Omvendte funksjoner

Vi har gitt funksjonen $$ f\left(x\right)=3x+4$$. Avgjør hvilken av funksjonene nedenfor som er den omvendte funksjonen $$ f^{-1}\left(x\right)$$.

1) $$ g\left(x\right)=-\frac{1}{3}x-4$$

2) $$ h\left(x\right)=-\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$$

3) $$ i\left(x\right)=\frac{1}{3}x+4$$

4) $$ j\left(x\right)=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$$

Vi har gitt funksjonen $$ f\left(x\right)=4x-2$$.

a) Fyll ut verditabellen under.

b) Fyll ut verditabellen under uten å regne ut den omvendte funksjonen.

c) Regn ut den omvendte funksjonen, og sjekk at du får tabellen i b).

d) Tegn inn alle punktene fra tabellene i a) og b) i et koordinatsystem sammen med linja $$ y=x$$. Tegn normaler fra alle punktene til linja, og mål avstanden mellom punktene og linja. Hva observerer du?

a) Vis ved regning at funksjonen $$ g\left(x\right)=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}$$ er den omvendte funksjonen til en lineær funksjon $$ f\left(x\right)=ax+b.$$

b) Lag glidere for $$ a$$ og $$ b$$ i GeoGebra, og skriv inn de to funksjonene fra a). Observer at uansett hva du gjør med de to gliderne, vil grafene ligge symmetrisk om linja $$ y=x$$.

Finn de omvendte funksjonene til funksjonene under for hånd og ved hjelp av GeoGebra. Tegn grafene til funksjonen og den omvendte funksjonen, og observer symmetrien:

a) $$ f\left(x\right)=x^3$$

Løsning

Vi løser ligningen for $$ x$$:

$$ \begin{array}{l}y=x^3\\ x^3=y\\ x=\sqrt[3]{y}\end{array}$$

Dette gir $$ f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$$.

I GeoGebra bruker vi kommandoen Invers(f) og får følgende grafbilde:

b) $$ g\left(x\right)=\sqrt{x}$$

c) $$ h\left(x\right)=5x+5$$

På teorisida Omvendte funksjoner (ndla.no) finner du et GeoGebra-ark vi har brukt til å utforske omvendte funksjoner. Et slikt kan du lage selv også, og her kan du bruke det til å utforske andre logaritmefunksjoner enn den naturlige logaritmen. (Denne oppgaven er utforskende og har ikke løsningsforslag)

• I GeoGebra kan du definere tallet a som en "glider". Så kan du definere funksjonene $$ a^x$$ og $$ {\log }_a\left(x\right)$$, logaritmefunksjonen med $$ a$$ som grunntall.
• Hvilke grunntall er mulige?
• Undersøk geometrisk i GeoGebra om du får nye par av omvendte funksjoner. Hvordan kan du vise geometrisk at funksjonene er omvendte av hverandre?
• Hvilket grunntall utenom $$ e$$ er du kjent med fra tidligere?
• Vis algebraisk at eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen du får med dette grunntallet, er omvendte funksjoner.