Bargobihtát ja doaimmat

Én-entydige funksjoner

Her kan du jobbe med oppgaver om én-entydige funksjoner.

3.3.20

Undersøk om funksjonene under er én-entydige og dermed har en omvendt funksjon. Finn den omvendte funksjonen hvis det er mulig.

a) $f (x) = x^{2}$

Løsning

Vi deriverer:

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} \\ f^{'} (x) = 2 x \end{array}$

Vi ser at den deriverte er ei rett linje som vil krysse $x$ -aksen i punktet $(0, 0)$ . Altså vil den deriverte skifte fortegn i dette punktet.

Dette betyr at funksjonen ikke er én-entydig.

b) $g (x) = x^{3}$

Løsning

Vi gjør som i a) og deriverer:

$\begin{array}{l} g (x) = x^{3} \\ g^{'} (x) = 3 x^{2} \end{array}$

I dette tilfellet får vi en derivert som alltid er positiv, og som bare er 0 i ett punkt. Da vil funksjonen være strengt voksende og dermed én-entydig.

Vi kan finne den omvendte funksjonen:

$\begin{matrix} y = x^{3} \\ x = \sqrt[3]{y} \\ g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x} \end{matrix}$

c) $h (x) = x^{4}$

Løsning

$\begin{array}{l} h (x) = x^{4} \\ h^{'} (x) = 4 x^{3} \end{array}$

Her får vi, som i a), en derivert som vil skifte fortegn i punktet $x = 0$ . Denne funksjonen er ikke én-entydig.

d) $i (x) = x^{5}$

Løsning

$\begin{array}{l} i (x) = x^{5} \\ i^{'} (x) = 5 x^{4} \end{array}$

I dette tilfellet får vi, som i b), en derivert som alltid er positiv, og som bare er 0 i ett punkt. Da vil funksjonen være strengt voksende og dermed én-entydig.

Vi kan finne den omvendte funksjonen:

$\begin{matrix} y = x^{5} \\ x = \sqrt[5]{y} \\ i^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x} \end{matrix}$

e) $j (x) = x^{- 1}$

Løsning

$\begin{array}{l} j (x) = x^{- 1} \\ j^{'} (x) = (- 1) \cdot x^{- 2} = - x^{- 2} = - \frac{1}{x^{2}} \end{array}$

Vi ser at den deriverte vil være negativ for alle $x$ i definisjonsområdet til $j (x)$ . (Legg merke til at verken selve funksjonen eller den deriverte er definert for $x = 0$ .) Det betyr at vi i dette tilfellet vil få en strengt avtagende funksjon, altså en én-entydig funksjon.

Vi kan finne den omvendte funksjonen:

$\begin{matrix} y = \frac{1}{x} \\ x = \frac{1}{y} \\ j^{- 1} (x) = \frac{1}{x} \end{matrix}$

Vi legger merke til at denne funksjonen er sin egen invers!

f) $k (x) = x^{- 2}$

Løsning

$\begin{array}{l} k (x) = x^{- 2} \\ k^{'} (x) = (- 2) \cdot x^{- 3} = - 2 x^{- 3} = - \frac{2}{x^{3}} \end{array}$

Som i e) har vi en funksjon som ikke er definert for $x = 0$ , men i dette tilfellet ser vi at den deriverte vil bli positiv for negative verdier av $x$ og negativ for positive verdier av $x$ . Det betyr at vi ikke har en én-entydig funksjon.

3.3.21

a) Kan du ved å se på svarene du fikk i oppgave 3.3.20 si noe generelt om hva som skal til for at funksjonen $f (x) = x^{n}$ skal være én-entydig?

Løsning

Vi ser at dersom $n$ er et oddetall, får vi én-entydige funksjoner, mens vi ikke får én-entydige funksjoner dersom $n$ er partall.

b) Bruk funksjonen invers() i GeoGebra på funksjonene i a), c) og f) fra 3.3.20. Hva observerer du, og hva betyr dette for vårt forhold til GeoGebra?

Løsning

Vi observerer at GeoGebra finner en invers funksjon til alle disse funksjonene, selv om vi i vår utregning har vist at den inverse funksjonen ikke finnes. Vi observerer også at GeoGebra velger et intervall for den inverse funksjonen, i alle disse tilfellene velger GeoGebra $x > 0$ , men så lenge definisjonsområdet til hovedfunksjonen er hele $ℝ$ , har ikke funksjonen en invers funksjon.

