Én-entydige funksjoner
Du husker kanskje fra 1T at er en funksjon av
Vi ser på funksjonen
Både
En eventuell omvendt funksjon til
For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må altså entydigheten "gå begge veier"; den må være det vi kaller én-entydig.
Definisjon
En funksjon
Dette medfører følgende setning:
Setning
En funksjon har en omvendt funksjon hvis og bare hvis den er én-entydig.
Utforskende eksempel
Vi ser på funksjonene
og
Husk at en funksjon er gitt ved et funksjonsuttrykk og en definisjonsmengde.
Vi ønsker å finne ut om funksjonene har omvendte funksjoner og eventuelt finne de omvendte funksjonene.
Vi tegner grafen til
Tenk over
Hvorfor velger vi
Forklaring
Vi har for funksjonen
Funksjonen
har den omvendte funksjonen
Vi tegner så grafen til
Vi bytter
Funksjonen
har den omvendte funksjonen
Ut fra det vi har sett, kan vi formulere setningen nedenfor:
Setning
En funksjon har en omvendt funksjon hvis den vokser i hele sitt definisjonsområde, eller at den avtar i hele sitt definisjonsområde.
Det betyr at vi kan sjekke om en funksjon har en omvendt funksjon ved å trekke linjer parallelle med
Vi kan også bruke derivasjon, for eksempel:
Siden
Vi minner om at definisjonsmengden til den omvendte funksjonen alltid er lik verdimengden til den opprinnelige funksjonen.
Tenk over
Kan en funksjon ha en omvendt funksjon selv om den vokser i noen intervaller og synker i andre intervaller?
Tips til spørsmålet
Tenk på funksjoner med delt funksjonsforskrift.
Forklaring
Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen
Vi ser at funksjonen er én-entydig selv om funksjonen synker i intervallet
Dette betyr at selv om funksjoner som vokser i hele sitt definisjonsområde, har en omvendt funksjon, betyr ikke det at funksjoner som både vokser og synker, ikke kan ha det.
Voksende og avtagende funksjoner
Funksjonen
i eksempelet over er det vi kaller strengt voksende i hele sitt definisjonsområde.
Strengt voksende funksjon
Vi har gitt funksjonen
for alle
Strengt avtagende funksjon
Vi har gitt funksjonen
for alle
Vi sier også at en funksjon som er enten strengt voksende eller strengt avtagende, er strengt monoton.
Tenk over
Er funksjonen
Forklaring
Vi så i eksempelet at grafen til
Tenk over
Nedenfor har vi tegnet funksjonen
Har denne funksjonen en omvendt funksjon? Forklar.
Forklaring
Siden det er uendelig mange
Er denne funksjonen strengt voksende? Forklar.
Forklaring
Vi har for eksempel at selv om
Vi definerer derfor videre:
Voksende funksjon
Vi har gitt funksjonen
for alle
Avtagende funksjon
Vi har gitt funksjonen
for alle
Legg merke til forskjellen mellom voksende og strengt voksende og avtagende og strengt avtagende.
Formell definisjon av omvendte funksjoner
Ved hjelp av det vi vet, kan vi nå formulere en formell definisjon av omvendte funksjoner.
Hvis og bare hvis en funksjon