\right)=\frac{y}{2}.& & \text{Sida } f^{-1}\left(y\right)=x.\end{array}$$

Vi kan nå bytte $$ y \text{med} x$$, som er den mest vanlige bokstaven for den variable, og vi får funksjonen $$ f^{-1}\left(x\right)=\frac{x}{2}$$.

I GeoGebra kan du finne den omvendte funksjonen ved å bruke kommandoen invers():

Vi har nedenfor tegnet grafene til funksjonen  $$ f\left(x\right)=2x$$  og dens omvendte funksjon. Videre har vi tegnet grafen til  $$ y=x$$, et tilfeldig punkt $$ A$$ på denne linja og en normal til linja gjennom punkt $$ A$$. Vi har også tegnet skjæringspunktene $$ B$$ og $$ C$$ mellom normalen og grafene til $$ f$$ og dens omvendte funksjon.

Flytt punktet $$ A$$ på linja til  $$ y=x$$. Hva oppdager du?

Uansett hvor punktet $$ A$$ befinner seg på linja $$ h$$, er  $$ AB=AC$$. Det betyr at grafen til $$ f$$ og grafen til den omvendte funksjonen alltid ligger symmetrisk om linja  $$ y=x$$.

Ved å speile grafen til $$ f$$ om linja  $$ y=x$$, får vi grafen til den omvendte funksjonen.

Hvis $$ \left(x, y\right)$$ er et punkt på grafen til $$ f$$, er $$ \left(y, x\right)$$ et punkt på grafen til den omvendte funksjonen. Disse punktene ligger symmetrisk om  $$ y=x$$.

For eksempel er $$ \left(2, 4\right)$$ et punkt på grafen til $$ f$$ og $$ \left(4, 2\right)$$ et punkt på grafen til $$ g$$. Flytt på punktet $$ A$$ på figuren, og sjekk om det stemmer.

Oppgave

Følg prosedyren ovenfor, og gjør det samme med grafene til funksjonene 

$$ g\left(x\right)=x^2 , D_g=[0, \infty ⟩$$

og

$$ h\left(x\right)=x^2 , D_h=⟨-\infty , 0]$$ 

og deres omvendte funksjoner.

Oppdager du det samme her?

Vi ser på eksponentialfunksjonen 

$$ f\left(x\right)=e^x , x\in \mathrm{ℝ}$$

og logaritmefunksjonen

$$ g\left(x\right)=\ln x , x\in \langle 0, \infty \rangle $$

Da er

$$ f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(\ln x\right)=e^{\ln x}\stackrel{def}{=}x$$

og

$$ g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(e^x\right)=\ln e^x=x·\ln e=x·1=x$$

Dette viser at  $$ f\left(x\right)=e^x$$  og  $$ g\left(x\right)=\ln x$$  er omvendte funksjoner.

Prøv å laste ned GeoGebra-arket over og endre funksjonene, så kan du se at det stemmer.

På oppgavesida Utforsk omvendte funksjoner kan du blant annet bruke Python til å jobbe mer med omvendte funksjoner før du går videre.