Dette minner oss om at vi ikke alltid kan stole blindt på GeoGebra, men at vi må følge godt med og bruke våre egne matematikkunnskaper i tillegg til svarene GeoGebra gir oss.

3.3.22

Vi har gitt funksjonen $f (x) = x^{2} + 6 x + 9, x \in ℝ$ .

a) Vis at $f (x)$ ikke er én-entydig.

Løsning

Vi deriverer og viser at den deriverte er ei rett linje som skifter fortegn fra positiv til negativ i $x = - 3$ :

$\begin{array}{l} f (x) = x^{2} + 6 x + 9 \\ f^{'} (x) = 2 x + 6 \\ 2 x + 6 = 0 \\ x = - 3 \end{array}$

b) Vil $f (x)$ være én-entydig dersom vi setter definisjonsmengden til $x > 0$ ?

Løsning

Ja, i intervallet $x > 0$ vil den deriverte være positiv, og dermed er funksjonen strengt voksende og én-entydig.

c) Vil $f (x)$ være én-entydig dersom vi setter definisjonsmengden til $x < 0$ ?

Løsning

Nei, i dette intervallet vil den deriverte skifte fra negativ til positiv, og dermed er funksjonen ikke én-entydig.

d) Kan du dele $f (x)$ opp i to funksjoner, $f_{1} (x) og f_{2} (x)$ , som til sammen har definisjonsmengden $x \in ℝ$ , og der begge funksjonene er én-entydige?

Løsning

Vi fant nullpunktet til den deriverte i a). Vi deler funksjonen i dette punktet. Vi kan velge om vi vil legge nullpunktet til den deriverte til $f_{1} (x) eller f_{2} (x)$ :

$\begin{array}{l} f_{1} (x) = x^{2} + 6 x + 9, x \in [- 3, \to ⟩ \\ f_{2} (x) = x^{2} + 6 x + 9, x \in ⟨ \leftarrow, - 3 ⟩ \end{array}$

e) Finn funksjonsuttrykkene til de omvendte funksjonene ${f_{1}}^{- 1} (x) og {f_{2}}^{- 1} (x)$ . Husk å ta hensyn til definisjonsmengdene.

Løsning

Vi ser at definisjonsmengden til begge de omvendte funksjonene må være $x > 0$ . Dette vet vi fordi $f (x)$ er et fullstendig kvadrat $(x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2})$ og dermed alltid positiv. (Husk at verdimengden til en funksjon er definisjonsmengden til den omvendte funksjonen.)

Vi setter $f (x) = y$ :

$\begin{array}{l} x^{2} + 6 x + 9 = y \\ {(x + 3)}^{2} = y \\ x + 3 = \pm \sqrt{y} \\ x = \pm \sqrt{y} - 3 \end{array}$

Vi har altså funnet de to uttrykkene som er de omvendte funksjonene.

Vi har at

$\begin{array}{l} {f_{1}}^{- 1} (x) = \sqrt{x} - 3, x > 0 \\ {f_{2}}^{- 1} (x) = - \sqrt{x} - 3, x > 0 \end{array}$

For å vise at dette stemmer, setter vi inn 1 i $f_{1} (x)$ , regner ut funksjonsverdien for så å sette denne inn i de to uttrykkene for de omvendte funksjonene. Da vil du se hvilke som hører sammen:

$\begin{array}{l} f_{1} (1) = 1^{2} + 6 \cdot 1 + 9 = 16 \\ {f_{1}}^{- 1} (16) = \sqrt{16} - 3 = 4 - 3 = 1 \\ {f_{2}}^{- 1} (16) = - \sqrt{16} - 3 = - 4 - 3 = - 7 \end{array}$

Vi ser her at det er den øverste av de to som tar oss tilbake igjen til den opprinnelige $x$ -verdien. Prøv gjerne det samme med for eksempel $- 4$ .

f) Tegn grafene til de to funksjonene $f_{1} (x) og {f_{1}}^{- 1} (x)$ i GeoGebra sammen med linja $y = x$ , og observer symmetrien.

Løsning

Vi tegner inn de to funksjonene og husker å avgrense dem til større enn $-3$ og $0$ . Så tegner vi inn linja $y = x$ . Vi observerer at de to grafene er symmetriske: